计算机中数的表示和运算

àì夳堔傛蜴生んèń 2024-04-23 20:13 78阅读 0赞

![33d54086b88a23528c963f4144907574.jpeg][]

#### 定点数 ####

*  编程时需要确定小数点位置
 *  难以表示两个大小相差较大的数
 *  存储空间利用率低

![在这里插入图片描述][f5cde880c9894a94ac086f1379d64a82.png]  
这种用二进制来表示十进制的编码方式，叫作[BCD 编码][BCD]（Binary-Coded Decimal）。

#### 浮点数 ####

*  小数点的位置可以左右移动的数

![在这里插入图片描述][c73abee788fb488e9568c0aeff2ed56f.png]  
规格化浮点数:

*  IEEE 754规格化的尾数形式为：1.x…x。

浮点数的不精确性：

>>> 0.3 + 0.6
    0.8999999999999999

浮点数的加法和精度损失：  
![在这里插入图片描述][9e7e954a996c48f784827e79f288dbc0.png]

其中指数位较小的数，需要将有效位进行右移（小数点不动，数右移），在右移的过程中，最右侧的有效位就可能被丢弃掉。这会导致对应的指数位较小的数，在加法发生之前，就丢失精度。两个相加数的指数位差的越大，位移的位数越大，可能丢失的精度也就越大。

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#### 无符号数 ####

加法运算：

*  1+1 = 0（有进位）

减法运算：

*  0-1 = 1（有借位）

乘法运算：

*  每乘以2，相对于被乘数向左移动一位，最右边补0
 *  乘法实际上是移位和加法的运算。

除法运算：

*  每除以2，相当于被乘数向右移动1位，最左边补0
 *  除法实际上是移位和减法的运算。

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#### 有符号数 ####

*  用最高位表示符号，其余是数值
 *  最高位是0：表示正数；最高位是1：表示负数

符号数的表示方法：  
**原码：最高位为符号位，其余为真值部分。符号位+【绝对值】**

*  优点：真值和其原码之间的对应关系简单，容易理解。
 *  缺点：计算机中用原码进行加减运算比较困难；0的表示不唯一。

**0的原码表示不唯一：**

*  \+0 = 0000 0000
 *  \-0 = 1000 0000

**反码：正数的反码与原码相同，负数的反码则是在原码的基础上符号位不变，数值部分按位取反。**<br /

> X = -52 = -011 0100  
> \[X\]原 = 10110100  
> \[X\]反 = 11001011  
>

**0的反码也不是唯一的：**

> \[+0\]反 = \[+0\]原 = 0000 0000  
> \[-0\]原 = 1000 0000  
> \[-0\]反 = 1111  
> 1111

**补码：若 X > 0，则\[X\]补 = \[X\]反 = \[X\]原；若X < 0，则\[X\]补 = \[X\]反+1。**

> X = -52 = -011 0100  
> \[X\]原 = 10110100  
> \[X\]反 = 11001011  
> \[X\]补 = \[X\]反 + 1 = 1100 1100  
> \[X\]原 也等于 \[\[X\]补\]补

**0的补码：**

> \[+0\]补 = \[+0\]原 = 0000 0000  
> \[-0\]补 = \[-0\]反+1 = 1111 1111 + 1 = 10000 0000  
> 对于8位有效字长，进位 (第9位) 被舍掉，我们看到的就是8个0，这样一来，就和+0的补码一样了。

**所以，补码解决了 0 的表示不唯一的问题。**  
![在这里插入图片描述][00d496bd85d84b8382e38c8ff3e79756.png]  
  
**除此之外，补码也实现了将减法运算转换为加法运算。**

> 注：我们在实际编程时，负数可用“-”表示。由编译系统将其转换为补码。  
> 例如：-3 编译后的值为 FDH，1111 1101B就是-3的补码。

**补码的算术运算：**

*  \[X + Y\]补 = \[X\]补 + \[Y\]补
 *  \[X - Y\]补 = \[X + (-Y)\]补 = \[X\]补 + \[-Y\]补

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#### 特殊数1000 0000 ####

对于无符号数：

*  1000 0000 B = 128

在原码中的定义为：

*  1000 0000 B = -0

在反码中的定义为：

*  1000 0000 B = -127

在补码中的定义为：

*  1000 0000 B = -128

> 计算机能够表示的数是有限的，例如你的计算机是64位，一次最多只能处理64位长的数据。当运算结果超出了计算机所能表示的范围的时候（例如64位机），就会产生溢出。

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#### 无符号数的表示范围 ####

无符号数的表示范围：

*  0 <= X <= 2n-1，n表示字长

**无符号数加减运算溢出的判断方法：**

*  当最高位向更高位有进位（或借位）时产生溢出。
 *  例如，对于8位机来讲，8个1再加一，溢出位超出了有效字长，在有效字长范围内，结果为0（出错）。最高的进位1会放在一个特殊的位置。

#### 有符号数的表示范围 ####

注：n表示字长  
原码和反码：

*  \-(2n-1-1) <= X <= 2n-1-1

补码：

*  2n-1<= X <= 2n-1-1

对于8位2进制数：

*  原码：-127 ~ +127
 *  反码：-127 ~ +127
 *  补码：-128 ~ +127

**有符号数加减运算溢出的判断方法：**

> 因为无符号数和有符号数的表示范围不一样，所以判断是否溢出的方法也不一样。  
> 对于有符号数, 判断是否溢出,要用双位。

*  **最高位进位状态 异或 次高位进位状态 = 1, 则结果溢出。**
 *  异或: 相同为0, 相异为1。

乘法运算不存在溢出问题, 而除法运算溢出时, 会产生 “除数为0” 中断.

> 注: 计算机中的符号数默认以补码形式表示。  
> 只有原码的数值部分是真值。  
> 反码和补码的数值部分都不是真值。

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[BCD]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%80%B2%E7%A2%BC%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%95%B8
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