计算机组成原理——第2章数据的表示和运算

女爷i 2022-11-18 02:26 296阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  【绪：内容】
 *  2.1 数制与编码
 *   *  进位计数制及其相互转换
     *  真值和机器数
     *  BCD码
     *  字符与字符串
 *  2.2 定点数的表示和运算
 *   *  定点数的表示
     *  定点数的运算
     *  C语言中的整数类型及类型转换
     *  数据的存储和排列
 *  2.3 浮点数的表示与运算
 *   *  浮点数的表示
     *  浮点数的加减运算
 *  2.4 串行加法器和并行加法器

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# 【绪：内容】 #

1.  数制与编码
    
    进位计数制及其相互转换；真值和机器数；字符与字符串
2.  定点数的表示和运算
    
    定点数的表示：无符号数的表示；有符号数的表示
    
    定点数的运算：定点数的移位运算；原码定点数的加减运算；补码定点数的加减运算；定点数的乘/除运算；溢出概念和判别方法
3.  浮点数的表示和运算
    
    浮点数的表示：IEEE754标准；浮点数的加减运算
4.  算术逻辑单元（ALU）
    
    串行加法器和并行加法器；ALU的功能和结构

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# 2.1 数制与编码 #

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## 进位计数制及其相互转换 ##

二进制只有两种状态，0和1；正好对应逻辑值“真”与“假”；二进制的编码和运算规则简单，通过逻辑门电路能方便的实现算术运算

1.  进位计数法
    
    二进制：逢二进一
    
    八进制：逢八进一
    
    十六进制：逢十六进一
2.  **进制转换**
    
     *  二进制数转为八进制数和十六进制数
        
         *  二进制转八进制：整数部分，小数点往左数，每3位二进制分一组，每组一位八进制，最左边可加“0”补齐；小数部分，小数点往右数，每3位二进制分一组，每组一位八进制，最右边可加“0”补齐
         *  二进制转十六进制：整数部分，小数点往左数，每4位二进制分一组，每组一位十六进制，最左边可加“0”补齐；小数部分，小数点往右数，每四位二进制分一组，每组一位十六进制，最右边可加“0”补齐
     *  任意进制数转为十进制数
        
        按权展开相加法，将任意进制数的各位数码与它们的权值相乘，再把乘积相加。
     *  十进制转任意进制数
        
        **整数部分：**
        
        除积取余法。整数部分除基取余，最先取得的余数为数的最低位，最后取得的余数为数的最高位，商为0结束
        
        **小数部分：**
        
        乘基取整法。小数部分乘基取整，最先取得的整数为数的最高位，最后取得的整数为数的最低位，乘积为1.0（或满足精度）结束

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## 真值和机器数 ##

真值：带“+”或“-”符号的数称为真值。

机器数：把符号数字化的数称为机器数，“0”表示“正”，“1”表示“负”

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## BCD码 ##

*  8421码
 *  余3码
 *  2421码

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## 字符与字符串 ##

*  字符编码ASCLL码

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# 2.2 定点数的表示和运算 #

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## 定点数的表示 ##

1.  无符号数和有符号数的表示
    
     *  \*\*无符号数：\*\*整个机器字长的全部二进制均为数值位，没有符号位。若机器字长为8位，表示范围为0—11111111B，即0-255
     *  **有符号数**：最高位为符号位，符号用“0”表示“正”，“1”表示“负”
2.  机器数的定点表示
    
    定点表示约定机器数中的小数点位置是固定不变的。
    
     *  定点小数（纯小数）
        
        小数点位置在**符号位之后、有效数值部分之前**。
        
        ![image-20210307195720312][]
     *  定点整数（纯整数）
        
        小数点位置在有**效数值部分最低为之后**。
        
        ![image-20210307200258813][]
3.  **原码，补码，反码和移码**
    
    **表示公式：**
    
    ![img][]
    
    > 注：
    > 
    > ①真值0的原码表示有+0和-0两种形式
    > 
    > ②纯小数的补码最小是1，0000真值是-1，纯整数的补码最小数是10000（按5位2进制举例）。[详情可以查看另一篇文章，点此跳转][Link 1]
    > 
    > ③**真值0的补码和移码的表示是唯一的**
    > 
    > ④**原码是分正负的**
    > 
    > ⑤**移码无符号数真值大就大，移码无符号数小真值就小**
    
    **原码，反码，补码，移码的转换**
    
    正数的原码，反码，补码都一样。
    
     *  **原码——>反码：**
        
        数值位全部取反。例：
        
        ![image-20210307210632604][]
     *  **原码——>补码：**
        
        原码数值位全部取反+1。从右往左，第一个1开始按位取反，不包括符号位。例：
        
        ![image-20210307210654977][]
     *  **反码——>补码：**
        
        补码=反码+1。例：
        
        ![image-20210307210713630][]
     *  **补码——>移码：**
        
        符号位取反。例：
        
        ![image-20210307210730034][]
     *  **\[x\]补 ——>\[-x\]补:**
        
        包括符号位全部取反+1。从右往左，第一个1开始按位取反。例：
        
        ![image-20210307210743950][]

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## 定点数的运算 ##

1.  定点数的移位运算
    
     *  **算术移位**
        
        视为**有符号数。**
        
        正数：
        
         *  原码、补码与反码都相同，空位补0
        
        负数：
        
         *  原码移位时，符号位不变，空位补0
         *  反码移位时，符号位不变，空位补1
         *  补码移位时，符号位不变，左移添0，右移添1
     *  **逻辑移位**
        
        **视为无符号数。**
        
        逻辑左移时，高位移丢，低位补0；逻辑右移时，低位移丢，高位补0.
     *  **循环移位**
        
        带进位标志位CF的循环移位（大循环）：
        
        不带进位标志b位CF的循环移位（小循环）；
2.  **原码定点数的加减法运算**
    
    **加法规则：符号位若相同，则绝对值相加，结果符号位不变；符号位不同，则绝对值大的数减去绝对值小的数，结果符号位与绝对值大的数相同**。
    
    \*\*减法规则：\*\*两个原码表示的数相减，先将减数符号取反，然后将被减数与符号取反后的减数按原码加法进行运算，溢出位丢掉。
3.  **补码定点数加减法运算**
    
    ![image-20210307220142163][] ![image-20210307220201578][]

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## C语言中的整数类型及类型转换 ##

1.  有符号数和无符号数的转换
2.  不同字长整数之间的转换

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## 数据的存储和排列 ##

1.  数据的“大段方式”和“小段方式”存储
2.  数据按“边界对齐”方式存储

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# 2.3 浮点数的表示与运算 #

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## 浮点数的表示 ##

浮点数表示法是指以适当的形式将比例因子表示在数据中，让小数点的位置根据需要而浮动  
![image-20210308134326196][]

1.  **浮点数的表示格式**
    
    通常，浮点数表示为：  
     N = r E ∗ M N=r^E\*M N=rE∗M  
    r是浮点数阶码的底（隐含），与尾数的基数相同，通常r=2。E和M都是有符号的定点数，E为阶码，M为尾数。**浮点数由阶码和尾数两部分组成**。**阶码由阶符和阶码数值部分组成**；**尾数由数符和尾数数值部分组成**
    
    ![image-20210307221715600][]
    
    阶码是整数，阶符Jf和阶码的位数m共同反应浮点数的表示范围及小数点的实际位置；数符Sf代表浮点数的符号；尾数的位数n反映浮点数的精度。阶码反映数值大小，尾数反映精度
2.  **规格化浮点数**
    
    **浮点数规格化形式，规定尾数的最高数位必须是一个有效值。**
    
    规格化操作是指通过调整一个非规格化浮点数的尾数和阶码的大小，使非零的浮点数在尾数的最高数位上保证是一个有效值。
    
    **左规**：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数算术左移一位、阶码减1（基数为2时）
    
    **右规**：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，将尾数算术右移1位，阶码加1（基数为2时）
    
    **原码表示的尾数进行规格化：**
    
    正数为0.1XXX…X的形式，最大值表示为0.111…1；最小值表示为0.10…0。
    
    负数为1.1XXX…X的形式，最大值表示为0.100…0；最小值表示为0.11…1。
    
    **补码表示的尾数进行规格化：**
    
    正数为0.1XXX…X的形式，最大值表示为0.111…1；最小值表示为0.10…0。
    
    负数为1.0XXX…X的形式，最大值表示为0.011…1；最小值表示为1.00…0。
    
    > 注:当浮点数尾数的**基数是2**时，**原码规格化数的尾数最高位一定是1**，**补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号位相反**
3.  **IEEE754标准**
    
    ![image-20210308152637485][]
    
    移码=阶码真值+偏移量
    
    阶码真值=移码-偏移量
    
    **阶码全1表示无穷大、全0表示非规格化数**
    
    **真值零：**
    
     *  当尾数M和阶码E均为全0时，表示真值零，并由S确定正零和负零
    
    **无穷：**
    
    当尾数M为全0、阶码E为全1时，表示真值为无穷大，并由S确定正穷和负穷
    
    **机器零：**
    
     *  当尾数为0时，无论阶码为何值，都玩0；
     *  当阶码比浮点数所能表示的最小阶码值还小时，无论尾数为何值，计算机都会把该浮点数看成0值，称为机器零
4.  **定点、浮点表示的区别**
    
    1.  数值的表示范围
        
        若字长相同，浮点表示法所表示的范围远远大于定点表示法
    2.  精度
        
        精度，是指一个数所含有效数值位的位数。字长相同，浮点数精度降低了
    3.  数的运算
        
        浮点数包括阶码和尾数两部分，运算时不仅要做尾数的运算，还要做阶码的运算，而且运算结果要求规格化，比定点运算复杂
    4.  溢出问题
        
        定点运算中，运算结果超出数的表示范围时，发生溢出；浮点运算中，运算结果超出尾数表示范围不一定溢出，只有**规格化后阶码超出范围才会溢出**

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## 浮点数的加减运算 ##

浮点数的运算是将阶码运算和尾数运算分开进行。加减运算一律采用补码

![image-20210308213403221][]

先将浮点数换为二进制补码，格式采用浮点数格式

1.  求阶差
    
    ![image-20210307220201578][]
2.  对阶
    
    对阶的目的是使两个操作数的小数点位置对齐，使得两个数的阶码相等。
    
    小阶向大阶看齐，将阶码小的尾数右移1位（基数为2），阶加1，直到阶码相等。尾数右移，舍弃掉有效位会产生误差，影响精度
3.  尾数求和
    
    将对阶后的尾数按定点数加（减）运算规则运算
    
    ![image-20210307220201578][]
4.  规格化
    
    以双符号位为例，**当尾数大于0**时，其补码规格化形式为
    
    ![image-20210308205135000][]
    
    **当尾数小于0时**，其补码规格化形式为
    
    ![image-20210308205220699][]
    
    当尾数的最高数值位与符号位不同时，即为规格化形式。规格化分为左规和右规
    
    1.  **左规：** 当尾数出现 00.0XX…X 或 11.1XX…X 时，需左规，尾数左移1位，和的阶码减1，直到尾数为 00.1XX…X 或 11.0XX…X
    2.  **右规：** 当尾数求和结果溢出（如尾数为 10.XX…X 或 01.XX…X）时，需右规，即尾数右移一位，和的阶码加1
    
    ![image-20210308205912387][]
5.  舍入
    
    **“0”舍“1”入法：** 尾数右移时，被移出的最高数值位为0，则舍去；最高数值位为1，则在尾数的末位加1。又可能会使尾数又溢出，再做右规
    
    **恒置“1”法：** 尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都是右移的尾数末位恒置“1”
6.  溢出判断
    
    ==浮点数的溢出与否是由阶码的符号决定的。==阶码超出位数所能表示的最大位。以双符号位为例，“10”表示上溢，进入中断处理；“01”表示下溢，按机器零处理
7.  C语言中的浮点数类型及类型转换
    
    ![image-20210308212924467][]

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# 2.4 串行加法器和并行加法器 #

ALU的核心是加法器。

![image-20210308213806052][]

1.  一位全加器
    
    ![image-20210308213549843][]
2.  串行加法器
    
    ![image-20210308213610221][]
3.  并行加法器
    
    ![image-20210308213715254][]

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