层次分析法原理和matlab代码实现

╰+攻爆jí腚メ 2023-07-25 05:26 143阅读 0赞

笔记来自清风老师的数学建模系列课程，课程链接：[层次分析法][Link 1]

层次分析法例题，IMMC2020 [https://blog.csdn.net/yanyanwenmeng/article/details/104907412][https_blog.csdn.net_yanyanwenmeng_article_details_104907412]

# 1. 指标选择途径 #

（1）题目背景

（2）中国知网、百度学术、谷歌学术等地方搜索相关文献，查找指标

（3）搜索网站推荐：虫部落[https://search.chongbuluo.com/][https_search.chongbuluo.com]

（4）其他搜索途径，优先级：谷歌搜索、微信搜索、知乎搜索

指标选择一定要有依据，并且要说明为什么要选这些指标以及指标代表的含义。

# 2. 层次分析法的引出 #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

比如要确定景色、花费等五个指标的权重，该如何确定呢？

如果一次性考虑五个指标的关系，往往考虑不周

【解决办法】两个两个指标之间进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。——层次分析法的思想

# 3. 层次分析法的思想 #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

比如：如果花费比景色略微重要，则左下角单位格可以填2。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

同理可以得到全部的判断矩阵：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

【注意】层次分析法的判断矩阵（上面这张表）实际需要给专家填写。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

# 4. 判断矩阵不一致问题 #

## 4.1 不一致矩阵举例 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

## 4.2 一致矩阵需要满足的关系 ##

一致矩阵需要满足下面的关系：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]

## 4.3 一致矩阵的例子 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 8][]

比如红色框的内容和黄色框的内容是成2倍的关系的。按照两列之间对比也是成倍数的关系。

## 4.4 一致矩阵的概念 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 9][]

【注意】 不一定要达到绝对的一致矩阵，只需要一致性不要偏差太大，不然矛盾很多，我们填写的判断矩阵就没有任何意义了。

如何判断一致性偏差是否在允许接受的范围内呢？——一致性检验

# 5. 一致性检验 #

## 5.1 一致性检验的原理 ##

> 【原理】检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

下面是两个一致矩阵：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 10][]

满足一致矩阵的充要条件：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 11][]

黄色框表示第2、3……n行的值和第一行成倍数关系（也可以定义为列与列之间成比例）。

秩的解释：[https://www.zhihu.com/question/21605094][https_www.zhihu.com_question_21605094]

[https://blog.csdn.net/edward\_zcl/article/details/90177159][https_blog.csdn.net_edward_zcl_article_details_90177159]

总结：秩相当于解方程组时有用的方程数。

特征值的解释：[matlab编程基础——基于层次分析法][matlab]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 12][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 13][]

比如第一个表格求最大特征值matlab代码：

A = [1 2 4; 1/2 1 2; 1/4 1/2 1];
    eig(A)%求每一行的特征值，共有3个

![20200412211858899.png][]

发现最大特征值为3。

![20200412214505821.png][]

当矩阵不一致时：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 14][]

（黄色框为最大特征值）发现最大特征值是大于3的。即最大特征值>n,且判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差越大。

## 5.2 一致性检验的步骤 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 15][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 16][]

【注意】当一致性检验通过后才可计算权重，如果一致性检验通不过，则需要重新调整判断矩阵。

# 6. 权重计算 #

## 6.1 一致矩阵计算权重 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 17][]

也可以按照第二列或者第三列的数据进行计算。权重计算完后需要归一化处理。

## 6.2 判断矩阵计算权重 ##

由于判断矩阵不一定为一致矩阵，所以它的各行（列）之间不一定成比例，因此，计算权重时需要利用每一列的数据把权重计算出来，最后利用三种方法求权重即可。

比如下面这个判断矩阵（不是一致矩阵，因为各行不成比例）

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 18][]

计算出每一列的权重：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 19][]

### 6.2.1 算术平均法求权重 ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 20][]

数学公式：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 21][]

### 6.2.2 几何平均法求权重 ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 22][]

几何平均法求权重也有三步：

第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量![20201228110935394.png][]

第二步：将新的向量的每个分量开n次方![20201228110946281.png][]

第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量![20201228110958569.png][]

sum=10^(1/3)+1^(1/3)+(1/10)^(1/3)

10^(1/3)/sum= 0.5954 1^(1/3)/sum=0.2764 (1/10)^(1/3)/sum=0.1283

### 6.2.3 特征值法求权重（用的最多，建议使用这个） ###

一致矩阵求权重

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 23][]

判断矩阵求权重

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 24][]

matlab求解：

A = [1 2 5; 1/2 1 2; 1/5 1/2 1];
    [V D] = eig(A)

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 25][]

最大特征值为3.0055，对应的特征向量为\[-0.8902 -0.4132 -0.1918\]

CI = (3.0055-3)/2
    CR = CI/0.52

![2020041222000966.png][]

计算步骤：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 26][]

CR = 0.0053 < 0.1 ,说明此矩阵的一致性可以接受。

求权重：

V = [-0.8902 -0.4132 -0.1918]
    S = sum(V)
    G = [V(1,1)/S V(1,2)/S V(1,3)/S]%归一化

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 27][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 28][]

excel中进行计算每个城市的得分（需要用“$”符号锁定单元格）：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 29][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 30][]

# 7. 求权重matlab代码 #

%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。
 %% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
 %% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
 %% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
 %% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。
 
 
 disp('请输入判断矩阵A')
 A=input('A=');
 [n,n] = size(A);
 % % % % % % % % % % % % %方法1： 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
 Sum_A = sum(A);
 SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
 Stand_A = A ./ SUM_A;
 
 disp('算术平均法求权重的结果为：');
 disp(sum(Stand_A,2)./n)
 % % % % % % % % % % % % %方法2： 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
 Prduct_A = prod(A,2);
 Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
 disp('几何平均法求权重的结果为：');
 disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
 % % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %
 [V,D] = eig(A);
 Max_eig = max(max(D));%求最大特征值
 [r,c]=find(D == Max_eig , 1);
 disp('特征值法求权重的结果为：');
 disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
 % % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % %
 CI = (Max_eig - n) / (n-1);
 RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
 % 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
 CR=CI/RI(n);
 disp('一致性指标CI=');disp(CI);
 disp('一致性比例CR=');disp(CR);
 if CR<0.10
 disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
 else
 disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
 end

特征值法求权重：要保证矩阵是逆矩阵。

%% 输入判断矩阵
 clear;clc
 disp('请输入判断矩阵A： ')
 % A = input('判断矩阵A=')
 A =[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
 % matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
 % [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
 % 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。
 [n,n] = size(A) % 也可以写成n = size(A,1)
 
 %% 方法3：特征值法求权重
 % 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
 [V,D] = eig(A) %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
 Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~ 求最大特征值
 % 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
 % 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
 % 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
 D == Max_eig
 [r,c] = find(D == Max_eig , 1)
 % 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
 
 % 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
 V(:,c)%未归一化的结果
 disp('特征值法求权重的结果为：');
 disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
 % 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。
 
 %% 计算一致性比例CR
 CI = (Max_eig - n) / (n-1);
 RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
 CR=CI/RI(n);
 disp('一致性指标CI=');disp(CI);
 disp('一致性比例CR=');disp(CR);
 if CR<0.10
 disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
 else
 disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
 end

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 31][]

# 8. 评价类问题需要注意的细节 #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 32][]

层次结构图：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 33][]

# 9. 模型拓展 #

> 准则层可以有多层

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 34][]

> 准则层不一定对应全部方案。比如：可以为一对二，如下图所示

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 35][]

> 准则层不一定对应全部方案。比如：可以为一对一，如下图所示。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 36][]

[Link 1]: https://www.bilibili.com/video/BV1GJ411k7cj?from=search&seid=16291304906646572128
[https_blog.csdn.net_yanyanwenmeng_article_details_104907412]: https://blog.csdn.net/yanyanwenmeng/article/details/104907412
[https_search.chongbuluo.com]: https://search.chongbuluo.com/
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230528/a2be838866014c6f834cd400c53775fb.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20230528/b8951e6f65044d6aacfef65ff8aa3ddc.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20230528/770ae3e017044fd88b0e326977409a8c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20230528/446df9e7cd4448e59f8c8b1224d5348f.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20230528/d484e8f2b4124ed99bb0c1b94d6de0ee.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20230528/6e98b757be9a419b9aa35dfd6ac1d83e.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: /images/20230528/d4da9211e92241a1a87d0edeeccdd5de.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]: /images/20230528/2bcf1a90f38c4da3ad3c9e61eb641f3b.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]: /images/20230528/43fa369930f243b6bafe1e9511a3d137.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]: /images/20230528/5cf8a46a72f34a86aaa9cb4fd817333f.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]: /images/20230528/cc82b0a3b1b4408da2121f32c9844ab0.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]: /images/20230528/297b90e64e094317936fed96cb632742.png
[https_www.zhihu.com_question_21605094]: https://www.zhihu.com/question/21605094
[https_blog.csdn.net_edward_zcl_article_details_90177159]: https://blog.csdn.net/edward_zcl/article/details/90177159
[matlab]: https://blog.csdn.net/yanyanwenmeng/article/details/105469395
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]: /images/20230528/51826d3f5e4d4fe8be231abbd628371a.png
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