层次分析法

我会带着你远行 2023-09-28 14:01 72阅读 0赞

来源：数学建模清风 学习内容所整理

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### 文章目录 ###

*  评价类模型
 *  层次分析法
 *   *  01 建立层次结构
     *  02 构建比较矩阵（判断矩阵）
     *  03 一致性检验
     *  04 权重排序
     *  matlab代码实现
     *  AHP的局限性

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# 评价类模型 #

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评价类问题中主要分为确定评价指标，形成评价体系，就是对目标打分排序选最优解。

（例如：选择哪种方案最好、哪位运 动员或者员工表现的更优秀）。

> 解决评价类问题先从三个问题入手：
> 
> > **①评价的目标是什么？**
> > 
> > > 从题目要求中获取
> > 
> > **②为了达到目标有哪些可选方案？**
> > 
> > > 题目中所给可执行方案
> > 
> > **③评价的指标是什么？**
> > 
> > > 从背景材料、常识、及网上搜集的参考资料（文献）筛选合适指标

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# 层次分析法 #

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**层次分析法（The Analytic Hierarchy Process 即 AHP）：** 把问题分解成多个组成元素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次节结构，通过两两比较的方法 *（可以理解为冒泡排序）* 确定决策方案相对重要度的总排序。

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## 01 建立层次结构 ##

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![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-yitkwIaQ-1657161871582)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705150058435.png)\]][img-yitkwIaQ-1657161871582_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705150058435.png]

*  **目标层：** 评价目标，也就是评价模型需要解决的问题
 *  **准则层：** 评价指标有哪些（从哪些方面来评价打分）
 *  **方案层：** 题目中给出的可选方法，从准则层中的指标进行权重打分排序，最终选出最优方案

> 使用层次分析法时，层次结构图需要放入论文中

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## 02 构建比较矩阵（判断矩阵） ##

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*  构建**比较矩阵**（**判断矩阵**）是为了两个两个指标进行比较，最终根据两两比较结果推算出权重构建权重表。

> **那如何构建比较矩阵：**  
> ![在这里插入图片描述][5dd98f6638b14f7e9f79f60633f88534.png]  
> 根据上表的重要程度比较打分，比如指标一和指标二同样重要，指标三比指标一稍微重要一点，如图构建：
> 
> ![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NcVKViNd-1657161871585)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705160115586.png)\]][img-NcVKViNd-1657161871585_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705160115586.png]  
> ![在这里插入图片描述][e21046d3bdb54437b9ec57eec992a487.png] ![在这里插入图片描述][e69a1d3d5f0c41bc9bc293539b065ffd.png]

>  *  **什么是一致矩阵？**
>     
>     ![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-2JAJQFSE-1657161871587)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705194607419.png)\]][img-2JAJQFSE-1657161871587_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705194607419.png]  
>     ![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-GtVU4FYc-1657161871587)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705194651187.png)\]][img-GtVU4FYc-1657161871587_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705194651187.png]

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-kYD2mgoS-1657161871588)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705150316153.png)\]][img-kYD2mgoS-1657161871588_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705150316153.png]

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## 03 一致性检验 ##

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*  **原理：** 检验构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大区别。
 *  由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过才能计算权重）
    
    > 一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wX8H6mxt-1657161871589)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705151920869.png)\]][img-wX8H6mxt-1657161871589_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705151920869.png]

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-4XAEedts-1657161871590)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705152132043.png)\]][img-4XAEedts-1657161871590_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705152132043.png]

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## 04 权重排序 ##

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*  **归一化处理，计算权重**

> **三种方法计算权重：**
> 
> > 1.  算术平均法
> > 2.  几何平均法
> > 3.  特征值法
> 
> 特征值法最常用，但建议比赛时三种都用，避免采用单一方法所产生的偏差，得出的结论更全面、有效

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-fWDmcPHr-1657161871590)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705195737705.png)\]][img-fWDmcPHr-1657161871590_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705195737705.png]

> **方法一：算术平均法求权重**
> 
> ![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tAaR1C67-1657161871591)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705200226299.png)\]][img-tAaR1C67-1657161871591_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705200226299.png]
> 
> ![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-hl4lXT3V-1657161871591)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705200312387.png)\]][img-hl4lXT3V-1657161871591_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705200312387.png]
> 
> ![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-gbFiAKB4-1657161871592)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705200414795.png)\]][img-gbFiAKB4-1657161871592_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705200414795.png]

> **方法二：几何平均法求权重**
> 
> ![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-UwZFKWgp-1657161871593)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705200457636.png)\]][img-UwZFKWgp-1657161871593_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705200457636.png]

> **方法三：特征值法求权重**
> 
> ![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-jHgwlHN6-1657161871593)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705200539979.png)\]][img-jHgwlHN6-1657161871593_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705200539979.png]
> 
> ![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Yxlw8DKe-1657161871594)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705200557389.png)\]][img-Yxlw8DKe-1657161871594_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705200557389.png]

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## matlab代码实现 ##

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%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。
    %% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
    %% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
    %% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
    %% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。
    
    
    % 在每一行的语句后面加上分号(一定要是英文的哦;中文的长这个样子；)表示不显示运行结果
    % 多行注释:选中要注释的若干语句,快捷键Ctrl+R
    % 取消注释:选中要取消注释的语句,快捷键Ctrl+T
    
    disp('请输入判断矩阵A')  %matlab中disp()就是屏幕输出函数，类似于c语言中的printf（）函数
    % 注意，disp函数比较特殊，这里可要分号，可不要分号哦
    
    A=input('A=');
    % 这里输入的就是我们的判断矩阵，其为n阶方阵（行数和列数相同）
    
    % 在开始下面正式的步骤之前，我们有必要检验下A是否因为粗心而输入有误
    ERROR = 0;  % 默认输入是没有错误的
    
    % (1) 检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵
    [r,c]=size(A);
    %size(A)函数是用来求矩阵的大小的,返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数
    %[r,c]=size(A)  %将矩阵A的行数返回到第一个输出变量r，将矩阵的列数返回到第二个输出变量c
    
    if r ~= c  || r <= 1
        % 注意哦，不等号是 ~=  (~是键盘Tab上面那个键，要和Shift键同时按才会出来)，别和C语言里面的!=搞混了
        % ||表示逻辑运算符‘或’（在键盘Enter上面，也要和Shift键一起按） 逻辑运算符且是 && （&读and，连接符号，是and的缩写。 ）
        ERROR = 1;
    end
    % Matlab的判断语句，if所在的行不需要冒号，语句的最后一定要以end结尾 ；中间的语句要注意缩进。
    
    % (2) 检验是否为正互反矩阵  a_ij > 0 且 a_ij * a_ji = 1
    if ERROR == 0
        [n,n] = size(A);
        % 因为我们的判断矩阵A是一个非零方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
        % 判断是否有元素小于0
        %    for i = 1:n
        %        for j = 1:n
        %            if A(i,j)<=0
        %                ERROR = 2;
        %            end
        %        end
        %    end
        if sum(sum(A <= 0)) > 0
            ERROR = 2;
        end
    end
    
    %顺便检验n是否超过了15，因为RI向量为15维
    if ERROR == 0
        if n > 15
            ERROR = 3;
        end
    end
    
    if ERROR == 0
        % 判断  a_ij * a_ji = 1 是否成立
        if sum(sum(A' .* A ~=  ones(n))) > 0
            ERROR = 4;
        end
        % A' 表示求出 A 的转置矩阵，即将a_ij和a_ji互换位置
        % ones(n)函数生成一个n*n的全为1的方阵, zeros(n)函数生成一个n*n的全为0的方阵
        % ones(m,n)函数生成一个m*n的全为1的矩阵
        % MATLAB在矩阵的运算中，“/”号和“*”号代表矩阵之间的乘法与除法，对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”
        % 如果a_ij * a_ji = 1 满足， 那么A和A'对应元素相乘应该为1
    end
    
    
    if ERROR == 0
       
       % % % % % % % % % % % % %   方法1： 算术平均法求权重   % % % % % % % % % % % % %
       
       % 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
        % 第二步：将归一化的各列相加
        % 第三步：将相加后的向量除以n即可得到权重向量
        
        Sum_A = sum(A);
        % matlab中的sum函数的用法
        % a=sum(x);%按列求和
        % a=sum(x,2);%按行求和
        % a=sum(x(:));%对整个矩阵求和
        
        % % 基础：matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？
        % % （1）取指定行和列的一个元素（输出的是一个值）
        % %     A(2,1)  A(3,2)
        % % （2）取指定的某一行的全部元素（输出的是一个行向量）
        % %     A(2,:)  A(5,:)
        % % （3）取指定的某一列的全部元素（输出的是一个列向量）
        % %     A(:,1)  A(:,3)
        % % （4）取指定的某些行的全部元素（输出的是一个矩阵）
        % %    A([2,5],:)      只取第二行和第五行（一共2行）
        % %    A(2:5,:)        取第二行到第五行（一共4行）
        % % （5）取全部元素(按列拼接的，最终输出的是一个列向量)
        % %    A(:)
        
        SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
        % B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块，即把A作为B的元素，B由m×n个A平铺而成。
        % 另外一种替代的方法如下：
        % SUM_A = [];
        % for i = 1:n  %循环哦，不需要加冒号，这里表示循环n次
        %     SUM_A = [SUM_A;Sum_A];
        % end
        
        Stand_A = A ./ SUM_A;
        % MATLAB在矩阵的运算中，“*”号和“/”号代表矩阵之间的乘法与除法，对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”
        % 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
        
        disp('算术平均法求权重的结果为：');
        disp(sum(Stand_A,2) / n)
        % 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量，然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）
        
         
        % % % % % % % % % % % % %   方法2： 几何平均法求权重   % % % % % % % % % % % % %
        
        % 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
        Prduct_A = prod(A,2);
        % prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加
        
        % 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
        Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
        % 这里对元素操作，因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方
        
        % 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
        % 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
        disp('几何平均法求权重的结果为：');
        disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
        
        
        % % % % % % % % % % % % %   方法3： 特征值法求权重   % % % % % % % % % % % % %
        
        % 计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法：
        % （1）E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
        % （2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）
        [V,D] = eig(A);    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
        Max_eig = max(max(D)); %也可以写成max(D(:))哦~
        
        % 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
        % 下面例子来自博客：https://www.cnblogs.com/anzhiwu815/p/5907033.html
        % 关于find函数的更加深入的用法可参考原文
        % >> X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6];
        % >> ind = find(X)
        % ind =
        %    1     3     4     8     9
        % 其有多种用法，比如返回前2个不为0的元素的位置：
        % >> ind = find(X,2)
        % >> ind =
        %     1     3
        %若X是一个矩阵，索引该如何返回呢？
        %  >> X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
        %  X =
        %   1    -3     0
        %   0     0     8
        %   4     0     6
        %  >> ind = find(X)
        % ind =
        %      1
        %      3
        %      4
        %      8
        %      9
        % 这是因为在Matlab在存储矩阵时，是一列一列存储的，我们可以做一下验证：
        %  >> X(4)
        %  ans =
        %     -3
        % 假如你需要按照行列的信息输出该怎么办呢？
        % [r,c] = find(X)
        % r =
        %      1
        %      3
        %      1
        %      2
        %      3
        % c =
        %      1
        %      1
        %      2
        %      3
        %      3
        % [r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素
        % r =
        %      1
        % c =
        %      1
        
        % 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
        % 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算，共有三种运算符：大于> ;小于< ;等于 ==  （一个等号表示赋值；两个等号表示判断）
        % 例如：A > 2 会生成一个和A相同大小的矩阵，矩阵元素要么为0，要么为1（A中每个元素和2比较，如果大于2则为1，否则为0）
        [r,c]=find(D == Max_eig , 1);
        % 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
        
        disp('特征值法求权重的结果为：');
        disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
        % 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。
        
        
        % % % % % % % % % % % % %  下面是计算一致性比例CR的环节  % % % % % % % % % % % % %
        
        % 当CR<0.10时，我们认为判断矩阵的一致性可以接受；否则应对其进行修正。
        CI = (Max_eig - n) / (n-1);
        RI=[0 0.00001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
        % 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
        CR=CI/RI(n);
        disp('一致性指标CI=');disp(CI);
        disp('一致性比例CR=');disp(CR);
        if CR<0.10
            disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
        else
            disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
        end
    elseif ERROR == 1
        disp('请检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵')
    elseif ERROR == 2
        disp('请检查矩阵A中有元素小于等于0')
    elseif ERROR == 3
        disp('A的维数n超过了15，请减少准则层的数量')
    elseif ERROR == 4
        disp('请检查矩阵A中存在i、j不满足A_ij * A_ji = 1')
    end
    
    % % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
    % % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

> **代码降重方法：**
> 
> 1.  增加注释（甚至可以每一行都加注释）
> 2.  替换变量名
> 3.  增加恶心字符（emmmm…不作说明）
> 4.  附录代码块变为图片

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-HjW9JWi4-1657161871594)(D:\\软件\\Typora\\文件夹\\image-20220705152724644.png)\]][img-HjW9JWi4-1657161871594_D_Typora_image-20220705152724644.png]

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## AHP的局限性 ##

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![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-RBwgNY66-1657161871595)(C:\\Users\\nzd\_mbl\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220705152939907.png)\]][img-RBwgNY66-1657161871595_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705152939907.png]

**如果决策层中的指标数据是已知的，那可以选择[TOPSIS法（优劣解距离法）][TOPSIS]**

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[-]: https://www.chongbuluo.com/
[img-yitkwIaQ-1657161871582_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705150058435.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/72e83a6c26ad412e824712946a6f4646.png
[5dd98f6638b14f7e9f79f60633f88534.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/5dd98f6638b14f7e9f79f60633f88534.png
[img-NcVKViNd-1657161871585_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705160115586.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/92d10e9b7ffb453ab19dfc6507100229.png
[e21046d3bdb54437b9ec57eec992a487.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/e21046d3bdb54437b9ec57eec992a487.png
[e69a1d3d5f0c41bc9bc293539b065ffd.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/e69a1d3d5f0c41bc9bc293539b065ffd.png
[img-2JAJQFSE-1657161871587_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705194607419.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/4e72b2d93456414d9f9074385137fb73.png
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[img-UwZFKWgp-1657161871593_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705200457636.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/f23d66692d764c4db2974d5667930df8.png
[img-jHgwlHN6-1657161871593_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705200539979.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/9d8d9b08bba74110a7c57b461e4fd484.png
[img-Yxlw8DKe-1657161871594_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705200557389.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/1ea505a8f21d4f299ff3484eff45ddce.png
[img-HjW9JWi4-1657161871594_D_Typora_image-20220705152724644.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/7c233bd4815a475db47e296f5d19c2f0.png
[img-RBwgNY66-1657161871595_C_Users_nzd_mbl_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220705152939907.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/a96c451a61e2443fb051aad44f0fb566.png
[TOPSIS]: https://blog.csdn.net/Lov1_BYS/article/details/125744844?csdn_share_tail=%7B%22type%22%3A%22blog%22%2C%22rType%22%3A%22article%22%2C%22rId%22%3A%22125744844%22%2C%22source%22%3A%22Lov1_BYS%22%7D&ctrtid=CS6jR