matlab编程基础——基于层次分析法

Dear 丶 2023-07-24 14:38 73阅读 0赞

笔记来自：[数学建模：利用Matlab编写层次分析法的代码][Matlab]

**目录**

1. 矩阵的概念

2. 矩阵的乘法

3. 矩阵其他乘法

4. 特征值与特征向量

5. matlab基础代码讲解

Contents

Matlab基本的小常识

输出和输入函数(disp 和 input)

sum函数

基础：matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？

size函数

repmat函数

Matlab中矩阵的运算

Matlab中求特征值和特征向量

find函数的基本用法

矩阵与常数的大小判断运算

判断语句

--------------------

# 1. 矩阵的概念 #

[视频解释][Link 1]

> 矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的[复数][Link 2]或[实数][Link 3]集合 \[1\]  ，最早来自于[方程组][Link 4]的[系数][Link 5]及[常数][Link 6]所构成的[方阵][Link 7]。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

# 2. 矩阵的乘法 #

[矩阵乘法解释][Link 8]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

> 第一个矩阵第一行的每个数字（2和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1和1），然后将乘积相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

笔算：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbnlhbndlbm1lbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

matlab代码：

A = [1 2 3; 4 5 6];
    B = [7 8; 9 10; 11 12];
    A * B

输出结果：

![20200412150432198.png][]

比如：

# 3. 矩阵其他乘法 #

![20200412150617426.png][]

matlab代码：

A = [1 3 2; 1 0 0; 1 2 2];
    B = [0 0 2; 7 5 0; 2 1 1];
    A .* B

输出结果：

![20200412150830270.png][]

# 4. 特征值与特征向量 #

[含动图的讲解笔记][Link 9]

[众人皆醉我独醒——深入理解“特征值”和“特征向量”][Link 10]

![format_png][]

> 对于给定矩阵A，寻找一个常数λ（可以为复数）和非零向量x，使得向量x被矩阵A作用后所得的向量Ax与原向量x平行，并且满足Ax=λx。
> 
> n阶方阵指的是n\*n的矩阵（n行n列的矩阵）

[特征值与特征向量求解][Link 11]

%% Matlab中求特征值和特征向量
    % 在Matlab中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法：
    A = [1 2 3 ;2 2 1;2 0 3]
    % （1）E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
    E=eig(A)
    % （2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）
    [V,D]=eig(A)

![20200412153804955.png][]

# 5. matlab基础代码讲解 #

## Contents ##

*  Matlab基本的小常识
 *  输出和输入函数(disp 和 input)
 *  sum函数
 *  基础：matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？
 *  size函数
 *  repmat函数
 *  Matlab中矩阵的运算
 *  Matlab中求特征值和特征向量
 *  find函数的基本用法
 *  矩阵与常数的大小判断运算
 *  判断语句

## Matlab基本的小常识 ##

(1)在每一行的语句后面加上分号(一定要是英文的哦;中文的长这个样子；)表示不显示运行结果

a = 3;
    a = 5
    
    % (2)多行注释:选中要注释的若干语句,快捷键Ctrl+R
    % % a = 3;
    % % a = 5
    
    % (3)取消注释:选中要取消注释的语句,快捷键Ctrl+T
    % 我想要取消注释下面这行
    % 还有这一行
    
    % clear可以清除工作区的所有变量
    clear
    
    % clc可以清除命令行窗口中的所有文本,让屏幕变得干净
    clc
    
    % 所以大家在很多代码开头，都会见到:
    clear;clc   % 分号也用于区分行。
    % 这两条一起使用，起到“初始化”的作用，防止之前的结果对新脚本文件（后缀名是 .m）产生干扰。

## 输出和输入函数(disp 和 input) ##

disp函数 matlab中disp()就是屏幕输出函数，类似于c语言中的printf（）函数

isp('我是清风，大家好鸭~~~记得投币关注我哦')
    a = [1,2,3]    %同一行中间用逗号分隔，也可以不用逗号，直接用空格
    a = [1 2 3]
    a = [1;2;3]  % 分号可以用来分隔每一行的元素
    disp(a)
    % 注意，disp函数比较特殊，这里可要 分号，可不要分号哦
    disp(a);
    % matlab中两个字符串的合并有两种方法
    % （1）strcat(str1,str2……,strn)
    strcat('字符串1','字符串2')
    strcat('字符串1','字符串2','字符串3')
    % （2）[str 1,str 2，……, str n]或[str1  str2  ……  strn]
    ['字符串1'  '字符串2']
    ['字符串1','字符串2']
    ['字符串1','字符串2','字符串3']
    
    % 一个有用的字符串函数：num2str  将数字转换为字符串
    c = 100
    num2str(c)
    %disp(['c的取值为' num2str(c)])
    disp(['c的取值为', num2str(c)])
    disp(strcat('c的取值为', num2str(c)))
    
    % input函数
    % 一般我们会将输入的数、向量、矩阵、字符串等赋给一个变量，这里我们赋给A
    A = input('请输入A：');
    B = input('请输入B：')
    % 注意观察工作区，并体会input后面加分号和不加分号的区别

## sum函数 ##

（1）如果是向量（无论是行向量还是列向量），都是直接求和

E = [1,2,3]
    sum(E)
    E = [1;2;3]
    sum(E)
    % （2）如果是矩阵，则需要根据行和列的方向作区分
    clc
    E = [1,2;3,4;5,6]  % E = [1 2; 3 4; 5 6]   矩阵同行元素用逗号或者空格隔开，不同行之间用分号隔开
    % a=sum(x); %按列求和(得到一个行向量）
    a = sum(E)
    a = sum(E,1)   % 维度dim = 1 表示按照列  dim=2表示按照行  默认dim=1
    % a=sum(x,2); %按行求和(得到一个列向量）
    a = sum(E,2)
    % a=sum(x(:));%对整个矩阵求和
    a = sum(sum(E))
    E(:)
    a = sum(E(:))

## 基础：matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？ ##

（1）取指定行和列的一个元素（输出的是一个值）

clc;A=[1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1];
    A;
    A(2,1)
    A(3,2)
    % （2）取指定的某一行的全部元素（输出的是一个行向量）
    clc;A
    A(2,:)  % :表示取所有元素
    A(5,:)
    % （3）取指定的某一列的全部元素（输出的是一个列向量）
    clc;A
    A(:,1)
    A(:,3)
    % （4）取指定的某些行的全部元素（输出的是一个矩阵）
    clc;A
    A([2,5],:)      % 只取第二行和第五行（一共2行）
    A(2:5,:)        % 取第二行到第五行（一共4行）
    A(2:2:5,:)     % 取第二行和第四行 （从2开始，每次递增2个单位，到5结束）
    1:3:10
    1:3:9
    10:-1:1
    A(2:end,:)      % 取第二行到最后一行
    A(2:end-1,:)    % 取第二行到倒数第二行
    % （5）取全部元素(按列拼接的，最终输出的是一个列向量)
    clc;A
    A(:)

## size函数 ##

clc;
    A = [1,2,3;4,5,6]
    B = [1,2,3,4,5,6]
    size(A)
    size(B)
    % size(A)函数是用来求矩阵A的大小的,它返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数
    [r,c] = size(A)
    % 将矩阵A的行数返回到第一个变量r，将矩阵的列数返回到第二个变量c
    r = size(A,1)  %返回行数
    c = size(A,2) %返回列数

## repmat函数 ##

B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块，即把A作为B的元素，B由m×n个A平铺而成。

A = [1,2,3;4,5,6]
    B = repmat(A,2,1)
    B = repmat(A,3,2)

## Matlab中矩阵的运算 ##

MATLAB在矩阵的运算中，“\*”号和“/”号代表矩阵之间的乘法与除法(A/B = A\*inv(B))

A = [1,2;3,4]
    B = [1,0;1,1]
    A * B
    inv(B)  % 求B的逆矩阵
    B * inv(B)
    A * inv(B)
    A / B
    
    % 两个形状相同的矩阵对应元素之间的乘除法需要使用“.*”和“./”
    A = [1,2;3,4]
    B = [1,0;1,1]
    A .* B
    %A * B
    A ./ B
    
    % 每个元素同时和常数相乘或相除操作都可以使用
    A = [1,2;3,4]
    A * 2
    A .* 2
    A / 2
    A ./ 2
    
    % 每个元素同时乘方时只能用 .^
    A = [1,2;3,4]
    A .^ 2
    A ^ 2
    A * A

## Matlab中求特征值和特征向量 ##

在Matlab中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法：

A = [1 2 3 ;2 2 1;2 0 3]
    % （1）E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
    E=eig(A)
    % （2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）
    [V,D]=eig(A)

## find函数的基本用法 ##

下面例子来自博客：https://www.cnblogs.com/anzhiwu815/p/5907033.html 博客内有更加深入的探究 find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。

clc;
    X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6]
    ind = find(X)
    % 其有多种用法，比如返回前2个不为0的元素的位置：
    ind = find(X,2)
    
    %上面针对的是向量（一维），若X是一个矩阵（二维，有行和列），索引该如何返回呢？
    clc;X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
    ind = find(X)
    % 这是因为在Matlab在存储矩阵时，是一列一列存储的，我们可以做一下验证：
    X(4)
    % 假如你需要按照行列的信息输出该怎么办呢？
    [r,c] = find(X)%寻找不为0的元素在几行几列，r代表行，c代表列
    [r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素

## 矩阵与常数的大小判断运算 ##

共有三种运算符：大于> ;小于< ;等于 == （一个等号表示赋值；两个等号表示判断）

clc
    X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
    X > 0
    X == 4

## 判断语句 ##

Matlab的判断语句，if所在的行不需要冒号，语句的最后一定要以end结尾 ；中间的语句要注意缩进。

a = input('请输入考试分数:')
    if a >= 85
        disp('成绩优秀')
    elseif a >= 60
        disp('成绩合格')
    else
        disp('成绩挂科')
    end

补充：矩阵的秩[秩][Link 12]

比如你在一个公司里任职，如果你的工作能被其他人所替代，那么替代你的人和你的关系就是线性相关的，反过来，如果你的工作无人可以替代，那你们这一些不可替代的人就是线性无关的。那么秩的概念也就是你们这一组无可替代的人的人数。我们在工作岗位都是喜欢寻找那些不可替代的精英，在数学上也是一样的。而精英可以不断变动，但是完成一件工作需要的精英人数是固定的，这也就是秩的意义。

视频资源：

[高等代数 北京大学][Link 13]

[线性代数的本质 动画表达][Link 14]

[Matlab]: https://www.bilibili.com/video/BV1GJ411k7yP?from=search&seid=16291304906646572128
[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5/18069?fr=aladdin
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%8D%E6%95%B0/254365
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9E%E6%95%B0/296419
[Link 4]: https://baike.baidu.com/item/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84/5695032
[Link 5]: https://baike.baidu.com/item/%E7%B3%BB%E6%95%B0/101536
[Link 6]: https://baike.baidu.com/item/%E5%B8%B8%E6%95%B0/2215683
[Link 7]: https://baike.baidu.com/item/%E6%96%B9%E9%98%B5/7362108
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[Link 8]: https://blog.csdn.net/FnqTyr45/article/details/90090970
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[20200412150617426.png]: /images/20230528/bed3a4845cb94538a11461f8cff633df.png
[20200412150830270.png]: /images/20230528/73479527da884a2f8ecd505b93c339bf.png
[Link 9]: http://mini.eastday.com/bdmip/180328092726628.html#
[Link 10]: https://baijiahao.baidu.com/s?id=1628584413921520630&wfr=spider&for=pc
[format_png]: /images/20230528/36cfaea90573472da139b2344013d5f8.png
[Link 11]: https://www.bilibili.com/video/BV1XJ411U76f?from=search&seid=3376367787064003564
[20200412153804955.png]: /images/20230528/2a75aa8b6edb458d98612729f394fefb.png
[Link 12]: https://www.zhihu.com/question/39326459
[Link 13]: https://www.bilibili.com/video/BV1qt41167Sj?from=search&seid=4756668186894782445
[Link 14]: https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=4