【概率论与数理统计 Probability and Statistics 7】—— 一维随机变量函数的分布（离散型+连续型）

深碍√TFBOYSˉ_ 2023-07-18 14:00 20阅读 0赞

> 很多的实际应用里面，往往 X 的分布是已知的，实际问题对应的变量是 X 的函数，那么，我们应该如何求 Y 的分布呢？这篇  B l o g Blog Blog 将会带给你答案！我们开始吧！

### 文章目录 ###

*  一、一维离散型随机变量函数的分布
 *  二、一维连续型随机变量函数的分布

# 一、一维离散型随机变量函数的分布 #

我们对于一维离散型随机变量，都是以概率分布表的形式来说明分布的。那么，这样一来问题就变得简单了：只要已知 Y 的函数（例如 ： Y = a X + b Y = aX + b Y=aX\+b，我们就分别把 X 概率分布表里面的 X 的取值依次带入  Y = a X + b Y = aX + b Y=aX\+b ，得到对应的 Y 值，然后直接把概率对应地抄写过来即可！）

**但是，要特别说明一点：如果计算出来的 Y 有重复的，（例如： Y = X 2 Y = X^2 Y=X2 ，当 X = 1, -1 时，计算出来的 Y 是一样的，这时，我们需要把 两个取值相同的 Y 的概率加起来）**

求  Y = X 2 Y = X^2 Y=X2的分布：  
【步骤一】

【步骤二】：看 Y 有没有一样的需要合并

# 二、一维连续型随机变量函数的分布 #

已知 X 的分布函数，计算 Y 的概率密度函数。有一个统一套路：  
【1】写 Y 分布函数的表达式： F Y ( x ) = P \{ Y ≤ x \} F\_Y(x) = P\\\{Y ≤ x\\\} FY(x)=P\{ Y≤x\}  
【2】根据 Y 对于 X 的函数把 Y = 、、、带入 Y ≤ x，解出：X ≤ m  
【3】那么，就可以得到： F Y ( x ) = F X ( m ) F\_Y(x) = F\_X(m) FY(x)=FX(m)  
【4】两边求导，注意： F X ( m ) F\_X(m) FX(m)对 x 的求导是复合函数求导。得到  f Y ( x ) f\_Y(x) fY(x)

不过要特别注意 x 的取值范围。

我们看一个需要分情况的例题：  
已知： X X X~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)， Y = X 2 Y = X^2 Y=X2，求 Y 的概率密度函数。

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