统计学：离散型和连续型随机变量的概率分布

落日映苍穹つ 2022-07-24 08:16 260阅读 0赞

## 主要随机变量一览表 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th align="center">随机变量</th> 
 <th>概率分布</th> 
 <th align="center">均值</th> 
 <th align="center">方差</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td align="center">一般离散型变量</td> 
 <td> p(x)的表、公式或者图 </td> 
 <td align="center"> ∑xxp(x) </td> 
 <td align="center"> ∑x(x−μ)2p(x) </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">二项分布</td> 
 <td> p(x)=Cxnpxqn−x&nbsp;(x=0,1,2,3⋅⋅⋅,n) </td> 
 <td align="center"> np </td> 
 <td align="center"> npq </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">泊松分布</td> 
 <td> p(x)=λxe−λx!&nbsp;(x=0,1,2,⋅⋅⋅) </td> 
 <td align="center"> λ </td> 
 <td align="center"> λ </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">超几何分布</td> 
 <td> p(x)=CxrCn−xN−rCnN </td> 
 <td align="center"> nrN </td> 
 <td align="center"> r(N−r)n(N−n)N2(N−1) </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">均匀分布</td> 
 <td> f(x）=1b−a&nbsp;(a≤x≤b) </td> 
 <td align="center"> a+b2 </td> 
 <td align="center"> b−a12√ </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">正态分布</td> 
 <td> f(x)=1σ2π√e−(1/2)[(x−μ)σ]2 </td> 
 <td align="center"> μ </td> 
 <td align="center"> σ2 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">标准正太分布</td> 
 <td> f(z)=12π√e−(1/2)z2 </td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center">1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">指数分布</td> 
 <td> f(x)=1θe−x/θ(x&gt;0) </td> 
 <td align="center"> μ=θ </td> 
 <td align="center"> σ=θ </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

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## 1. 离散型和连续型随机变量的定义 ##

离散型随机变量（discrete random variable）：取值是可数的个值的随机变量， 比如投掷一枚骰子的朝上的点数，可能是1,2,3,4,5,6；比如南京大学四食堂吃饭的人数，可能是0,1,2···。  
连续型随机变量（continuous random variable）：取值是一个区间中的任意一点（也就是不可数）的随机变量，比如南京大学同学身高。

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## 2. 离散型随机变量的概率分布 ##

1.  基本概念的公式表达  
    均值（期望值expected value）：*μ*=*E*(*x*)=∑*x**p*(*x*)  
    方差（variance）：*σ*=*E*\[(*x*−*μ*)2\]=∑(*x*−*μ*)2*p*(*x*)  
    标准差（standard deviation):*σ*=*σ*2−−√  
    *其中，可以证明到E\[(x−μ2)\]=E(x)2−μ2*  
    **2. 二项分布**  
    如果进行n次不同的实验，每次试验完全相同并且只有两种可能的结果，这样的实验结果分布情况就是二项分布。最简单的比如投掷一枚硬币，不管进行多少次实验，实验结果都只有正面朝上或者反面朝上，这就是一个简单的二项分布。  
    **二项概率分布：**  
    
    
    *p*(*x*)=*C**x**n**p**x**q**n*−*x*(*x*=0,1,2,3⋅⋅⋅,*n*)
    
        其中：n代表n次实验，x表示实验结果为T的次数，q是实验结果为T的概率，q=1-p，表示实验结果为F的概率。
    
    **二项分布的**  
    均值：*μ*=*n**p*  
    方差：*σ*2=*n**p**q*  
    标准差:*σ*=*n**p**q*−−−√  
    二项分布对于结果只有两种情况的随机事件有非常好的描述，属于日常生活中最常见、最简单的随机变量概率分布，在知道某种实验结果概率的情况下，能够很好推断实验次数后发生其中某一结果次数的概率。  
    **3. 泊松分布**  
    泊松分布的概率分布，均值和方差：  
    
    
    *p*(*x*)=*λ**x**e*−*λ**x*!(*x*=0,1,2,⋅⋅⋅)
    
      
    
    
    *μ*=*λ*
    
      
    
    
    *σ*2=*λ*
    
      
    **4. 超几何分布**  
    超结合分布和二项分布比较相似，二项分布每次实验完全一样，而超几何分布前一次的实验结果会影响后面的实验结果。简单地讲，二项分布抽取之后放回元素，而超几何分布是无放回的抽取。  
    超几何分布的概率分布，均值和方差：  
    
    
    *p*(*x*)=*C**x**r**C**n*−*x**N*−*r**C**n**N*
    
      
    
    
    *μ*=*n**r**N*
    
      
    
    
    *σ*2=*r*(*N*−*r*)*n*(*N*−*n*)*N*2(*N*−1)

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## 3. 连续型随机变量的概率分布 ##

*  **概率密度函数（probability density function）：**  
    又称之为频率函数（frequency function），或者概率分布（probability distribution），用来表示连续型随机变量的概率分布情况，一般是一条光滑的曲线。  
    **1. 正太分布（normal distribution）**  
    ![正态分布][20160518152727047]  
    正态分布是统计学中常见的一种分布，表现为两边对称，是一种钟型的概率分布（bell curve）,正太分布有一下的特征：  
    
    
      
    **概率密度函数：**
    
    *f*(*x*)=1*σ*2*π*−−√*e*−(1/2)\[(*x*−*μ*)*σ*\]2
    
    其中，*μ*是正太随机变量的均值；  
    *σ*是标准差；  
    *π*是圆周率，约等于3.1416···  
    *e*=2.71828⋅⋅⋅

特别的，当*μ*=0且*σ*=1的正态分布，被称为标准正太分布（standard distribution），此时有：

*f*(*z*)=12*π*−−√*e*−(1/2)*z*2

标准正态分布有对应的标准正态分布表，通过该表可以找到对应值累积的概率。

**正太分布转化为标准正态分布：**  
正太分布*x*,均值是*μ*，标准差是*σ*，*z*定义为*z*=（*x*−*μ*)/*σ*

***正态分布来近似二项分布***  
当n足够大的时候，正态分布对于离散型二项分布能够很好地近似。  
![二项分布][20160518161725864]

***评价正态分布***  
如何来确定数据是否正态分布，主要有以下几种方法：  
1. 图形感受法：建立直方图或者枝干图，看图像的形状是否类似正太曲线，既土墩形或者钟形，并且两端对称。  
2. 计算区间*x*¯±*s*,*x*¯±2*s*,*x*¯±3*s*，看落在区间的百分比是否近似于68%，95%，100%。（切比雪夫法则和经验法则）  
3. 求*I**Q**R*和标准差*s*，计算*I**Q**R*/*s*，如若是正态分布，则*I**Q**R*/*s*≈1.3.  
4. 建立正态概率图，如果近似正态分布，点会落在一条直线上。  
![正态概率图][20160518163819954]

**2. 均匀分布**  
均匀概率分布（uniform probability distribution）是指连续随机变量所有可能出现值出现概率都相同。  
![均匀分布][20160518165322427]  
均匀随机变量x概率分布特征：  
***概率密度函数：***

*f*(*x*）=1*b*−*a*(*a*≤*x*≤*b*)

均值：  *μ*=*a*\+*b*2  
标准差：  *σ*=*b*−*a*12√

**3. 指数分布**  
指数概率分布（exponential probability distribution），具有如下特征：  
概率密度函数：

*f*(*x*)=1*θ**e*−*x*/*θ*(*x*>0)

均值：  *μ*=*θ*  
标准差：  *σ*=*θ*

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更多文章：  
[ 概率论中基本概念回顾 ][Link 1]

[20160518152727047]: /images/20220722/5b80e41b516344f5953870c2becb1fdc.png
[20160518161725864]: /images/20220722/163bc481d048404e9f072c49d2a28e31.png
[20160518163819954]: /images/20220722/148cca6ae29e45708507a59d2afaf047.png
[20160518165322427]: /images/20220722/2bb9459266004e8e8c2631456796e8e2.png
[Link 1]: http://blog.csdn.net/moxigandashu/article/details/51438415