概率论基础 —— 5.离散型二维随机变量

小鱼儿 2022-08-30 01:51 217阅读 0赞

> 在本系列前4章节，我们快速的过了一遍概率论对于一维随机变量的定义与分类。  
> 从最原始直观的经典概率类型出发，我们引申到了条件概率，以及针对条件概率，扩展得到的全概率、贝叶斯概率。  
> 在对概率建立起一定概念后，我们又引入了针对是否连续，而提出的连续型和离散型概率事件的模型，并且分别介绍了针对离散型概率事件表达的概率分布函数，与连续型的概率密度函数，并介绍了5种重要的概率模型。

### 文章目录 ###

*  关于二维概率事件
 *  关于离散型二维随机变量
 *   *  分布律（Probability Function / Distribution Law）
     *  边缘分布律 (Marginal Distribution Law)
     *  独立性
 *  做点练习题吧！

# 关于二维概率事件 #

二维可以认为是针对一维事件的扩展，由于现实中很多事件可能包含多个变量，所以单纯的用一维模型是无法解决的。因此在教材中引入二维的概念，其实是为了将来面对高维度概率事件做准备。

离散型从概念上说，要比连续型容易理解和入手，所以这里也遵照教材的顺序，从离散型二维随机变量出发，引入二维概率事件。

# 关于离散型二维随机变量 #

## 分布律（Probability Function / Distribution Law） ##

再次重申，你需要反复记住一个概念，就是针对离散型的概率模型，有且只有分布律。因为对于离散的点来说，它在**数学上是没有积分面积这个概念的，因为离散的点，即不存在极限，也不存在斜率，所以为了研究离散概率事件，只能研究它的分布函数**，而连续型，是有分布函数的，之所以不常提连续型的概率分布函数，是因为在连续的积分区域里面，更为方便和容易理解连续概率事件的特征。

我一直不是很明白中文教材一些数学专业名词的含义，大抵跟这些概念引入中国是在清中期，比如与李善兰等老先生的工作有关，不过语言是活的，当年的那些概念是否符合今人的习惯，并且能够准确理解，我是抱有怀疑态度的。所以在这个数学基础系列里，在一些我认为有所模糊的地方，都会尝试引入原本的英文定义，或者我认为比较接近小白都能理解的含义。

在前两个章节里，反复提到的分布律，你可以理解为概率集合，或者是概率样本集合。英文直译就是分布概率函数或者分布规律。因此，比方说对于一个一维随机离散型概率事件，它的分布规律/分布律/分布函数，就可以是这样的：

而对于二维离散概率，就可以得到这样的表现形式：

## 边缘分布律 (Marginal Distribution Law) ##

所谓边缘分布律，可以理解为投影，即从一个方向投影到另外一个方向上，线性叠加的过程。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
这个概念和线性代数里的特征向量很相似，只不过要更为简单。因为如果变量X，Y分别为离散随机样本的两个变量，那么当提到X，Y上的边缘分布律时，只是把所有的点映射到X或者Y轴上面。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

因此，可以有这样简单的公式计算边缘分布律

对于X轴的边缘分布概率，可以得到：

P \{ x \} = ∑ y P \{ x , y \} = ∑ P \{ x ∣ y \} P \{ y \} P\\\{ x \\\} = \\sum\_y P\\\{ x, y \\\} = \\sum P\\\{ x | y \\\} P \\\{y \\\} P\{ x\}=y∑P\{ x,y\}=∑P\{ x∣y\}P\{ y\}

同理，对于Y轴的边缘分布概率，也可以得到：

P \{ y \} = ∑ x P \{ x , y \} = ∑ P \{ y ∣ x \} P \{ x \} P\\\{ y \\\} = \\sum\_x P\\\{ x, y \\\} = \\sum P\\\{ y | x \\\} P \\\{x \\\} P\{ y\}=x∑P\{ x,y\}=∑P\{ y∣x\}P\{ x\}

实际上也就是把概率按照一个方向上进行加和运算。

## 独立性 ##

离散型二维随机变量是否满足独立的一个条件，就是看它各自在边缘分布上是否独立。听起来有点绕？其实很简单，大致就是：对于二维离散型随机分布  P \{ X = x i , Y = y j \} P\\\{ X = x\_i, Y = y\_j \\\} P\{ X=xi,Y=yj\} X和Y是否独立，要满足：

P \{ X = x i , Y = y j \} ⇋ P \{ X = x i \} ∩ P \{ Y = y j \} P\\\{ X = x\_i, Y = y\_j \\\} \\leftrightharpoons P\\\{ X=x\_i \\\} \\cap P\\\{ Y = y\_j \\\} P\{ X=xi,Y=yj\}⇋P\{ X=xi\}∩P\{ Y=yj\}

稍微细心的朋友，就会发现这其实是第一章节里，基本概率类型的交概率事件，是的！到这里，离散型二维随机变量的基本概念就结束了，不过基于这些概念，可以出的题可是有很多的。

然后我们来试着做点练习题吧：

# 做点练习题吧！ #

> 已知二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律如下：
> 
> <table> 
>  <thead> 
>   <tr> 
>    <th>X\Y</th> 
>    <th>-1</th> 
>    <th>1</th> 
>    <th>2</th> 
>   </tr> 
>  </thead> 
>  <tbody> 
>   <tr> 
>    <td>-1</td> 
>    <td>0.1</td> 
>    <td>0.2</td> 
>    <td>0.3</td> 
>   </tr> 
>   <tr> 
>    <td>2</td> 
>    <td>0.2</td> 
>    <td>0.1</td> 
>    <td>0.1</td> 
>   </tr> 
>  </tbody> 
> </table>
> 
> (1)  P \{ X = − 1 , Y = 2 \} P \\\{ X = -1, Y = 2 \\\} P\{ X=−1,Y=2\} 和  P \{ X ≤ Y \} P \\\{ X \\leq Y \\\} P\{ X≤Y\}  
> (2) X和Y的边缘分布律  
> (3) X和Y是否独立  
> (4)  Z = X + Y Z = X + Y Z=X\+Y，  W = m a x \{ X , Y \} W = max \\\{ X, Y \\\} W=max\{ X,Y\} 的分布律  
> (5)  P \{ X = − 1 ∣ Y = 1 \} P\\\{ X = -1 | Y = 1 \\\} P\{ X=−1∣Y=1\}

**解（1）**

从上面的分布律直接查表于是：  
 P \{ X = − 1 , Y = 2 \} = 0.3 P \\\{ X = -1, Y = 2 \\\} = 0.3 P\{ X=−1,Y=2\}=0.3

对于  X ≤ Y X \\leq Y X≤Y，可以得到：

当  X = − 1 X = -1 X=−1 的时候，符合以上条件的Y有  Y = − 1 , 1 , 2 Y = -1, 1, 2 Y=−1,1,2；当  X = 2 X = 2 X=2 时，可以有  Y = 2 Y = 2 Y=2， 所以我们可以得到：

P \{ X ≤ Y \} = P \{ − 1 , − 1 \} + P \{ − 1 , 1 \} + P \{ − 1 , 2 \} + P \{ 2 , 2 \} = 0.7 P \\\{ X \\leq Y \\\} = P\\\{ -1, -1 \\\} + P\\\{ -1, 1 \\\} + P\\\{ -1, 2 \\\} + P\\\{ 2, 2 \\\} = 0.7 P\{ X≤Y\}=P\{ −1,−1\}\+P\{ −1,1\}\+P\{ −1,2\}\+P\{ 2,2\}=0.7

**解（2）**

根据边缘分布律的定义，我们可以得到：

对于X来说：

P \{ X = − 1 \} = P \{ − 1 , − 1 \} + P \{ − 1 , 1 \} + P \{ − 1 , 2 \} = 0.6 P \\\{ X = -1 \\\} = P \\\{ -1, -1 \\\} + P \\\{ -1, 1 \\\} + P \\\{ -1, 2 \\\} = 0.6 P\{ X=−1\}=P\{ −1,−1\}\+P\{ −1,1\}\+P\{ −1,2\}=0.6

P \{ X = 2 \} = P \{ 2 , − 1 \} + P \{ 2 , 1 \} + P \{ 2 , 2 \} = 0.4 P \\\{ X = 2 \\\} = P \\\{ 2, -1 \\\} + P \\\{ 2, 1 \\\} + P \\\{ 2, 2 \\\} = 0.4 P\{ X=2\}=P\{ 2,−1\}\+P\{ 2,1\}\+P\{ 2,2\}=0.4

对于Y来说：  
 P \{ Y = − 1 \} = P \{ − 1 , − 1 \} + P \{ 2 , − 1 \} = 0.3 P\\\{ Y = -1 \\\} = P\\\{ -1, -1 \\\} + P\\\{ 2, -1 \\\} = 0.3 P\{ Y=−1\}=P\{ −1,−1\}\+P\{ 2,−1\}=0.3

P \{ Y = 1 \} = P \{ − 1 , 1 \} + P \{ 2 , 1 \} = 0.3 P\\\{ Y = 1 \\\} = P\\\{ -1, 1 \\\} + P\\\{ 2, 1 \\\} = 0.3 P\{ Y=1\}=P\{ −1,1\}\+P\{ 2,1\}=0.3

P \{ Y = 2 \} = P \{ − 1 , 2 \} + P \{ 2 , 2 \} = 0.4 P\\\{ Y = 2 \\\} = P\\\{ -1, 2 \\\} + P\\\{ 2, 2 \\\} = 0.4 P\{ Y=2\}=P\{ −1,2\}\+P\{ 2,2\}=0.4

然后我们把以上的分布概率制作成表格：

**解（3）** 是否独立，我们把上面的边缘分布律进行相乘：

然后我们跟原始的分布律表进行对比，发现不一样，所以可以得出事件X和Y不独立

**解（4）** 单纯看题目，好像很难解，于是我们把原始的分布律表换成这样的形式：

然后我们把新函数的分布律加入到上面的那张表

然后把概率样本进行加和：

**解（5）** 我们根据条件概率的公式；

P \{ X = − 1 ∣ Y = 1 \} = P \{ X = − 1 , Y = 1 \} P \{ Y = 1 \} P\\\{ X = -1 | Y = 1 \\\} = \\frac\{P\\\{X = -1, Y = 1 \\\} \}\{P \\\{ Y = 1\\\} \} P\{ X=−1∣Y=1\}=P\{ Y=1\}P\{ X=−1,Y=1\}

分别从边缘概率和原来的概率分布表中查表可知：

P \{ X = − 1 ∣ Y = 1 \} = 0.2 0.3 = 2 / 3 P\\\{ X = -1 | Y = 1 \\\} = \\frac\{0.2\}\{0.3\} = 2/3 P\{ X=−1∣Y=1\}=0.30.2=2/3

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