概率论第4记：二维随机变量

青旅半醒 2022-03-31 04:46 511阅读 0赞

通常随机实验，建立在样本空间上的随机变量不会只有一个，比如研究一个家庭的生活水平，不但观察月收入，还要观察月支出。  
一般，如果X，Y是定义在样本空间S上的随机变量，那么（X，Y）称为二维随机变量（或称二维随机向量），类似可以定义n维随机变量。  
定义：设二维随机变量(X,Y)所有可能的取值为(xi,yj),(i,j=1,2,3…)；（X，Y）取（xi,yj）的概率为pij，称  
P\{X=xi,Y=yj\}=pij为二维随机变量(X,Y)的分布律，也称为X和Y的联合分布律。  
显然pij>=0  
 ∑ 1 ∞ ∑ 1 ∞ p i j = 1 \\sum\_\{1\}^\{∞\}\\sum\_\{1\}^\{∞\}p\_\{ij\}=1 ∑1∞∑1∞pij=1  
同理，对于连续型随机变量，有 ∬ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \\iint\_\{-∞\}^\{∞\}\{f(x,y)dxdy\}=1 ∬−∞∞f(x,y)dxdy=1  
(X,Y)落在某一区域G的概率P\{(X,Y)∈G\}= ∬ G f ( x , y ) d x d y \\iint\_\{G\}^\{\}\{f(x,y)dxdy\} ∬Gf(x,y)dxdy  
同理，可以定义二维连续随机变量的分布函数  
F(x,y)=P\{(X≦x)∩(Y≦y)\}=P\{X≦x,Y≦y\}称作二维随机变量的分布函数  
F(x,y)值描述的是二维随机变量落在下图阴影区的概率：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMxMTUwNDYz_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
上面讲的是联合分布，对于二维随机变量，自然也会有X，Y各自单独的分布，称为边缘分布。  
对于离散型随机变量，由于可以看作一个矩阵：如图：

很显然，单纯研究X＝xi时候，P\{X=xi\}=pi1+pi2+pi3+…+pim= ∑ j = 1 m p i j \\sum\_\{j=1\}^\{m\}p\_\{ij\} ∑j=1mpij  
同理推出：  
P\{Y=yj\}=p1j+p2j+p3j+…+pnj= ∑ i = 1 n p i j \\sum\_\{i=1\}^\{n\}p\_\{ij\} ∑i=1npij  
二维连续性随机变量也类似，只不过连加变成积分而已。对于P\{X=xi\}是对y积分，P\{Y=yj\}是对x积分。比如，已知（X，Y）是连续型随机二维变量，而且其概率密度函数为f(x)，求X在［a,b］区间的概率，计算公式为:  
 ∫ a b \[ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y \] d x \\int\_\{a\}^\{b\}\[\\int\_\{-∞\}^\{∞\} f(x,y)dy\]dx ∫ab\[∫−∞∞f(x,y)dy\]dx

### 二维随机变量的条件分布 ###

二维随机变量的条件分布从概率的条件分布而来，研究的是当xi或者yj已知的条件下，yj或xi的分布规律，借助概率的条件分布表达式，可以写出形如下面的二维随机变量条件分布表达式：  
P\{Y=yj|X=xi\}= P \{ X = x i , Y = y j \} P \{ X = x i \} ( j = 1 , 2 , 3... ) \\frac\{P\\left \\\{ X=x\_i,Y=y\_j\\right \\\}\}\{P\\left \\\{ X=x\_i \\right \\\}\} \\quad \\quad (j=1,2,3...) P\{ X=xi\}P\{ X=xi,Y=yj\}(j=1,2,3...)  
以上公式描述为：设（X，Y）的概率密度为f(x,y)，边缘概率密度分别为fx(x)和fy(y)，则条件概率密度fY|X(y|x)= f ( x , y ) f x ( x ) \\frac\{f(x,y)\}\{f\_\{x\}(x)\} fx(x)f(x,y)，也即：f(x,y)=fx(x)\*fY|X(y|x)=fy(y)\*fX|Y(x|y)  
上面的公式推导原理如下：  
对于离散型随机变量，我们可以计算X=xi时候yj的概率，但是对于连续性随机变量，无论对于xi还是yj，由于积分都是0（由于是某一个点，积分区间是0，所以积分也是0）不是直接套用离散型的公式，但是借助微分和极限的方法，我们可以如下求近似值：P(a≦Y≦b,x≦X≦x+ε)ε→0= P ( x ⩽ X ⩽ x + ε , a ⩽ Y ⩽ b ) P \{ x ⩽ X ⩽ x + ε \} \\frac\{P\\left ( x\\leqslant X\\leqslant x+\\varepsilon ,a\\leqslant Y\\leqslant b\\right )\}\{P\\left \\\{ x\\leqslant X\\leqslant x+\\varepsilon\\right \\\}\} P\{ x⩽X⩽x\+ε\}P(x⩽X⩽x\+ε,a⩽Y⩽b)=$$  
公式编辑好麻烦好累啊。手写看图吧：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMxMTUwNDYz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
上图中的F称为已知X=x条件下Y的条件分布函数  
我们可以推出FY|X(y|x)= ∫ − ∞ x f Y ∣ X ( y ∣ x ) d y \\int\_\{-\\infty \}^\{x\}\{f\_\{Y|X\} \\left ( y|x \\right )\}d\_y ∫−∞xfY∣X(y∣x)dy  
FY|X(y|x)=fy|x(y|x)对于y积分

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