概率论第2记：随机变量1

╰半夏微凉° 2022-04-10 09:29 196阅读 0赞

从这一章开始，概率统计进入高数的研究范围。打起精神吧

## 什么是随机变量？ ##

如果我们先后抛掷两颗骰子，所有可能的样本空间S=\{(1,1),(1,2)…(2,1)…(6,6)\}，很多时候我们关心的不是样本空间，也不是先后抛出了多少点，而是关注两个骰子的点数加起来是多少点，比如加起来是5点的有（1，4）（2，3）（4，1）（3，2）.这样，就是样本空间和具体的数值之间建立了某种关联，这个数值如果用字母X表示，就称X是建立在样本空间S上的随机变量。所以随机变量的定义为：定义在样本空间S上的实值单值函数：X=X(x),(x∈S).  
比如打靶，着弹点距离靶心的距离就是一个随机变量(假设目标靶直径人，而且每次射击不会脱靶)：X((x,y))= x 2 + y 2 ， x 2 + y 2 < = r 2 \\sqrt\{x^2+y^2\}，x^2+y^2<=r^2 x2\+y2，x2\+y2<=r2很显然，随机变量的取值也有一定的概率性。

## 离散型和连续型随机变量 ##

随机变量的取值是否可以列举，是区别二者的标志  
对于离散型随机变量：  
pi>=0  
 ∑ k = 1 ∞ p k = 1 \\sum\_\{k=1\}^\{∞\}\{p\_\{k\}=1\} ∑k=1∞pk=1

### 两种重要的离散型随机变量 ###

#### 二项分布 ####

样本空间只有两个结果\{H，L\}，这样的实验称为贝努利实验。这样的实验进行n次，就是n重贝努利实验。设样本空间某实验结果（H或者L，这里我们假设是H）出现的概率为p，那么n重贝努利实验中，出现k次H的概率为：P(X=k)= C n k ∗ x p ∗ ( 1 − p ) n − k \\textrm\{C\}\_\{n\}^\{k\}\*x^\{p\}\*(1-p)^\{n-k\} Cnk∗xp∗(1−p)n−k,称X服从以n,p为参数的二项分布。特别的，当n=1时候,P(X=k)= p k ( 1 − p ) 1 − k p^k(1-p)^\{1-k\} pk(1−p)1−k

#### 泊松Poisson分布 ####

P(X=k)= λ k e − λ k ! \\frac\{\\lambda ^ke^\{-\\lambda \}\}\{k!\} k!λke−λ  
很多随机变量服从或近似服从泊松分布，比如一天中医院挂号的人数。  
泊松分布，当k= λ \\lambda λ时，函数取最大值。以下是不同 λ \\lambda λ的泊松分布函数图（虽然是离散型随机变量，但是，此处以连续的函数图形直观说明）  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMxMTUwNDYz_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
实现以上图形的Python代码如下：

from math import *
    import matplotlib.pyplot as plt
    def Poisson(K,l):
        return ((l**K)*exp(-1*l))/factorial(K)
    _lambda=[10,30,50,70]
    for i in range(4):
        test_data=[]
        subplt=plt.subplot(2,2,i+1)
        for j in range(100):
            test_data.append(Poisson(j,_lambda[i]))
        subplt.plot(test_data,label="lambda=%d"%_lambda[i])
        subplt.Xlabel="X=k"
        subplt.Ylabel="Posisson"
        subplt.legend()
    plt.show()

PS:实际上，以上两种分布的公式，如果看作连续型随机变量的话(尽管实际上不是)，函数都是概率密度函数，因为： ∑ f = 1 ， ∫ f d x = 1 \\sum \{f\}=1， \\int \{fdx\}=1 ∑f=1，∫fdx=1  
上面提到了概率密度函数，下面接着写。

### 连续型随机变量 ###

连续型随机变量和离散型随机变量的重要区别：离散型随机变量X的取值是当x为样本空间某一随机事件（包含基本事件）X的概率值。连续型随机变量的值是x在某一取值区间时候X的概率值（因为样本点不可列举），而在某一确切的x值，X为0，从这个表述可以看书，连续型随机变量的取值实际上是某一个函数在区间的积分：  
 P ( a ⩽ x ⩽ b ) = ∫ a b f ( x ) d x P(a\\leqslant x\\leqslant b)=\\int\_\{a\}^\{b\}\{f(x)dx\} P(a⩽x⩽b)=∫abf(x)dx  
而且有： ∫ a b f ( x ) d x ⩾ 0 \\int\_\{a\}^\{b\}\{f(x)dx\}\\geqslant0 ∫abf(x)dx⩾0  
 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 \\int\_\{-∞\}^\{∞\}\{f(x)dx\}=1 ∫−∞∞f(x)dx=1  
f(x)称为X的概率密度（函数），在计算X落在某一区间的概率时候，可以不必考虑是否包含区间的端点，毕竟端点积分为0，所以:P\{a≤X≤b\}=P\{a<x≤b\}=P\{a<x<b\}  
根据微分原理，P\{x≤X≤x+Δx\}，当Δx→0时候，P≈f(x)\*Δx,(即曲边梯形的面积近似等于矩形的面积)如图  
![在这里插入图片描述][20190101221243488.png]

### 三种重要的连续型随机变量 ###

#### 平均分布 ####

X在区间（a,b)内平均分布，区间外概率为0：  
f(x)= \{ 0  if  x = 其 他 1 b − a  if  a ≤ x ≤ b \\begin\{cases\} 0 & \\text\{ if \} x= 其他\\\\ \\frac\{1\}\{b-a\} & \\text\{ if \} a≤x≤b \\end\{cases\} \{ 0b−a1 if x=其他 if a≤x≤b

#### 指数分布 ####

X具有概率密度：f(x)= \{ 0  if  x = 其 他 1 β e − x β  if  x > 0 \\begin\{cases\} 0 & \\text\{ if \} x=其他 \\\\ \\frac\{1\}\{\\beta \}e^\{\\frac\{-x\}\{\\beta \}\} & \\text\{ if \} x>0 \\end\{cases\} \{ 0β1eβ−x if x=其他 if x>0  
比如电子元件的寿命就服从指数分布

#### 正态分布 ####

也叫高斯分布  
百度百科这么说：若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。  
![在这里插入图片描述][20190102090927683.png]  
这个分布以后详解

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMxMTUwNDYz_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220401/9a601e3bc2b84638b33856f5e048bcf3.png
[20190101221243488.png]: /images/20220401/0913be266b9245419f0cf300c03e9339.png
[20190102090927683.png]: /images/20220401/523ec249fe9a4f459100695923e7ba8f.png