概率论第1记：基础概念

水深无声 2022-04-01 03:14 316阅读 0赞

# 基础概念 #

一次随机试验所有可能的结果组成的集合称为**样本空间**  
样本空间的每一个元素称为**样本点**  
样本空间的任一子集称为一个**随机事件**。只有一个样本点的子集称为**基本事件**  
如果一次实验中，某随机事件包含的样本点出现了，我们称该事件发生了。  
它们之间的关系可以用图表示：  
![在这里插入图片描述][20181228204345436.png]  
特别的，整个样本空间由于每次试验一定出现S的样本点，所以，S称为必然事件。不包含任何样本点的空集∅称为不可能事件

# 随机事件的关系运算 #

事件是集合，所以也有集合之间的运算。  
如果事件A发生必然导致事件B发生，称事件B包含事件A，写作： A ⊂ B A\\subset B A⊂B，如果两者互相包含，则成A=B。  
**和时间**：若事件A**和**事件B至少有一个发生，这一事件成为A和B的**和事件**，记作A∪B,也记作A+B  
这句话这么理解：如果事件C=A+B，那么对于事件C来说，C若发生，那么A和B至少有一个要发生才成立。  
**积事件**，记作A∩B，也称为交事件。  
若某事件C若要发生需事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的交事件（或积事件）。记为A∩B或AB。  
***PS：从定义可以看出，和事件（A+B）相当于逻辑运算的or，积事件相当于逻辑运算的and***  
**差事件**，记作A-B  
若时间C=A-B,事件C发生的条件是：A发生，而且B不发生。该事件的样本点属于事件A，并且不属于事件B  
事件运算符合集合运算的交换律，结合律和分配律，以及德摩根定律:  
 A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \\overline\{A\\cap B\}=\\overline\{A\}\\cup \\overline\{B\} A∩B=A∪B  
 A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ \\overline\{A\\cup B\}=\\overline\{A\}\\cap \\overline\{B\} A∪B=A∩B  
两个事件的积事件如果为空：A∩B=∅，则称二者是不相容事件（注意和以后不相关事件定义的区别）  
两个事件A,B，如果A∪B=S,而且A∩B=∅，则称二者互为“逆事件”或“对立事件”  
以上关系用文氏图表示如下：

# 随机事件的频率 #

在相同条件下重复实验n次，事件A发生了fa次，称fa为频数，fa/n为频率，当n足够大的时候，通常用频率来预估“概率”  
概率和频率具有基本的三个性质：  
以Rn(A)，Rn(B)分别表示事件A和事件B在n次重复实验中发生的频率（概率），则有以下三个性质：

1.  对于任意时间A，有0≤Rn(A)≤1
2.  对于必然事件S，有Rn(S)=1
3.  Rn(A∪B)=Rn(A)+Rn(B)-Rn(AB)，尤其A,B是互不相容事件的是有，由于AB=∅，所以Rn(AB)=0，Rn(A∪B)=Rn(A)+Rn(B)

## 古典概率模型 ##

所以古典概率模型是指具有以下两个特征的随机实验模型：

1.  实验的样本空间具有有限个样本点
2.  每次实验中，各个基本事件的发生概率相同。

很显然，古典概率模型中，如果样本空间有n个样本点，某一事件包含m个样本点，则该事件发生的概率为：m/n  
概率还具有以下三个性质：  
1. P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\\overline\{A\})=1-P(A) P(A)=1−P(A)  
2.P(∅)=0  
3.如果两个事件 A ⊂ B A\\subset B A⊂B,则有P(B-A)=P(B)-P(A)

## 条件概率 ##

所谓条件概率，就是在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，记作Rn(B|A)= R n ( A B ) R n ( A ) \\frac\{R\_\{n\}(AB)\}\{R\_\{n\}(A)\} Rn(A)Rn(AB)  
变换一下，可得：  
 R n ( A B ) = R n ( B ∣ A ) ∗ R n ( A ) R\_\{n\}(AB)=R\_\{n\}(B|A)\*R\_\{n\}(A) Rn(AB)=Rn(B∣A)∗Rn(A)  
因为：AB=BA，所以： R n ( A B ) = R n ( B A ) = R n ( A ∣ B ) ∗ R n ( B ) R\_\{n\}(AB)=R\_\{n\}(BA)=R\_\{n\}(A|B)\*R\_\{n\}(B) Rn(AB)=Rn(BA)=Rn(A∣B)∗Rn(B)  
即： R n ( A ∣ B ) ∗ R n ( B ) = R n ( B ∣ A ) ∗ R n ( A ) R\_\{n\}(A|B)\*R\_\{n\}(B)=R\_\{n\}(B|A)\*R\_\{n\}(A) Rn(A∣B)∗Rn(B)=Rn(B∣A)∗Rn(A)  
这个推论在推到全概率公式和贝叶斯公式的时候有用。  
很显然，条件概率也具有概率的如下几个性质：  
1.对于任意事件P(B|A)，有0≤P(B|A)≤1  
2.P(S|A)=1  
3.若B1,B2,…Bn两两互不相容，则P(B1∪B2∪…Bn|A)=P(B1|A)+P(B2|A)+…+P(Bn|A)  
4. P ( B ‾ ∣ A ) = 1 − P ( B ∣ A ) P(\\overline\{B\}|A)=1-P(B|A) P(B∣A)=1−P(B∣A)  
5.对于任意两个事件：  
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)

## 事件的独立性 ##

如果P(B|A)=P(B)，也就是说，事件A发生与否，对事件B的发生没有影响，那么责成事件A,B称为相互独立事件。  
显然，对于相互独立的两个事件，因为  
P(AB)=P(B|A)\*P(A),可推出：P(AB)=P(B)\*P(A)  
P(AB)=P(A|B)\*P(B),可推出：P(AB)=P(A)\*P(B)

## 全概率公式和贝叶斯公式 ##

设实验E的样本空间S，B1…Bn是实验E的n个两两互不相容的事件，且有B1∪…Bn=S，又如果A是实验E的任意一个时间，则有  
A=AS=A(B1∪…Bn)。于是事件A被分为n个两两互不相容的事件：AB1，…，ABn（证明很简单ABiABj=AABiBj=AA∅=∅）  
故可推出：P(A)=P(AB1)+…+P(ABn)---------**这个公式就是全概率公式**  
贝叶斯公式由全概率公式推出：  
P(Bi|A)= P ( A ∣ B i ∗ P ( B i ) P ( A ) = P ( A ∣ B i ) ∗ P ( B i ) P ( A ∣ B 1 ) ∗ P ( B 1 ) + . . . + P ( A ∣ B n ) ∗ P ( B n ) \\frac\{P(A|B\_\{i\}\*P(B\_\{i\})\}\{P(A)\}=\\frac\{P(A|B\_\{i\})\*P(B\_\{i\})\}\{P(A|B\_\{1\})\*P(B\_\{1\})+...+P(A|B\_\{n\})\*P(B\_\{n\})\} P(A)P(A∣Bi∗P(Bi)=P(A∣B1)∗P(B1)\+...\+P(A∣Bn)∗P(Bn)P(A∣Bi)∗P(Bi)

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