概率论第9记：随机变量的另外几个数字特征

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2022-03-30 13:54 293阅读 0赞

这篇文章总结：矩、中心矩、分位数的概念

## 矩和中心距 ##

设X是随机变量，如果E(Xk) k=1,2,…存在，则称它为X的k阶原点矩或k阶矩。  
如果E\{\[X-E(x)\]k\}存在，则称它为X的k阶中心矩。  
显然，2阶中心距就是方差。

## 分位数 ##

设连续型随机变量X的分布函数为F（x），概率密度函数为f（x），  
1°对于任意正数α（0<α<1），称满足条件  
![在这里插入图片描述][20190106151702378.png]  
的数为此分布的α分位数或下α分位数.  
2°对于任意正数α（0<α<1），称满足条件  
![在这里插入图片描述][2019010615190236.png]  
的数xα为此分布的上α分位数.  
这里的xa，不要把a理解成随机变量下标，事实上也没有小数类型的下标，事实上就是一个满足积分值为a的数值而已，可以是1，2，3，4.23156等各种值，只是为了标明积分为a这个意义，x后面下缀一个a，而且分位数和a之间除了这个积分关系，没有其他关系。  
特别的：如果xa=0.5,a也等于0.5那么xa称为中位数。刚好在这个点，把积分区间2等分。  
类似的还有四分位数，百分位数。  
上下分位数有如下关系：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMxMTUwNDYz_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
 x a ‾ = x 1 − a x\_\{\\underline a\}=x\_\{1-a\} xa=x1−a  
 x a = x 1 − a ‾ x\_\{a\}=x\_\{\\underline \{1-a\}\} xa=x1−a  
下面举一个例题：  
设随机变量X服从指数分布，其分布函数为  
![在这里插入图片描述][20190106163631890.png]  
求中位数x0.5及上分位数x0.25.  
解  
（注意这里是连续型随机变量的分布函数，不是概率密度函数，所以不需要积分运算）  
由F（x0.5）=1-e-x0.5=0.5，得e-x0.5=0.5，故中位数x0.5=-ln0.5=0.69.由F（x0.25）=1-e-x0.25=0.25，得e-x0.25=0.75.故x0.25=-ln0.75=0.29.

## 变异系数 ##

设X是随机变量，如果 D ( X ) E ( X ) \\frac\{\\sqrt\{D(X)\}\}\{E(X)\} E(X)D(X)存在，记作(CV)x，称之为X的变异系数。  
变异系数通常用来衡量X取值的分散程度，作用和方差是一样的。

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