概率论第6记：随机变量的数字特征之期望值

清疚 2022-03-29 20:59 209阅读 0赞

从现在开始，开始接触到神经网络里面经常遇到的一些概念：期望值、方差、协方差等。一个一个来  
所谓期望值，就是我们所说的算术平均值，如果还是不明白，那么举例如下：  
一书店购入一批（共N本）次年的挂历.在当年11月底前售出可盈利10元/本，当年12月份以折扣价售出盈利6元/本，次年1月份以进货价售出盈利0元/本，次年2月份作为废纸售出亏本9.7元/本.售出一本挂历盈利X（元）是一个随机变量，据往年经验知X的分布律如下：  
![在这里插入图片描述][2019010509490376.png]  
问：预期平均一本挂历能盈利多少？  
解：如果书店分别在当年11月底前、12月份、次年1月份、次年2月份售出n1，n2，n3，n4本，n1\+n2\+n3\+n4=N，那么平均一本盈利为然而这个数事先并不知道，要等到次年2月份结算时才能知道.注意到这里nk/N是事件\{X=xk\}发生的频率.当N充分大时nk/N在某种意义下接近于事件\{X=xk\}的概率pk，于是平均一本挂历盈利为  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMxMTUwNDYz_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
这就是说，书店购入一大批挂历，可以预期平均一本挂历盈利7.415元左右.  
这里的7.415就是算数平均值，也就是所谓的期望值。  
因此我们可以定义期望值：  
设离散型随机变量X具有分布律P\{X=xk\}=pk（k=1，2，…），且级数 ∑ k = 1 ∞ x k p k \\sum\_\{k=1\}^\\infty x\_kp\_k ∑k=1∞xkpk绝对收敛；设连续型随机随机变量X具有概率密度f（x），且积分 ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x \\int\_\{-\\infty\}^\\infty xf\\left(x\\right)dx ∫−∞∞xf(x)dx绝对收敛。随机变量X的数学期望记为E（X），定义为  
![在这里插入图片描述][20190105100236959.png]  
数学期望简称为期望，或称为均值.  
再举一个稍微复杂一些的例子：  
设X服从泊松Poisson分布，其分布律（离散型的分布律就是连续型的概率密度）为：P\{X=k\}= λ k e − λ k ! \\frac\{\\lambda^ke^\{-\\lambda\}\}\{k!\} k!λke−λ  
则  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMxMTUwNDYz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
后面的求和= e λ e^\\lambda eλ，因为是 e λ e^\\lambda eλ的泰克展开式  
期望值具有如下运算特征：  
（1）设c是常数，则有E（c）=c.  
（2）设c是常数，X是随机变量，则有E（cX）=cE（X）.  
（3）设X，Y是两个任意的随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）.这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况.  
（4）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）.

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