概率论基础 —— 7.连续型二维随机函数的分布

电玩女神 2022-08-30 12:53 304阅读 0赞

> 对于连续型随机变量经常喜欢考察的一个知识点，就是其函数的分布，以及变换函数后的分布，比如 Z = X + Y。在浙大版的《概率与数理统计》这本教材里，主要重点考察了三类 Z = X + Y型，Z = X Y型，Z = X/Y型，以及 Z = min(X, Y) 和 Z = max(X, Y)这几类型函数的分布。  
> 为什么教材特别喜欢反复考察这些知识点，其中一个问题是对于我们连续型随机变量来说，有时不一定能顺利的使用连续的密度函数对概率事件进行建模，反而此时使用概率函数能够简化我们的工作量，所以这也就是要求学习概率论的朋友必须掌握的基础概念。  
> 概率函数其实有很多，但是如果拆分它的基本型也就是以上这些。

### 文章目录 ###

*  Z = X + Y型
 *   *  例题
 *  Z = XY 型
 *   *  例题
 *  Z = X/Y 型
 *   *  如何记住 XY 及 X/Y 型的概率密度
 *  Z = min(X, Y) 和 Z = max(X, Y) 型
 *   *  例题

# Z = X + Y型 #

浙大版的《概率论与数理统计》这本书呢，列举了好几类函数分布。这里，我也对照着教材上把相关的类型罗列出来。

首先，你需要保持清晰的头脑，弄明白对于连续型的概率密度函数，与分布函数的区别，如果这方面你还是一团浆糊，建议先回到我之前的章节里，仔细看一看。

那么首先，对于  Z = X + Y Z = X + Y Z=X\+Y 的分布，它的概率密度为：

f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − y ) d x f\_\{X + Y\}(z) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} f(z - y, y) dy = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} f(x, z-y) dx fX\+Y(z)=∫−∞\+∞f(z−y,y)dy=∫−∞\+∞f(x,z−y)dx

若X和Y互为独立事件，那么可以得到：

f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − y ) d x f\_\{X + Y\}(z) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} f\_X(z - y)f\_Y(y) dy = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} f\_X(x)f\_Y(z-y) dx fX\+Y(z)=∫−∞\+∞fX(z−y)fY(y)dy=∫−∞\+∞fX(x)fY(z−y)dx

这里的  f X f\_X fX 和  f Y f\_Y fY 是  ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的边缘密度，同时也是卷积公式。

## 例题 ##

> （1）：设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别如下，求Z = X + Y的概率密度  
>  f x ( x ) = \{ e − 2 x x > 0 0 e l s e f\_x(x) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} e^\{-2x\} & x > 0\\\\ 0 & else \\end\{matrix\}\\right. fx(x)=\{ e−2x0x>0else  
>  f y ( y ) = \{ 1 / 2 0 ≤ y < 2 0 e l s e f\_y(y) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} 1/2 & 0 \\leq y < 2\\\\ 0 & else \\end\{matrix\}\\right. fy(y)=\{ 1/200≤y<2else

**解（1）**

**首先我们来确定被积函数**，我们遵循谁简单替换谁的原则，替换y，且由于X和Y相互独立，所以可以直接带入卷积公式，有：

f z ( z ) = ∫ f x ( x ) f y ( z − x ) d x ⇒ \{ 1 2 ∫ e − 2 x d x x > 0 , 0 ≤ y < 2 0 e l s e f\_z(z) = \\int f\_x(x) f\_y(z - x) dx \\Rightarrow \\left\\\{\\begin\{matrix\} \\frac\{1\}\{2\} \\int e^\{-2x\} dx& x > 0, 0 \\leq y < 2\\\\ 0 & else \\end\{matrix\}\\right. fz(z)=∫fx(x)fy(z−x)dx⇒\{ 21∫e−2xdx0x>0,0≤y<2else

**然后来确定被积函数的积分范围**，由于上述积分式是关于x的积分，所以我们要确定对于上述积分式，它对应的x积分范围，即：

\{ x > 0 0 ≤ y < 2 ⇒ \{ x > 0 0 ≤ z − x < 2 ⇒ \{ x > 0 z − 2 < x ≤ z \\left\\\{\\begin\{matrix\} x > 0 \\\\ 0 \\leq y < 2 \\end\{matrix\}\\right. \\Rightarrow \\left\\\{\\begin\{matrix\} x > 0 \\\\ 0 \\leq z - x < 2 \\end\{matrix\}\\right. \\Rightarrow \\left\\\{\\begin\{matrix\} x > 0 \\\\ z - 2 < x \\leq z \\end\{matrix\}\\right. \{ x>00≤y<2⇒\{ x>00≤z−x<2⇒\{ x>0z−2<x≤z

然后我们根据上面的范围，来确定当z分别为以下情况时，密度函数为多少：

对于第一种情况， z − 2 < x ≤ z z - 2 < x \\leq z z−2<x≤z 与  x > 0 x > 0 x>0 不想交时，  f z ( z ) = 0 f\_z(z) = 0 fz(z)=0

![在这里插入图片描述][a0361aae9764320c85e6117a5e474d06.png_pic_center]  
对于第二种情况，部分相交时，有： z − 2 < 0 < z z-2 < 0 < z z−2<0<z，于是  0 < z < 2 0 < z < 2 0<z<2 而对于密度函数的积分有效区域是 (0, z)

![在这里插入图片描述][e891194493009d265da06028e424e492.png_pic_center]  
于是：  
 f z ( z ) = 1 2 ∫ 0 z e − 2 x d x = − 1 4 e − 2 x ∣ 0 z = 1 4 ( 1 − e − 2 z ) f\_z(z) = \\frac\{1\}\{2\} \\int\_0^z e^\{-2x\} dx = -\\frac\{1\}\{4\} e^\{-2x\} \\bigg|\_0^z = \\frac\{1\}\{4\}(1 - e^\{-2z\}) fz(z)=21∫0ze−2xdx=−41e−2x∣∣∣∣0z=41(1−e−2z)

然后对于第三个情况，当z区域处于x区域中时：

![在这里插入图片描述][c6a5cf9b96a13ef8b6548a6b7bb0b801.png_pic_center]  
积分有效区域为  ( z − 2 , z ) (z-2, z) (z−2,z)， z的有效范围是： z ≥ 2 z \\geq 2 z≥2

于是：  
 f z ( z ) = 1 2 ∫ 0 z e − 2 x d x = − 1 4 e − 2 x ∣ z − 2 z = 1 4 ( e 4 − 2 z − e − 2 z ) f\_z(z) = \\frac\{1\}\{2\} \\int\_0^z e^\{-2x\} dx = -\\frac\{1\}\{4\} e^\{-2x\} \\bigg|\_\{z-2\}^z = \\frac\{1\}\{4\}(e^\{4-2z\} - e^\{-2z\}) fz(z)=21∫0ze−2xdx=−41e−2x∣∣∣∣z−2z=41(e4−2z−e−2z)

然后我们整理一下结果：

f z ( z ) = \{ 1 4 ( 1 − e − 2 z ) 0 < z < 2 1 4 ( e 4 − 2 z − e − 2 z ) z ≥ 2 0 e l s e f\_z(z) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} \\frac\{1\}\{4\}(1 - e^\{-2z\}) & 0 < z < 2 \\\\ \\frac\{1\}\{4\}(e^\{4-2z\} - e^\{-2z\}) & z \\geq 2\\\\ 0 & else \\end\{matrix\}\\right. fz(z)=⎩⎨⎧41(1−e−2z)41(e4−2z−e−2z)00<z<2z≥2else

> （2）设随机变量（X，Y）的概率密度为：  
>  f ( x , y ) = \{ x + y 0 < x < 1 , 0 < y < 1 0 e l s e f(x, y) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} x + y & 0 < x < 1, 0 < y < 1 \\\\ 0 & else \\end\{matrix\}\\right. f(x,y)=\{ x\+y00<x<1,0<y<1else  
> 求Z = X + Y的概率密度

**解（2）：**

由于不满足X与Y相互独立，于是根据 Z= X + Y 型的密度函数可知：

f z ( z ) = ∫ f ( x , z − x ) d x f\_z(z) = \\int f(x, z-x) dx fz(z)=∫f(x,z−x)dx

对于上述概率密度，只有当  f ( x , z − x ) ≠ 0 f(x, z-x) \\neq 0 f(x,z−x)=0 时才有意义，而从从题干可知 $f(x, y)不为0时，必须  0 < x < 1 , 0 < y < 1 0 < x < 1, 0 < y < 1 0<x<1,0<y<1。

即  f ( x , y ) ≠ 0 ⇒ \{ 0 < x < 1 0 < y < 1 ⇒ \{ 0 < x < 1 0 < z − x < 1 ⇒ \{ 0 < x < 1 z − 1 < x < z f(x, y) \\neq 0 \\Rightarrow \\left\\\{\\begin\{matrix\} 0 < x < 1\\\\ 0 < y < 1 \\end\{matrix\}\\right. \\Rightarrow \\left\\\{\\begin\{matrix\} 0 < x < 1\\\\ 0 < z - x < 1 \\end\{matrix\}\\right. \\Rightarrow \\left\\\{\\begin\{matrix\} 0 < x < 1\\\\ z - 1 < x < z \\end\{matrix\}\\right. f(x,y)=0⇒\{ 0<x<10<y<1⇒\{ 0<x<10<z−x<1⇒\{ 0<x<1z−1<x<z

然后剩下的解体过程与上面的那个例题一样，最终结果是：

f z ( z ) = \{ z 2 0 < z < 1 2 z − z 2 1 ≤ z < 2 0 e l s e f\_z(z) = \\left \\\{ \\begin\{matrix\} z^2 & 0 < z < 1\\\\ 2z - z^2 & 1 \\leq z < 2\\\\ 0 & else \\end\{matrix\} \\right. fz(z)=⎩⎨⎧z22z−z200<z<11≤z<2else

中间的解体过程我不详列，感兴趣的朋友可以试一试。

# Z = XY 型 #

对于  Z = X Y Z = XY Z=XY 的分布，它的概率密度为：

f X Y ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 ∣ x ∣ f ( x , z x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 ∣ y ∣ f ( z y , y ) d y f\_\{X Y\}(z) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} \\frac\{1\}\{|x|\} f(x, \\frac\{z\}\{x\}) dx = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} \\frac\{1\}\{|y|\} f(\\frac\{z\}\{y\}, y) dy fXY(z)=∫−∞\+∞∣x∣1f(x,xz)dx=∫−∞\+∞∣y∣1f(yz,y)dy

若X与Y相互独立，其边缘密度分别为： f x ( x ) f\_x(x) fx(x) 和  f y ( y ) f\_y(y) fy(y)，那么其概率密度为：

f X Y = ∫ − ∞ + ∞ 1 ∣ x ∣ f x ( x ) f y ( z x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 ∣ y ∣ f x ( z y ) f y ( y ) d y f\_\{X Y\} = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} \\frac\{1\}\{|x|\} f\_x(x) f\_y(\\frac\{z\}\{x\}) dx = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} \\frac\{1\}\{|y|\} f\_x(\\frac\{z\}\{y\}) f\_y(y) dy fXY=∫−∞\+∞∣x∣1fx(x)fy(xz)dx=∫−∞\+∞∣y∣1fx(yz)fy(y)dy

## 例题 ##

> （1）设随机变量（X，Y）的概率密度为：  
>  f ( x , y ) = \{ x + y 0 < x < 1 , 0 < y < 1 0 e l s e f(x, y) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} x + y & 0 < x < 1, 0 < y < 1 \\\\ 0 & else \\end\{matrix\}\\right. f(x,y)=\{ x\+y00<x<1,0<y<1else  
> 求  Z = X Y Z = XY Z=XY 的概率密度

**解：** 这题和上面的解体过程大体上都是一样的。由于X 和 Y 并未指定是否相互独立，所以我们只能使用一般型，即：

f X Y = ∫ 1 ∣ x ∣ f ( x , z / x ) d x f\_\{XY\} = \\int \\frac\{1\}\{|x|\} f(x, z/x) dx fXY=∫∣x∣1f(x,z/x)dx

然后我们代入被积函数：

f X Y = ∫ 1 ∣ x ∣ ( x + z x ) d x f\_\{XY\} = \\int \\frac\{1\}\{|x|\} (x + \\frac\{z\}\{x\}) dx fXY=∫∣x∣1(x\+xz)dx

由于 x 的有效区间为正，所以：

f X Y = ∫ 1 x ( x + z x ) d x = ∫ ( 1 + z x 2 ) d x = x − z x − 1 ∣ α β f\_\{XY\} = \\int \\frac\{1\}\{x\} (x + \\frac\{z\}\{x\}) dx = \\int (1 + \\frac\{z\}\{x^2\}) dx = x - z x^\{-1\} \\bigg|\_\{\\alpha\}^\{\\beta\} fXY=∫x1(x\+xz)dx=∫(1\+x2z)dx=x−zx−1∣∣∣∣αβ

接下来我们确定积分的合理范围：

\{ 0 < x < 1 0 < y < 1 ⇒ \{ 0 < x < 1 0 < z x < 1 ⇒ \{ 0 < x < 1 0 < z < x \\left \\\{ \\begin\{matrix\} 0 < x < 1 \\\\ 0 < y < 1 \\end\{matrix\} \\right. \\Rightarrow \\left \\\{ \\begin\{matrix\} 0 < x < 1 \\\\ 0 < \\frac\{z\}\{x\} < 1 \\end\{matrix\} \\right. \\Rightarrow \\left \\\{ \\begin\{matrix\} 0 < x < 1 \\\\ 0 < z < x \\end\{matrix\} \\right. \{ 0<x<10<y<1⇒\{ 0<x<10<xz<1⇒\{ 0<x<10<z<x

然后简单的做个图，或者直接代入不等式，可以得到：

![在这里插入图片描述][5eb9b9b131f5f1f8cf80cb5f6b53551c.png_pic_center]  
z和x的合理范围只有  0 < z < x < 1 0 < z < x < 1 0<z<x<1这个范围，所以

x − z x − 1 ∣ z 1 = 2 − 2 z x - z x^\{-1\} \\bigg|\_\{z\}^\{1\} = 2 - 2z x−zx−1∣∣∣∣z1=2−2z

于是我们最终得到关于  Z = X Y Z = XY Z=XY 型的概率密度是：

\{ 2 − 2 z 0 < z < 1 0 e l s e \\left \\\{ \\begin\{matrix\} 2 - 2z & 0 < z < 1\\\\ 0 & else \\end\{matrix\} \\right. \{ 2−2z00<z<1else

# Z = X/Y 型 #

对于  Z = X Y Z = \\frac\{X\}\{Y\} Z=YX 的分布，它的概率密度为：

f X / Y ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∣ x ∣ f ( x , z x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ ∣ y ∣ f ( z y , y ) d y f\_\{X/Y\}(z) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} |x| f(x, zx) dx = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} |y| f(zy, y) dy fX/Y(z)=∫−∞\+∞∣x∣f(x,zx)dx=∫−∞\+∞∣y∣f(zy,y)dy

若X与Y相互独立，其边缘密度分别为： f x ( x ) f\_x(x) fx(x) 和  f y ( y ) f\_y(y) fy(y)，那么其概率密度为：

f X / Y ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∣ x ∣ f x ( x ) f y ( z x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ ∣ y ∣ f x ( z y ) f y ( y ) d y f\_\{X/Y\}(z) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} |x| f\_x(x)f\_y(zx) dx = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\} |y| f\_x(zy) f\_y(y) dy fX/Y(z)=∫−∞\+∞∣x∣fx(x)fy(zx)dx=∫−∞\+∞∣y∣fx(zy)fy(y)dy

## 如何记住 XY 及 X/Y 型的概率密度 ##

这里借用一点物理的概念： m = ρ V m = \\rho V m=ρV，概率密度相当于质量方程的 ρ \\rho ρ，积分区域让它等价于体积V。如果我们令被测量的物体体积一样，而且它们也满足 Z = X Y这样的属性，于是我们为了获得被测量物体的密度，就可以衍生出这样的公式：

Z = X Y ⇒ V z ρ z = V x ρ x × V y ρ y → ρ z = 1 V z × V x ρ x × V y ρ y Z = XY \\Rightarrow V\_z \\rho\_z = V\_x \\rho\_x \\times V\_y \\rho\_y \\rightarrow \\rho\_z = \\frac\{1\}\{V\_z\} \\times V\_x \\rho\_x \\times V\_y \\rho\_y Z=XY⇒Vzρz=Vxρx×Vyρy→ρz=Vz1×Vxρx×Vyρy

因为 V z V\_z Vz， V x V\_x Vx， V y V\_y Vy我们令他们体积一样，所以  V z = V x = V y V\_z = V\_x = V\_y Vz=Vx=Vy 是不是很合理的？

又因为  Z = X Y Z = XY Z=XY，所以密度之间有  ρ z = ρ x ρ y \\rho\_z = \\rho\_x \\rho\_y ρz=ρxρy 是不是也是合理的？

然后上面的式子是不是就可以变成：

ρ z = 1 V V x ρ x V y ρ z ρ x \\rho\_z = \\frac\{1\}\{V\} V\_x \\rho\_x V\_y \\frac\{\\rho\_z\}\{\\rho\_x\} ρz=V1VxρxVyρxρz

是不是也是合理的？

再然后由于上面式子所表述的三个物体的密度，使用的是同一个计算公式，是不是简化为： f ( V , ρ ) f(V, \\rho) f(V,ρ)，由于V是已知的，所以又可以进一步简化一下： f ( ρ ) f(\\rho) f(ρ)，于是上面的式子是不是可以这样写：

ρ z = 1 V f ( ρ x ) f ( ρ z ρ x ) \\rho\_z = \\frac\{1\}\{V\} f(\\rho\_x) f(\\frac\{\\rho\_z\}\{\\rho\_x\}) ρz=V1f(ρx)f(ρxρz)

然后把 1/V 换成积分的形式，嗯…… 然后

ρ z = ∫ 1 v x f ( ρ x ) f ( ρ z ρ x ) d x \\rho\_z = \\int \\frac\{1\}\{v\_x\} f(\\rho\_x) f(\\frac\{\\rho\_z\}\{\\rho\_x\}) dx ρz=∫vx1f(ρx)f(ρxρz)dx

然后再换个符号

f X Y ( z ) = ∫ 1 ∣ x ∣ f ( x , z x ) d x f\_\{XY\}(z) = \\int \\frac\{1\}\{|x|\} f(x, \\frac\{z\}\{x\}) dx fXY(z)=∫∣x∣1f(x,xz)dx

又或者

f X Y ( z ) = ∫ 1 ∣ x ∣ f X ( x ) f Y ( z x ) d x f\_\{XY\}(z) = \\int \\frac\{1\}\{|x|\} f\_X(x) f\_Y(\\frac\{z\}\{x\}) dx fXY(z)=∫∣x∣1fX(x)fY(xz)dx

为什么加绝对值，因为体积没有为负的道理啊……

![在这里插入图片描述][aa949ab471abb47bb977527cf3b75159.png_pic_center]  
虽然不是很严谨吧……但你这样记公式，那就错不了。考试的时候如果不会写了，用30s的时间推一下公式就有了。至于另外比如 Z = X / Y 型，Z = X + Y型，甚至考官心血来潮发明的  Z = X 2 + Y 5 Z = X^2 + Y^5 Z=X2\+Y5 你都可以用这个方法推导出它的密度函数原型。

不信，自己试一试？

# Z = min(X, Y) 和 Z = max(X, Y) 型 #

如果X与Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为  F x ( x ) F\_x(x) Fx(x) 和  F y ( y ) F\_y(y) Fy(y)，那么对于 \*\* Z = m a x \{ X , Y \} Z = max \\\{X, Y\\\} Z=max\{ X,Y\} 和  Z = m i n \{ X , Y \} Z = min\\\{X, Y\\\} Z=min\{ X,Y\}\*\*型的分布函数，它们分别是:

Z m a x = F m a x ( z ) = F x ( z ) F y ( z ) Z\_\{max\} = F\_\{max\}(z)= F\_x(z)F\_y(z) Zmax=Fmax(z)=Fx(z)Fy(z)

与

Z m i n = F m i n ( z ) = 1 − \[ 1 − F x ( z ) \] \[ 1 − F y ( z ) \] Z\_\{min\} = F\_\{min\}(z)= 1 - \[1 - F\_x(z)\]\[1 - F\_y(z)\] Zmin=Fmin(z)=1−\[1−Fx(z)\]\[1−Fy(z)\]

其对应的概率密度为：

f z ( z ) = F ( z ) ′ f\_z(z) = F(z)' fz(z)=F(z)′

**Z = min(X, Y) 和 Z = max(X, Y) 型和之前的不太一样，不太容易理解。为了更好的理解这种概率是在什么状况使用的，我们来做下面的这个例题吧。**

## 例题 ##

> 设系统L由两个独立的子系统  L 1 L\_1 L1， L 2 L\_2 L2 连接而成，连接的方式分别为串联、并联、备用，设  L 1 L\_1 L1， L 2 L\_2 L2 ，已知它们的概率密度分别为：  
>  f x ( x ) = \{ α e − α x x > 0 0 x ≤ 0 f\_x(x) = \\left \\\{ \\begin\{matrix\} \\alpha e^\{-\\alpha x\} & x > 0\\\\ 0 & x \\leq 0 \\end\{matrix\} \\right. fx(x)=\{ αe−αx0x>0x≤0  
>  f y ( y ) = \{ β e − β y y > 0 0 y ≤ 0 f\_y(y) = \\left \\\{ \\begin\{matrix\} \\beta e^\{-\\beta y\} & y > 0 \\\\ 0 & y \\leq 0 \\end\{matrix\} \\right. fy(y)=\{ βe−βy0y>0y≤0  
> 其中  α > 0 \\alpha > 0 α>0， β > 0 \\beta > 0 β>0 且  α ≠ β \\alpha \\neq \\beta α=β。试分别就以上三种连接方式写出L的寿命Z的概率密度。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

**解（i）** 针对串联情况，如果X或Y有任何一路出现问题，那么线路就会停止工作。

由于串联关系，发生事件概率大，预期使用寿命最短，所以使用  Z = m i n \{ X , Y \} Z = min\\\{X, Y\\\} Z=min\{ X,Y\}

为了更好的带入公式，我们先求解X和Y对应的分布函数：

F x ( x ) = ∫ α e − α x d x = − e − α x ∣ 0 1 = 1 − e − α x F\_x(x) = \\int \\alpha e^\{-\\alpha x\} dx = -e^\{-\\alpha x\} \\bigg|\_0^1 = 1 -e^\{- \\alpha x\} Fx(x)=∫αe−αxdx=−e−αx∣∣∣∣01=1−e−αx

F y ( y ) = ∫ β e − β y d y = − e − β y ∣ 0 1 = 1 − e − β y F\_y(y) = \\int \\beta e^\{-\\beta y\} dy = -e^\{-\\beta y\} \\bigg|\_0^1 = 1 - e^\{-\\beta y\} Fy(y)=∫βe−βydy=−e−βy∣∣∣∣01=1−e−βy

并且分布函数存在的情况，有且只有当  x > 0 , y > 0 x > 0, y> 0 x>0,y>0。

然后我们带入公式，得到关于z的分布函数

F m i n ( z ) = 1 − \[ 1 − F x ( z ) \] \[ 1 − F y ( z ) \] = 1 − e − α z e − β z = 1 − e − z ( α + β ) F\_\{min\}(z) = 1 - \[1 - F\_x(z)\]\[1 - F\_y(z)\] = 1 - e^\{- \\alpha z\} e^\{-\\beta z\} = 1 - e^\{-z(\\alpha + \\beta)\} Fmin(z)=1−\[1−Fx(z)\]\[1−Fy(z)\]=1−e−αze−βz=1−e−z(α\+β)

现在我们来确定下z的有效区间，因为  x > 0 , y > 0 x > 0, y > 0 x>0,y>0 z 若需要另  F m i n F\_\{min\} Fmin 有效，必然  z > 0 z > 0 z>0，所以：

F m i n ( z ) = \{ 1 − e − z ( α + β ) z > 0 0 z ≤ 0 F\_\{min\}(z) = \\left \\\{ \\begin\{matrix\} 1 - e^\{-z(\\alpha + \\beta)\} & z > 0 \\\\ 0 & z \\leq 0 \\end\{matrix\} \\right. Fmin(z)=\{ 1−e−z(α\+β)0z>0z≤0

然后我们对原函数求导，就可以得到它的密度函数了

f m i n ( z ) = \{ ( α + β ) e − z ( α + β ) z > 0 0 z ≤ 0 f\_\{min\}(z) = \\left \\\{ \\begin\{matrix\} (\\alpha + \\beta) e^\{-z(\\alpha + \\beta)\} & z > 0 \\\\ 0 & z \\leq 0 \\end\{matrix\} \\right. fmin(z)=\{ (α\+β)e−z(α\+β)0z>0z≤0

**解（ii）** 针对并联情况，只有X和Y同时出现问题，线路才会停止工作。

由于并联关系，发生事件概率小，预期使用寿命长，所以使用  Z = m a x \{ X , Y \} Z = max\\\{X, Y\\\} Z=max\{ X,Y\}

我们直接把上面得到的关于X和Y的分布函数拿下来用，于是：

F m a x ( z ) = F x ( z ) F y ( z ) = ( 1 − e − α z ) ( 1 − e − β z ) F\_\{max\}(z) = F\_x(z)F\_y(z) = (1 -e^\{- \\alpha z\})(1 - e^\{-\\beta z\}) Fmax(z)=Fx(z)Fy(z)=(1−e−αz)(1−e−βz)

所以，

F m a x ( z ) = \{ ( 1 − e − α z ) ( 1 − e − β z ) z > 0 0 z ≤ 0 F\_\{max\}(z) = \\left \\\{ \\begin\{matrix\} (1 -e^\{- \\alpha z\})(1 - e^\{-\\beta z\}) & z > 0 \\\\ 0 & z \\leq 0 \\end\{matrix\} \\right. Fmax(z)=\{ (1−e−αz)(1−e−βz)0z>0z≤0

同样，求导后有

f m i n ( z ) = \{ α e − α z + β e − β z − ( α + β ) e − z ( α + β ) z > 0 0 z ≤ 0 f\_\{min\}(z) = \\left \\\{ \\begin\{matrix\} \\alpha e^\{-\\alpha z\} + \\beta e^\{-\\beta z\} - (\\alpha + \\beta) e^\{-z(\\alpha + \\beta)\}& z > 0 \\\\ 0 & z \\leq 0 \\end\{matrix\} \\right. fmin(z)=\{ αe−αz\+βe−βz−(α\+β)e−z(α\+β)0z>0z≤0

**解（iii）** 情况和并联相似，但是有先后关系。即先X出问题，然后启动Y，如果Y再出问题，则线路停止工作。

由于X与Y是先后投入使用，所以预期使用寿命应该为 Z = X + Y。

f X + Y ( z ) = ∫ f x ( x ) f y ( z − x ) d x = ∫ α e − α x β e − β ( z − x ) d x f\_\{X+Y\}(z) = \\int f\_x(x) f\_y(z - x) dx = \\int \\alpha e^\{-\\alpha x\} \\beta e^\{-\\beta (z - x)\} dx fX\+Y(z)=∫fx(x)fy(z−x)dx=∫αe−αxβe−β(z−x)dx

= α β e − β z ∫ e ( β − α ) x d x = α β e − β z ⋅ 1 β − α e ( β − α ) x ∣ 0 z = α β ( β − α ) ( e − α z − e − β z ) = \\alpha \\beta e^\{-\\beta z\} \\int e^\{(\\beta - \\alpha) x\} dx = \\alpha \\beta e^\{-\\beta z\} \\cdot \\frac\{1\}\{\\beta - \\alpha\} e^\{(\\beta - \\alpha)x\} \\bigg|\_0^z = \\frac\{\\alpha \\beta\}\{(\\beta - \\alpha)\} (e^\{-\\alpha z\} - e^\{-\\beta z\}) =αβe−βz∫e(β−α)xdx=αβe−βz⋅β−α1e(β−α)x∣∣∣∣0z=(β−α)αβ(e−αz−e−βz)

于是：

f X + Y ( z ) = \{ α β ( β − α ) ( e − α z − e − β z ) z > 0 0 e l s e f\_\{X+Y\}(z) = \\left \\\{ \\begin\{matrix\} \\frac\{\\alpha \\beta\}\{(\\beta - \\alpha)\} (e^\{-\\alpha z\} - e^\{-\\beta z\}) & z > 0\\\\ 0 & else \\end\{matrix\} \\right. fX\+Y(z)=\{ (β−α)αβ(e−αz−e−βz)0z>0else

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