【概率论与数理统计 Probability and Statistics 9】——二维随机变量的条件分布（离散+连续）与条件密度（连续）

柔光的暖阳◎ 2023-07-19 05:00 8阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、条件分布的定义
 *  二、二维离散型条件分布的计算
 *  三、连续型随机变量的条件分布和条件密度

# 一、条件分布的定义 #

F ( x ∣ A ) = P \{ X ≤ x ∣ A \} F(x|A) = P\\\{X≤x|A\\\} F(x∣A)=P\{ X≤x∣A\}  
至于这个定义，其实就是条件概率嘛： P \{ X ≤ x ∣ A \} = P \{ X ≤ x , A \} P ( A ) P\\\{X≤x|A\\\} = \\frac\{P\\\{X ≤ x, A\\\}\}\{P(A)\} P\{ X≤x∣A\}=P(A)P\{ X≤x,A\}

# 二、二维离散型条件分布的计算 #

我们直接上具体的例子，难度其实是不大的：已知 X, Y 的联合分布表如下：

需要计算各种条件分布。

因为是离散型的随机变量，X 或者 Y 的取值被限定在了那几个值里面。所以各种条件概率就可以表示为： P \{ X = 0 ∣ Y = 0 \} ; P \{ X = 1 ∣ Y = 0 \} ; P \{ X = 0 ∣ Y = 1 \} ; P \{ X = 1 ∣ Y = 1 \} P \{ Y = 0 ∣ X = 0 \} ; P \{ Y = 1 ∣ X = 0 \} ; P \{ Y = 0 ∣ X = 1 \} ; P \{ Y = 1 ∣ X = 1 \} P\\\{X=0|Y=0\\\};P\\\{X=1|Y=0\\\};P\\\{X=0|Y=1\\\};P\\\{X=1|Y=1\\\}\\\\ P\\\{Y=0|X=0\\\};P\\\{Y=1|X=0\\\};P\\\{Y=0|X=1\\\};P\\\{Y=1|X=1\\\} P\{ X=0∣Y=0\};P\{ X=1∣Y=0\};P\{ X=0∣Y=1\};P\{ X=1∣Y=1\}P\{ Y=0∣X=0\};P\{ Y=1∣X=0\};P\{ Y=0∣X=1\};P\{ Y=1∣X=1\}

这种题目有固定解法：  
【1】先把 X, Y 的边缘分布求出来（这在上一篇  B l o g Blog Blog 里面涉及了）也就是说，通过这一步，我们可以计算得到： P \{ X = 0 \} , P \{ X = 1 \} , P \{ Y = 0 \} , P \{ Y = 1 \} P\\\{X=0\\\}, P\\\{X=1\\\}, P\\\{Y=0\\\}, P\\\{Y=1\\\} P\{ X=0\},P\{ X=1\},P\{ Y=0\},P\{ Y=1\}

【2】我们举一个例子说明：如果要求的是  P \{ X = 1 ∣ Y = 0 \} P\\\{X=1|Y=0\\\} P\{ X=1∣Y=0\}，那么根据定义可以表示为： P \{ X = 1 ∣ Y = 0 \} = P \{ X = 1 , Y = 0 \} P \{ Y = 0 \} P\\\{X=1|Y=0\\\} = \\frac\{P\\\{X=1,Y=0\\\}\}\{P\\\{Y=0\\\}\} P\{ X=1∣Y=0\}=P\{ Y=0\}P\{ X=1,Y=0\}  
我们发现： P \{ X = 1 , Y = 0 \} P\\\{X=1,Y=0\\\} P\{ X=1,Y=0\} 就是联合分布表里面 X = 1, Y = 0 的概率嘛，直接从上表找到即可（为0.3）

【3】除一下秒得结果

# 三、连续型随机变量的条件分布和条件密度 #

同样，我们先简单给出定义：  
对于 X, Y 两个随机变量，其联合密度函数已知： f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，又已知了它们的边缘密度函数  f X ( x ) , f Y ( y ) f\_X(x), f\_Y(y) fX(x),fY(y)  
如果  f Y ( y ) > 0 f\_Y(y)>0 fY(y)>0，那么在 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数即为： F ( x ∣ y ) = ∫ − ∞ x f ( u , y ) f Y ( y ) d u F(x|y) = \\int\_\{-∞\}^x\\frac\{f(u, y)\}\{f\_Y(y)\}du F(x∣y)=∫−∞xfY(y)f(u,y)du  
两边一同时求导就可以得到 X 的条件密度函数了（值得一提的是，对等式右边是一个变上限积分的求导）得到 f ( x ∣ y ) = F ′ ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) (1) f(x|y) = F'(x|y) = \\frac\{f(x,y)\}\{f\_Y(y)\}\\tag\{1\} f(x∣y)=F′(x∣y)=fY(y)f(x,y)(1)  
同理，Y 的条件密度函数也是一样的： f ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) (2) f(y|x) = \\frac\{f(x,y)\}\{f\_X(x)\}\\tag\{2\} f(y∣x)=fX(x)f(x,y)(2)

不过大家在计算的时候要注意一点：如果题目是这样问的：求  f ( y ∣ x = 2 ) f(y|x = 2) f(y∣x=2)，那么我们的计算公式就应该变成： f ( 2 , y ) f X ( 2 ) \\frac\{f(2, y)\}\{f\_X(2)\} fX(2)f(2,y)

> 好啦，这就是本次  B l o g Blog Blog 的全部内容，下一篇  B l o g Blog Blog 我们将会学习二维随机变量函数的分布和分布密度（包括离散型和连续型）