【递归】回溯算法、八皇后问题-蒲公英云

一：递归的介绍

1.1 概念

递归就是方法自己调用自己,每次调用时传入不同的变量.递归有助于编程者解决复杂的问题,同时可以让代码变得简洁。

1.2 调用机制

1.2.1 打印问题

public static void test(int n) {
    if (n > 2) {
        test(n - 1);
    }
    System.out.println("n=" + n);
}

1.2.2 阶乘问题

public static int factorial(int n) {
    if (n == 1) {
         return 1;
    } else {
         return factorial(n - 1) * n;
    }
}

1.3 递归能解决什么样的问题

各种数学问题如: 8皇后问题 , 汉诺塔, 阶乘问题, 迷宫问题, 球和篮子的问题(google编程大赛)
各种算法中也会使用到递归，比如快排，归并排序，二分查找，分治算法等.
将用栈解决的问题–>第归代码比较简洁

1.4 递归需要遵守的重要规则

执行一个方法时，就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)
方法的局部变量是独立的，不会相互影响, 比如n变量
如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)，就会共享该引用类型的数据.
递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归,出现StackOverflowError，死龟了)
当一个方法执行完毕，或者遇到return，就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕。

二：迷宫回溯问题

寻找小球从起点到终点的最短距离，并且避开墙体

2.1 说明

在这里插入图片描述

1）小球得到的路径，和程序员设置的找路策略有关即：找路的上下左右的顺序相关
2）再得到小球路径时，可以先使用(下右上左)，再改成(上右下左)，看看路径是不是有变化测试回溯现象
思考：如何求出小球的最短路径

2.2 代码实现

2.2.1 设置墙体

public class Maze {
    public static void main(String[] args) {
        //先创建一个二维数组模拟迷宫
        //创建一个8行7列的地图
        int[][] map = new int[8][7];
        //使用1表示墙体
        //将第一行和第八行的墙体全部设置为1
        //所以遍历列
        for (int i = 0; i < 7; i++) {
            map[0][i] = 1;
            map[7][i] = 1;
        }
        //将第一列和第七列的墙体设置为1
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            map[i][0] = 1;
            map[i][6] = 1;
        }
        //设置挡板
        map[3][1] = 1;
        map[3][2] = 1;
        //输出地图
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        //使用递归回溯来给小球找路
        setWay(map, 1, 1);
        //输出新的地图，并标识过的地图
        //输出地图
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

在这里插入图片描述

2.2.2 使用递归回溯来给小球找路

说明：

小球的起点位置是（1,1），如果能到（6,5）则表示已经到终点了
约定：
1）当map[i][j]为0时表示没有走过。
2）为1时表示墙体
3）为2时表示可以走
4）为3时表示该点已经走过，但走不通

再走迷宫时，需要定义一个策略（方法），下->右->上->左。如果该点走不通则回溯

/**

 * 使用递归回溯来给小球找路
 * 1.小球的起点位置是（1,1），如果能到（6,5）则表示已经到终点了
 * 2.约定：
 * 1）当map[i][j]为0时表示没有走过。
 * 2）为1时表示墙体
 * 3）为2时表示可以走
 * 4）为3时表示该点已经走过，但走不通
 * 3.再走迷宫时，需要定义一个策略（方法），下->右->上->左。如果该点走不通则回溯
 *
 * @param map 表示地图
 * @param i   从地图哪个位置开始找
 * @param j   从地图哪个位置开始找
 * @return 如果找到就返回true，如果没找到就返回false
 */
public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
    //如果map[6][5]为2，则说明通路已经找到
    if (map[6][5] == 2) {
        return true;
    } else {
        //如果当前这个点还没走过
        if (map[i][j] == 0) {
            //此时按照策略走——下->右->上->左
            //先假定这个点能走通
            map[i][j] = 2;
            if (setWay(map, i + 1, j)) {
                //向下走
                return true;
            } else if (setWay(map, i, j + 1)) {
                //向右走
                return true;
            } else if (setWay(map, i - 1, j)) {
                //向上走
                return true;
            } else if (setWay(map, i, j - 1)) {
                //向左走
                return true;
            } else {
                //表示当前路是死路
                map[i][j] = 3;
                return false;
            }
        } else {
            //如果map[i][j]不等于0，那么可能是1,2,3
            return false;
        }
    }
}

在这里插入图片描述

2.2.3 找出小球的最短路径

修改策略：将下->右->上->左修改为右->下->左->上

三：八皇后问题

3.1 问题介绍

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

在这里插入图片描述

3.2 八皇后问题算法思路分析

1）第一个皇后先放第一行第一列
2）第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否OK，如果不OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适
3）继续第三个皇后，还是第一列、第二列……直到第8个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解
4）当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到.
5）然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4的步骤

说明：理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题. arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} //对应arr 下标表示第几行，即第几个皇后，arr[i] = val , val 表示第i+1个皇后，放在第i+1行的第val+1列。

3.3 八皇后问题代码实现

3.3.1 定义八皇后类

public class EightQueens {
    /**
     * 定义有多少皇后
     */
    private static final int MAX = 8;
    /**
     * 定义一个数组，保存皇后的存放位置，如arr = {0,4,7,5,2,4,1,3};
     */
    private static final int[] ARRAY = new int[MAX];
    /**
     * 总共有多少种解法
     */
    static int count = 0;
}

3.3.2 查看我们的第n个皇后，就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突

/**
     * 查看我们的第n个皇后，就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
     *
     * @param n 表示第n个皇后
     * @return 是否和前面已经摆放的皇后冲突
     */
    private boolean judge(int n) {
        //第n个皇后之前的都需要比较
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //ARRAY[i] == ARRAY[n]判断第n个皇后和第n-1个皇后是否在同一列
            //Math.abs(n - i) == Math.abs(ARRAY[n] - ARRAY[i]) 判断第n个和第i个皇后是否在同一斜线
            //假设我们需要判断第2个皇后，此时n等于1。放在第二列array[1] = 1
            //Math.abs(1 - 0) = 1相等Math.abs(n - i) = 1
            //不需要判断在同一行，n每次都在递增，不可能存在都是array[0]的情况
            if (ARRAY[i] == ARRAY[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(ARRAY[n] - ARRAY[i])) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

3.3.3 编写一个方法，放置第n个皇后

/**
     * 编写一个方法，放置第n个皇后
     * 特别注意：每一次check都会进入到for循环当中，因此会有回溯
     *
     * @param n 表示第n个皇后
     * @return
     */
    private void check(int n) {
        //n = 8，就是应该放置第九个皇后了，其实此时前八个皇后已经放好
        if (n == MAX) {
            //此时就可以打印了
            print();
            return;
        }
        //依次放入皇后判断是否冲突
        for (int i = 0; i < MAX; i++) {
            //先把当前皇后放置在该行的第一列
            ARRAY[n] = i;
            //判断当放置第n个皇后到第i列时，是否冲突
            if (judge(n)) {
                //如果不冲突，接着放n+1
                check(n + 1);
            }
            //如果冲突就继续执行，ARRAY[n] = i，但此时n需要加一
        }
    }

3.3.4 将皇后的摆放位置进行输出

/**
     * 写一个方法，可以将皇后的摆放位置进行输出
     */
    private void print() {
        count++;
        for (int i = 0; i < ARRAY.length; i++) {
            System.out.print(ARRAY[i] + 1 + "");
        }
        System.out.println();
    }

3.3.5 测试

public static void main(String[] args) {
        EightQueens eightQueens = new EightQueens();
        eightQueens.check(0);
        System.out.println("总共有" + count + "种解法");
    }