关于八皇后问题以及回溯递归思想

约定不等于承诺〃 2022-03-01 05:39 354阅读 0赞

作者：Stephen_Xie
链接：https://www.jianshu.com/p/65c8c60b83b8
来源：简书

国际象棋中的皇后比中国象棋里的大车还厉害，皇后能横向，纵向和斜向移动，在这三条线上的其他棋子都可以被吃掉。所谓八皇后问题就是：将八位皇后放在一张8x8的棋盘上，使得每位皇后都无法吃掉别的皇后，（即任意两个皇后都不在同一条横线，竖线和斜线上），问一共有多少种摆法。此问题是在1848年由棋手马克思·贝瑟尔提出的，后面陆续有包括高斯等大数学家们给出自己的思考和解法，所以此问题不只是有年头了，简直比82年的拉菲还有年头，我们今天不妨尝尝这老酒。

我们先举例来理解一下这个问题的场景到底是什么样子的，下面的绿色格子是一个皇后在棋盘上的“封锁范围”，其他的皇后不能放置在这些绿格子中：

format_png 一个皇后的封锁范围

我们再放入一个皇后，看一下两个皇后的“封锁范围”（绿格子不能放）：

format_png 1 两个皇后的封锁范围

如此继续下去，能安放下一位皇后的位置越来越少，那么我们最终如何能安放完这8位皇后呢？

首先我们看一下特别暴力的方法：从8x8的格子里选8个格子，放皇后，然后测试是否满足条件，若满足则结果加1，否则换8个格子继续试。很显然，64选8，并不是个小数字，十亿级别的次数，够暴力。如果换成围棋的棋盘，画面就会太美而不敢算。

稍加分析，我们可以得到另一个不那么暴力的方法：显然，每行每列最多只能有一位皇后，如果基于这个事实再进行暴力破解，那结果会好很多。安排皇后时，第一行有8种选法，一旦第一行选定，假设选为（1，i），那么第二行只能选（2，j），其中，j不等于i，所以有7种选法。以此类推，需要穷举的情况有8！=40320种，比十亿级别的小很多了。

这看起来已经不错了，但尝试的次数还是随着问题规模按阶乘水平提高的，我们仍然不满意，所以，“递归回溯”的思想就被提出了，专治这种问题。

为了理解“递归回溯”的思想，我们不妨先将4位皇后打入冷宫，留下剩下的4位安排进4x4的格子中且不能互相打架，有多少种安排方法呢？如果按照上面方式穷举，需要4！=24次尝试吗？

现在我们把第一个皇后放在第一个格子，被涂黑的地方是不能放皇后的：

format_png 2 放第1个皇后

第二行的皇后只能放在第三格或第四格，比如我们放在第三格：

format_png 3 放第2个皇后

这样一来前面两位皇后已经把第三行全部锁死了，第三位皇后无论放在第三行的哪里都难逃被吃掉的厄运。于是在第一个皇后位于第一格，第二个皇后位于第三格的情况下此问题无解。所以我们只能返回上一步，来给2号皇后换个位置：

format_png 4 给2号皇后换个位置

此时，第三个皇后只有一个位置可选。当第三个皇后占据第三行蓝色空位时，第四行皇后无路可走，于是发生错误，则返回上层调整3号皇后，而3号皇后也别无可去，继续返回上层调整2号皇后，而2号皇后已然无路可去，则再继续返回上层调整1号皇后，于是1号皇后往后移一格位置如下，再继续往下安排：

format_png 5 回溯重新安排1号皇后

上面的图例正是回溯递归思想的展现，然而知易行难，在代码中我们怎样来实现这种算法呢？实现的代码有很多种，我们找一个最简单的来举例吧：

format_png 6

我们来重点看一下这段代码（这段代码虽短，但真的非常非常重要，是整个算法的核心和灵魂）：

第一次进来，row=0，意思是要在第一行摆皇后，只要传进来的row参数不是8，表明还没出结果，就都不会走if里面的return，那么就进入到for循环里面，column从0开始，即第一列。此时第一行第一列肯定合乎要求（即check方法肯定通过），能放下皇后，因为还没有任何其他皇后来干扰。

关键是check方法通过了之后，在if里面又会调用一下自己（即递归），row加了1，表示摆第二行的皇后了。第二行的皇后在走for循环的时候，分两种情况:

第一种情况：for循环没走到头时就有通过check方法的了，那么这样就顺理成章地往下走再调用一下自己（即再往下递归），row再加1（即摆第三行的皇后了，以此类推）。

第二种情况：for循环走到头了都没有通过check方法的，说明第二行根本一个皇后都摆不了，也触发不了递归，下面的第三行等等后面的就更不用提了，此时控制第一行皇后位置的for循环column加1，即第一行的皇后往后移一格，即摆在第一行第二列的位置上，然后再往下走，重复上述逻辑。

注意，一定要添加清零的代码，它只有在皇后摆不下去的时候会执行 清0 的动作（避免脏数据干扰），如果皇后摆放很顺利的话从头到尾是不会走这个清0 的动作的，因为已经提前走if里面的return方法结束了。

总之，这段核心代码很绕，原理一定要想通，想个十几二十遍差不多就能理解其中的原理了，递归回溯的思想也就不言而喻了。八皇后问题一共有92种情况，下面是用Java实现的完整代码：

  1. package com.csu.test;
  3. public class Test {
  4.     public static int[][] arry = new int[8][8];// 棋盘，放皇后
  5.     public static int map = 0;// 存储方案结果数量
  7.     public static void main(String[] args) {
  8.         System.out.println("八皇后问题");
  9.         findQueen(0);
  10.         System.out.println("八皇后问题共有：" + map + "种可能");
  11.     }
  13.     public static void findQueen(int i) {// 寻找皇后节点
  14.         // 因为i从0开始，所以当i=8时，说明棋盘的8行都已经找到位置放皇后，即得到了一个八皇后问题的解
  15.         if (i > 7) { // 八皇后的解
  16.             map++; // 解的个数+1
  17.             print();// 打印八皇后的解
  18.             return;
  19.         }
  21.         for (int m = 0; m < 8; m++) {// 深度回溯,递归算法
  22.             if (check(i, m)) {// 检查皇后摆放是否合适
  23.                 arry[i][m] = 1; //在(i,m)处，摆放一个皇后。
  24.                 findQueen(i + 1);// 基于当前的摆放，往下一行查找解。
  25.                 // 执行到这个位置，说明基于(i,m)处摆放了皇后的查找，已经完成了
  26.                 // 因为一行只能摆放一个皇后，所以尝试在当前行的下一列处摆放皇后时，我们要把当前摆放的皇后给取消
  27.                 arry[i][m] = 0;// 清零，以免回溯的时候出现脏数据!!!
  28.             }
  29.             // 这一轮for循环执行到这里，说明当第i行的这一列已经不能递归下去找到最终解了。
  30.             // 所以要往后移一列，看下一个皇后摆放位置能找出多少个最终解出来。
  31.         }
  32.     }
  34.     // 检查纵向和斜向是否冲突。水平方向不需要检查，因为这些棋子在不同的行
  35.     public static boolean check(int k, int j) {// 判断节点是否合适
  36.         for (int i = 0; i < 8; i++) {// 检查纵向这一列是否冲突。
  38.             if (arry[i][j] == 1) {
  39.                 // 若j这一列已经摆放了一颗皇后，说明这个位子不能放新的皇后。
  40.                 return false;
  41.             }
  42.         }
  43.         for (int i = k - 1, m = j - 1; i >= 0 && m >= 0; i--, m--) {// 检查左斜向对角线
  44.             // 检查该点左斜上方的线。该点下面的行还没有放棋子，所以不用检查了。
  45.             if (arry[i][m] == 1) {
  46.                 return false;
  47.             }
  48.         }
  49.         for (int i = k - 1, m = j + 1; i >= 0 && m <= 7; i--, m++) {// 检查右斜向对角线
  50.             // 检查该点右斜上方的线。该点下面的行还没有放棋子，所以不用检查了。
  51.             if (arry[i][m] == 1) {
  52.                 return false;
  53.             }
  54.         }
  55.         return true;
  56.     }
  58.     public static void print() {// 打印结果
  59.         System.out.print("方案" + map + ":" + "\n");
  60.         for (int i = 0; i < 8; i++) {
  61.             for (int m = 0; m < 8; m++) {
  62.                 if (arry[i][m] == 1) {
  63.                     // System.out.print("皇后"+(i+1)+"在第"+i+"行，第"+m+"列\t");
  64.                     System.out.print("o ");
  65.                 } else {
  66.                     System.out.print("+ ");
  67.                 }
  68.             }
  69.             System.out.println();
  70.         }
  71.         System.out.println();
  72.     }
  73. }

执行结果如下：

  1. 八皇后问题
  2. 方案1:
  3. o + + + + + + + 
  4. + + + + o + + + 
  5. + + + + + + + o 
  6. + + + + + o + + 
  7. + + o + + + + + 
  8. + + + + + + o + 
  9. + o + + + + + + 
  10. + + + o + + + + 
  12. 方案2:
  13. o + + + + + + + 
  14. + + + + + o + + 
  15. + + + + + + + o 
  16. + + o + + + + + 
  17. + + + + + + o + 
  18. + + + o + + + + 
  19. + o + + + + + + 
  20. + + + + o + + + 
  22. 方案3:
  23. o + + + + + + + 
  24. + + + + + + o + 
  25. + + + o + + + + 
  26. + + + + + o + + 
  27. + + + + + + + o 
  28. + o + + + + + + 
  29. + + + + o + + + 
  30. + + o + + + + + 
  32. 方案4:
  33. o + + + + + + + 
  34. + + + + + + o + 
  35. + + + + o + + + 
  36. + + + + + + + o 
  37. + o + + + + + + 
  38. + + + o + + + + 
  39. + + + + + o + + 
  40. + + o + + + + + 
  42. 方案5:
  43. + o + + + + + + 
  44. + + + o + + + + 
  45. + + + + + o + + 
  46. + + + + + + + o 
  47. + + o + + + + + 
  48. o + + + + + + + 
  49. + + + + + + o + 
  50. + + + + o + + + 
  52. 方案6:
  53. + o + + + + + + 
  54. + + + + o + + + 
  55. + + + + + + o + 
  56. o + + + + + + + 
  57. + + o + + + + + 
  58. + + + + + + + o 
  59. + + + + + o + + 
  60. + + + o + + + + 
  62. 方案7:
  63. + o + + + + + + 
  64. + + + + o + + + 
  65. + + + + + + o + 
  66. + + + o + + + + 
  67. o + + + + + + + 
  68. + + + + + + + o 
  69. + + + + + o + + 
  70. + + o + + + + + 
  72. 方案8:
  73. + o + + + + + + 
  74. + + + + + o + + 
  75. o + + + + + + + 
  76. + + + + + + o + 
  77. + + + o + + + + 
  78. + + + + + + + o 
  79. + + o + + + + + 
  80. + + + + o + + + 
  82. 方案9:
  83. + o + + + + + + 
  84. + + + + + o + + 
  85. + + + + + + + o 
  86. + + o + + + + + 
  87. o + + + + + + + 
  88. + + + o + + + + 
  89. + + + + + + o + 
  90. + + + + o + + + 
  92. 方案10:
  93. + o + + + + + + 
  94. + + + + + + o + 
  95. + + o + + + + + 
  96. + + + + + o + + 
  97. + + + + + + + o 
  98. + + + + o + + + 
  99. o + + + + + + + 
  100. + + + o + + + + 
  102. 方案11:
  103. + o + + + + + + 
  104. + + + + + + o + 
  105. + + + + o + + + 
  106. + + + + + + + o 
  107. o + + + + + + + 
  108. + + + o + + + + 
  109. + + + + + o + + 
  110. + + o + + + + + 
  112. 方案12:
  113. + o + + + + + + 
  114. + + + + + + + o 
  115. + + + + + o + + 
  116. o + + + + + + + 
  117. + + o + + + + + 
  118. + + + + o + + + 
  119. + + + + + + o + 
  120. + + + o + + + + 
  122. 方案13:
  123. + + o + + + + + 
  124. o + + + + + + + 
  125. + + + + + + o + 
  126. + + + + o + + + 
  127. + + + + + + + o 
  128. + o + + + + + + 
  129. + + + o + + + + 
  130. + + + + + o + + 
  132. 方案14:
  133. + + o + + + + + 
  134. + + + + o + + + 
  135. + o + + + + + + 
  136. + + + + + + + o 
  137. o + + + + + + + 
  138. + + + + + + o + 
  139. + + + o + + + + 
  140. + + + + + o + + 
  142. 方案15:
  143. + + o + + + + + 
  144. + + + + o + + + 
  145. + o + + + + + + 
  146. + + + + + + + o 
  147. + + + + + o + + 
  148. + + + o + + + + 
  149. + + + + + + o + 
  150. o + + + + + + + 
  152. 方案16:
  153. + + o + + + + + 
  154. + + + + o + + + 
  155. + + + + + + o + 
  156. o + + + + + + + 
  157. + + + o + + + + 
  158. + o + + + + + + 
  159. + + + + + + + o 
  160. + + + + + o + + 
  162. 方案17:
  163. + + o + + + + + 
  164. + + + + o + + + 
  165. + + + + + + + o 
  166. + + + o + + + + 
  167. o + + + + + + + 
  168. + + + + + + o + 
  169. + o + + + + + + 
  170. + + + + + o + + 
  172. 方案18:
  173. + + o + + + + + 
  174. + + + + + o + + 
  175. + o + + + + + + 
  176. + + + + o + + + 
  177. + + + + + + + o 
  178. o + + + + + + + 
  179. + + + + + + o + 
  180. + + + o + + + + 
  182. 方案19:
  183. + + o + + + + + 
  184. + + + + + o + + 
  185. + o + + + + + + 
  186. + + + + + + o + 
  187. o + + + + + + + 
  188. + + + o + + + + 
  189. + + + + + + + o 
  190. + + + + o + + + 
  192. 方案20:
  193. + + o + + + + + 
  194. + + + + + o + + 
  195. + o + + + + + + 
  196. + + + + + + o + 
  197. + + + + o + + + 
  198. o + + + + + + + 
  199. + + + + + + + o 
  200. + + + o + + + + 
  202. 方案21:
  203. + + o + + + + + 
  204. + + + + + o + + 
  205. + + + o + + + + 
  206. o + + + + + + + 
  207. + + + + + + + o 
  208. + + + + o + + + 
  209. + + + + + + o + 
  210. + o + + + + + + 
  212. 方案22:
  213. + + o + + + + + 
  214. + + + + + o + + 
  215. + + + o + + + + 
  216. + o + + + + + + 
  217. + + + + + + + o 
  218. + + + + o + + + 
  219. + + + + + + o + 
  220. o + + + + + + + 
  222. 方案23:
  223. + + o + + + + + 
  224. + + + + + o + + 
  225. + + + + + + + o 
  226. o + + + + + + + 
  227. + + + o + + + + 
  228. + + + + + + o + 
  229. + + + + o + + + 
  230. + o + + + + + + 
  232. 方案24:
  233. + + o + + + + + 
  234. + + + + + o + + 
  235. + + + + + + + o 
  236. o + + + + + + + 
  237. + + + + o + + + 
  238. + + + + + + o + 
  239. + o + + + + + + 
  240. + + + o + + + + 
  242. 方案25:
  243. + + o + + + + + 
  244. + + + + + o + + 
  245. + + + + + + + o 
  246. + o + + + + + + 
  247. + + + o + + + + 
  248. o + + + + + + + 
  249. + + + + + + o + 
  250. + + + + o + + + 
  252. 方案26:
  253. + + o + + + + + 
  254. + + + + + + o + 
  255. + o + + + + + + 
  256. + + + + + + + o 
  257. + + + + o + + + 
  258. o + + + + + + + 
  259. + + + o + + + + 
  260. + + + + + o + + 
  262. 方案27:
  263. + + o + + + + + 
  264. + + + + + + o + 
  265. + o + + + + + + 
  266. + + + + + + + o 
  267. + + + + + o + + 
  268. + + + o + + + + 
  269. o + + + + + + + 
  270. + + + + o + + + 
  272. 方案28:
  273. + + o + + + + + 
  274. + + + + + + + o 
  275. + + + o + + + + 
  276. + + + + + + o + 
  277. o + + + + + + + 
  278. + + + + + o + + 
  279. + o + + + + + + 
  280. + + + + o + + + 
  282. 方案29:
  283. + + + o + + + + 
  284. o + + + + + + + 
  285. + + + + o + + + 
  286. + + + + + + + o 
  287. + o + + + + + + 
  288. + + + + + + o + 
  289. + + o + + + + + 
  290. + + + + + o + + 
  292. 方案30:
  293. + + + o + + + + 
  294. o + + + + + + + 
  295. + + + + o + + + 
  296. + + + + + + + o 
  297. + + + + + o + + 
  298. + + o + + + + + 
  299. + + + + + + o + 
  300. + o + + + + + + 
  302. 方案31:
  303. + + + o + + + + 
  304. + o + + + + + + 
  305. + + + + o + + + 
  306. + + + + + + + o 
  307. + + + + + o + + 
  308. o + + + + + + + 
  309. + + o + + + + + 
  310. + + + + + + o + 
  312. 方案32:
  313. + + + o + + + + 
  314. + o + + + + + + 
  315. + + + + + + o + 
  316. + + o + + + + + 
  317. + + + + + o + + 
  318. + + + + + + + o 
  319. o + + + + + + + 
  320. + + + + o + + + 
  322. 方案33:
  323. + + + o + + + + 
  324. + o + + + + + + 
  325. + + + + + + o + 
  326. + + o + + + + + 
  327. + + + + + o + + 
  328. + + + + + + + o 
  329. + + + + o + + + 
  330. o + + + + + + + 
  332. 方案34:
  333. + + + o + + + + 
  334. + o + + + + + + 
  335. + + + + + + o + 
  336. + + + + o + + + 
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  922. 八皇后问题共有：92种可能

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