【数理统计】学习笔记01：数理统计的基本概念

水深无声 2023-10-09 14:43 51阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  一、统计的基本概念
 *   *  1.1 总体
     *  1.2 简单随机样本
     *  1.3 样本  ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) (X1,X2,⋯,Xn) 的联合分布
     *  1.4 统计量
     *   *  1.4.1 常用统计量
         *  1.4.2 顺序统计量【重点】
         *  1.4.3 经验分布函数
         *  1.4.4 充分统计量（统计量的性质）

## 一、统计的基本概念 ##

### 1.1 总体 ###

*  总体的概念：
    
     *  **总体：** 研究对象的全体。
     *  **个体：** 总体中的每一个研究个体。
     *  **总体容量：** 总体中包含的个体数。
     *  **有限总体：** 容量有限。
     *  **无限总体：** 容量无限，通常将容量很大的总体按无限总体处理。
 *  处理**概率**问题时，随机变量X的分布都是已知的。
 *  但是在**统计**中，总体X的分布要么未知，要么分布形式已知但参数未知，需要抽取部分个体来推断。

> **例1：** 某高校针对学生对教学管理是否满意,在全体学生中展开调查，**全体学生是总体**，是有限总体，只关心“对教学管理满意或不满意”这个指标值，通常*赋值 ( 0 , 1 ) (0, 1) (0,1)*。

> **例2：** 某药厂研究某种药物在人体中的吸收情况，**总体是全体国民**，只关心国民服药的*吸收量值*，是有限总体，但容量很大,按无限总体处理。

> **例3：** 考察渤海水质有机磷污染情况，**渤海海水是总体**，只关心其中的*有机磷含量值*，是无限总体。总体是随机变量，一般地，可以认为：总体  ⇔ X \\Leftrightarrow X ⇔X。

### 1.2 简单随机样本 ###

**（ X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n X1,X2,⋯,Xn 独立同分布）**

*  **概念：** 在总体  X X X 所有观察值中抽取部分观察值  ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) (x\_1, x\_2, \\cdots , x\_n) (x1,x2,⋯,xn)，这n个观察值是随机的，称  ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为容量为n的一个随机样本。n为样本容量。
 *  **特性：**
    
    1.  **代表性：**  X i X\_i Xi 与总体  X X X 同分布。（保证总体中每个值都有同样的机会被抽到）
    2.  **独立性：** 每次抽取独立进行，各样本值互不影响。简称**样本**。

> **例1:** 给一个理想化总体，抽取(放回)样本来推断总体，观察推断效果某棵树每年产果10个，1等果3个每个价格8元，2等果4个每个价格6元，3等果2个每个价格2元，次果1个每个价格0元，考察果子收益情况，每次抽取两个果，如何抽才能得到简单随机样本?列出所有简单随机抽样样本值，并列出下列指标值：
> 
> --------------------
> 
> **总体：** 树上的果子。 
> **总体容量：** 10。 
> **总体分布：**
> 
> <table> 
> <thead> 
> <tr> 
> <th>0</th> 
> <th>2</th> 
> <th>6</th> 
> <th>8</th> 
> </tr> 
> </thead> 
> <tbody> 
> <tr> 
> <td> 1 10 \frac{1}{10} 101</td> 
> <td> 2 10 \frac{2}{10} 102</td> 
> <td> 4 10 \frac{4}{10} 104</td> 
> <td> 3 10 \frac{3}{10} 103</td> 
> </tr> 
> </tbody> 
> </table>
> 
> **期望：** E ( X ) = 4 10 + 24 10 + 24 10 = 5.2 E(X)=\\frac\{4\}\{10\} + \\frac\{24\}\{10\} + \\frac\{24\}\{10\}=5.2 E(X)=104\+1024\+1024=5.2 
> **方差：** D ( X ) = 1 10 ( 0 − 5.2 ) 2 + 2 10 ( 2 − 5.2 ) 2 + 4 10 ( 6 − 5.2 ) 2 + 3 10 ( 8 − 5.2 ) 2 = 7.36 D(X)=\\frac\{1\}\{10\} (0-5.2)^2 + \\frac\{2\}\{10\} (2-5.2)^2 + \\frac\{4\}\{10\} (6-5.2)^2 + \\frac\{3\}\{10\}(8-5.2)^2 = 7.36 D(X)=101(0−5.2)2\+102(2−5.2)2\+104(6−5.2)2\+103(8−5.2)2=7.36 
> **简单随机样本：** 
> 每次抽样得到观察值 ( x 1 , x 2 ) (x\_1, x\_2) (x1,x2)， x 1 x\_1 x1 是随机变量 X 1 X\_1 X1的一个随机取值， x 2 x\_2 x2 是随机变量 X 2 X\_2 X2的一个随机取值， X 1 X\_1 X1与 X 2 X\_2 X2相互独立并与总体 X X X同分布， ( X 1 , X 2 ) (X\_1, X\_2) (X1,X2) 构成二维随机变量。 
> **样本值：** 
> ![样本值][c81cd58d85cc46ddb270a14a9ff54423.png_pic_center]

### 1.3 样本  ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) (X1,X2,⋯,Xn) 的联合分布 ###

*  **离散型：**
    
     *  总体  X X X 的分布列  P ( X = x i ) = p i , i = 1 , 2 , ⋯ P(X=x\_i)=p\_i, \\quad i=1, 2, \\cdots P(X=xi)=pi,i=1,2,⋯
     *  样本  ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) (X1,X2,⋯,Xn) 的联合分布列：  
         P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , ⋯   , X n = x n ) = ∏ i = 1 n P ( X = x i ) P(X\_1=x\_1, X\_2=x\_2, \\cdots , X\_n=x\_n) = \\prod\_\{i=1\}^\{n\}P(X=x\_i) P(X1=x1,X2=x2,⋯,Xn=xn)=i=1∏nP(X=xi)
 *  **连续型：**
    
     *  总体  X X X 的分布密度  f ( x ) f(x) f(x)
     *  样本  ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) (X1,X2,⋯,Xn) 的联合密度：  
         f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋯ f ( x n ) f(x\_1, x\_2, \\cdots , x\_n)=f(x\_1)f(x\_2) \\cdots f(x\_n) f(x1,x2,⋯,xn)=f(x1)f(x2)⋯f(xn)
 *  总体  X X X 的**分布函数**  F ( x ) F(x) F(x)
    
     *  样本  ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) (X1,X2,⋯,Xn) 的分布函数：  
         F ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = F ( x 1 ) F ( x 2 ) ⋯ F ( x n ) F(x\_1, x\_2, \\cdots , x\_n)=F(x\_1)F(x\_2) \\cdots F(x\_n) F(x1,x2,⋯,xn)=F(x1)F(x2)⋯F(xn)

> **例1：**  X ∼ B ( 0 , 1 ) , P ( X = k ) = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 X \\sim B(0, 1), \\quad P(X=k)=p^k(1-p)^\{1-k\}, \\quad k=0, 1 X∼B(0,1),P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1
> 
> --------------------
> 
> **答：** 样本的联合分布列为：  
>  P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , ⋯   , X n = x n ) = p x 1 ( 1 − p ) 1 − x 1 ⋯ p x n ( 1 − p ) 1 − x n P(X\_1=x\_1, X\_2=x\_2, \\cdots , X\_n=x\_n) =p^\{x\_1\}(1-p)^\{1-x\_1\} \\cdots p^\{x\_n\}(1-p)^\{1-x\_n\} P(X1=x1,X2=x2,⋯,Xn=xn)=px1(1−p)1−x1⋯pxn(1−p)1−xn P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , ⋯   , X n = x n ) = p ∑ i = 1 n x i ( 1 − p ) n − ∑ i = 1 n x i P(X\_1=x\_1, X\_2=x\_2, \\cdots , X\_n=x\_n) =p^\{\\sum\_\{i=1\}^nx\_i\}(1-p)^\{n-\\sum\_\{i=1\}^nx\_i\} P(X1=x1,X2=x2,⋯,Xn=xn)=p∑i=1nxi(1−p)n−∑i=1nxi

> **例2：** 
> X ∼ N ( μ , σ 2 ) , f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < + ∞ X \\sim N(\\mu , \\sigma ^2), \\quad f(x)=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\} \\sigma\}e^\{-\\frac\{(x-\\mu)^2\}\{2 \\sigma ^2\}\}, \\quad -\\infty < x < +\\infty X∼N(μ,σ2),f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2,−∞<x<\+∞
> 
> --------------------
> 
> **答：** 样本的联合分布密度为： 
> f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = 1 2 π σ e − ( x 1 − μ ) 2 2 σ 2 ⋯ 1 2 π σ e − ( x n − μ ) 2 2 σ 2 = 1 ( 2 π σ ) n e − 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 f(x\_1, x\_2, \\cdots , x\_n)=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\}\\sigma\}e^\{-\\frac\{(x\_1-\\mu)^2\}\{2 \\sigma ^2\}\} \\cdots \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\}\\sigma\}e^\{-\\frac\{(x\_n-\\mu)^2\}\{2 \\sigma ^2\}\} = \\frac\{1\}\{(\\sqrt\{2 \\pi\}\\sigma)^n\}e^\{-\\frac\{1\}\{2 \\sigma ^2\} \\sum\_\{i=1\}^n(x\_i - \\mu)^2\} f(x1,x2,⋯,xn)=2πσ1e−2σ2(x1−μ)2⋯2πσ1e−2σ2(xn−μ)2=(2πσ)n1e−2σ21∑i=1n(xi−μ)2

### 1.4 统计量 ###

**概念：**  ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为总体  X X X 的样本，  T = T ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T = T(X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) T=T(X1,X2,⋯,Xn) 是样本函数，且**不含任何未知参数**，称  T T T 为统计量。

#### 1.4.1 常用统计量 ####

*  **样本均数：**  
     X ˉ = 1 n ∑ i − 1 n X i ⟹ E ( X ) = ∑ i − 1 n x i p i \\bar\{X\}=\\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i-1\}^nX\_i \\quad \\Longrightarrow \\quad E(X)=\\sum\_\{i-1\}^nx\_ip\_i Xˉ=n1i−1∑nXi⟹E(X)=i−1∑nxipi
 *  **样本k阶矩：**  
     A k = 1 n ∑ i = 1 n X i k ⟹ E ( X k ) = ∑ i = 1 n x i k p i A\_k=\\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i=1\}^nX\_i^k \\quad \\Longrightarrow \\quad E(X^k)=\\sum\_\{i=1\}^nx\_i^kp\_i Ak=n1i=1∑nXik⟹E(Xk)=i=1∑nxikpi
 *  **样本中心矩：**  
     B k = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) k ⟹ E \{ X − E ( X ) \} k B\_k=\\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i=1\}^n(X\_i - \\bar\{X\}\_n)^k \\quad \\Longrightarrow \\quad E\\\{ X-E(X)\\\}^k Bk=n1i=1∑n(Xi−Xˉn)k⟹E\{ X−E(X)\}k
 *  **样本方差：**  
     S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ⟹ D X = E \{ X − E ( X ) \} 2 S^2=\\frac\{1\}\{n-1\}\\sum\_\{i=1\}^n(X\_i - \\bar\{X\}\_n)^2 \\quad \\Longrightarrow \\quad DX=E\\\{X-E(X)\\\}^2 S2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉn)2⟹DX=E\{ X−E(X)\}2  
    **样本标准差：**  
     S = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ⟹ D X S=\\sqrt\{\\frac\{1\}\{n-1\}\\sum\_\{i=1\}^n(X\_i - \\bar\{X\}\_n)^2\} \\quad \\Longrightarrow \\quad \\sqrt\{DX\} S=n−11i=1∑n(Xi−Xˉn)2⟹DX
 *  **样本相关系数：**  
     R = ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) ( Y i − Y ˉ ) ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ∑ i = 1 n ( Y i − Y ˉ ) 2 ⟹ ρ X Y R=\\frac\{\\sum\_\{i=1\}^n(X\_i - \\bar\{X\})(Y\_i - \\bar\{Y\})\}\{\\sqrt\{\\sum\_\{i=1\}^n(X\_i-\\bar\{X\})^2 \\sum\_\{i=1\}^n(Y\_i-\\bar\{Y\})^2\}\} \\quad \\Longrightarrow \\quad \\rho\_\{XY\} R=∑i=1n(Xi−Xˉ)2∑i=1n(Yi−Yˉ)2∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)⟹ρXY ρ X Y = E ( X − E X ) ( Y − E Y ) E ( X − E X ) 2 E ( Y − E Y ) 2 \\rho\_\{XY\}=\\frac\{E(X-EX)(Y-EY)\}\{\\sqrt\{E(X-EX)^2E(Y-EY)^2\}\} ρXY=E(X−EX)2E(Y−EY)2E(X−EX)(Y−EY)
 *  **顺序统计量：** 详见1.4.2
 *  **经验分布函数：** 详见1.4.3

#### 1.4.2 顺序统计量【重点】 ####

( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) ⟹ ( X ( 1 ) , X ( 2 ) , ⋯   , X ( n ) ) (X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) \\quad \\Longrightarrow \\quad (X\_\{(1)\}, X\_\{(2)\}, \\cdots , X\_\{(n)\}) (X1,X2,⋯,Xn)⟹(X(1),X(2),⋯,X(n))

* **第 i i i 个顺序统计量密度：** 
 f ( i ) ( x ) = n ! ( i − 1 ) ! ( n − i ) ! F i − 1 ( x ) f ( x ) \{ 1 − F ( x ) \} n − i f\_\{(i)\}(x)=\\frac\{n!\}\{(i-1)!(n-i)!\}F^\{i-1\}(x)f(x)\\\{ 1-F(x) \\\} ^\{n-i\} f(i)(x)=(i−1)!(n−i)!n!Fi−1(x)f(x)\{ 1−F(x)\}n−i
 * **第 i , j i,j i,j 个顺统联合分布：** 
 f ( i ) ( j ) ( x , y ) = n ! ( i − 1 ) ! ( j − i − 1 ) ! ( n − j ) ! F i − 1 ( x ) f ( x ) \{ F ( y ) − F ( x ) \} j − i − 1 f ( y ) \{ 1 − F ( y ) \} n − j ( x < y ) f\_\{(i)(j)\}(x, y)=\\frac\{n!\}\{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!\}F^\{i-1\}(x)f(x)\\\{ F(y)-F(x) \\\} ^\{j-i-1\} f(y) \\\{ 1-F(y) \\\} ^\{n-j\} \\qquad (x<y) f(i)(j)(x,y)=(i−1)!(j−i−1)!(n−j)!n!Fi−1(x)f(x)\{ F(y)−F(x)\}j−i−1f(y)\{ 1−F(y)\}n−j(x<y)
 * **n n n 个顺统联合分布：** 
 f 1 ⋯ n ( x 1 , ⋯   , x n ) = n ! f ( x 1 ) ⋯ f ( x n ) , ( x 1 < ⋯ < x n ) f\_\{1 \\cdots n\}(x\_1, \\cdots , x\_n)=n! f(x\_1) \\cdots f(x\_n), \\qquad (x\_1 < \\cdots < x\_n) f1⋯n(x1,⋯,xn)=n!f(x1)⋯f(xn),(x1<⋯<xn)

#### 1.4.3 经验分布函数 ####

总体分布 F ( x ) F(x) F(x) 未知， X ( 1 ) , X ( 2 ) , ⋯   , X ( n ) X\_\{(1)\}, X\_\{(2)\}, \\cdots , X\_\{(n)\} X(1),X(2),⋯,X(n) 为样本顺序统计量，当固定一组样本值 x ( 1 ) , x ( 2 ) , ⋯   , x ( n ) x\_\{(1)\}, x\_\{(2)\}, \\cdots , x\_\{(n)\} x(1),x(2),⋯,x(n)，则称如下函数为总体 X X X 的经验分布函数： 
 F n ( x ) = \{ 0 , x < x ( 1 ) k n , x ( k ) ≤ x < x ( k + 1 ) 1 , x ≥ x ( n ) F\_n(x)=\\begin\{cases\}0, \\qquad x<x\_\{(1)\} \\\\ \\frac\{k\}\{n\}, \\qquad x\_\{(k)\} \\leq x < x\_\{(k+1)\} \\\\ 1, \\qquad x \\geq x\_\{(n)\} \\end\{cases\} Fn(x)=⎩⎨⎧0,x<x(1)nk,x(k)≤x<x(k\+1)1,x≥x(n)

> **例5：** 
> 已知总体 X ∼ B ( 4 , 0.1 ) X\\sim B(4, 0.1) X∼B(4,0.1) 的10个样本值： ( 0 , 1 , 0 , 3 , 0 , 2 , 0 , 4 , 0 , 1 ) (0, 1, 0, 3, 0, 2, 0, 4, 0, 1) (0,1,0,3,0,2,0,4,0,1)，求其经验分布函数
> 
> --------------------
> 
> **答：** 
> 该样本的顺序统计量为： ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 ) (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 4) (0,0,0,0,0,1,1,2,3,4) 
> 各样本值出现的概率为： 
> \[ 0 1 2 3 4 5 10 2 10 1 10 1 10 1 10 \] \\begin\{bmatrix\}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \\frac\{5\}\{10\} & \\frac\{2\}\{10\} & \\frac\{1\}\{10\} & \\frac\{1\}\{10\} & \\frac\{1\}\{10\}\\end\{bmatrix\} \[01051102210131014101\] 
> 故， 
> F n ( x ) = \{ 0 x < 0 5 10 0 ≤ x < 1 7 10 1 ≤ x < 2 8 10 2 ≤ x < 3 9 10 3 ≤ x < 4 1 x ≥ 4 F\_n(x)=\\begin\{cases\}0 \\qquad x<0 \\\\ \\frac\{5\}\{10\} \\qquad 0 \\leq x<1 \\\\ \\frac\{7\}\{10\} \\qquad 1 \\leq x<2 \\\\ \\frac\{8\}\{10\} \\qquad 2 \\leq x<3 \\\\ \\frac\{9\}\{10\} \\qquad 3 \\leq x<4 \\\\ 1 \\qquad x \\geq 4 \\end\{cases\} Fn(x)=⎩⎨⎧0x<01050≤x<11071≤x<21082≤x<31093≤x<41x≥4 
> 显然 F n ( − ∞ ) = 0 , F n ( + ∞ ) = 1 , 0 ≤ F n ( x ) ≤ 1 F\_n(-\\infty)=0, \\quad F\_n(+\\infty)=1, \\quad 0 \\leq F\_n(x) \\leq 1 Fn(−∞)=0,Fn(\+∞)=1,0≤Fn(x)≤1，且 F n ( x ) F\_n(x) Fn(x) 是右连续单调不减函数，满足分布函数的性质，称 F n ( x ) F\_n(x) Fn(x) 为经验（样本）分布函数。

#### 1.4.4 充分统计量（统计量的性质） ####

*  **定义：** 总体分布函数为  F ( x ; θ ) F(x; \\theta) F(x;θ)，设  X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n X1,X2,⋯,Xn 是来自总体的样本， T = T ( x ) T=T(x) T=T(x) 是统计量，**若在给定了  T T T 的取值后，  X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n X1,X2,⋯,Xn 的条件分布与参数  θ \\theta θ 无关**，则统计量  T = T ( x ) T=T(x) T=T(x) 称为  θ \\theta θ 的充分统计量。  
     P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , ⋯   , X n = x n ∣ T = t ) = P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , ⋯   , X n = x n , T = t ) P ( T = t ) P(X\_1=x\_1, X\_2=x\_2, \\cdots , X\_n=x\_n | T=t)= \\frac\{P(X\_1=x\_1, X\_2=x\_2, \\cdots , X\_n=x\_n , T=t)\}\{P(T=t)\} P(X1=x1,X2=x2,⋯,Xn=xn∣T=t)=P(T=t)P(X1=x1,X2=x2,⋯,Xn=xn,T=t)本来样本的联合分布与  θ \\theta θ 有关，除掉  T T T 的因素后与  θ \\theta θ 无关。说明所有  θ \\theta θ 的信息都包含在统计量  T = T ( x ) T=T(x) T=T(x) 内。称为充分统计量。

> **例6：**  
> 设总体  X ∼ B ( 1 , p ) X\\sim B(1, p) X∼B(1,p)，设  X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n X1,X2,⋯,Xn 是样本，样本值  x 1 , x 2 , ⋯   , x n x\_1, x\_2, \\cdots , x\_n x1,x2,⋯,xn，证明统计量  T ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) = ∑ i = 1 n X i T(X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n)=\\sum\_\{i=1\}^nX\_i T(X1,X2,⋯,Xn)=∑i=1nXi 是参数  p p p 的充分统计量。
> 
> --------------------
> 
> **证明：**  
> 显然  T ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) = ∑ i = 1 n X i ∼ B ( n , p ) T(X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n)=\\sum\_\{i=1\}^nX\_i \\sim B(n,p) T(X1,X2,⋯,Xn)=∑i=1nXi∼B(n,p)  
>  P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , ⋯   , X n = x n ∣ ∑ i = 1 n X i = t ) = P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , ⋯   , X n = x n , ∑ i = 1 n X i = t ) P ( ∑ i = 1 n X i = t ) = p x 1 ( 1 − p ) 1 − x 1 p x 2 ( 1 − p ) 1 − x 2 ⋯ p x n ( 1 − p ) 1 − x n C n t p t ( 1 − p ) n − t = p ∑ i = 1 n X i    ( 1 − p ) n − ∑ i = 1 n X i C n t p t ( 1 − p ) n − t = p t ( 1 − p ) n − t C n t p t ( 1 − p ) n − t = 1 C n t ( 与 p 无关 ) \\begin\{aligned\}P(X\_1=x\_1, X\_2&=x\_2, \\cdots , X\_n=x\_n | \\sum\_\{i=1\}^nX\_i=t) \\\\ &=\\frac\{P(X\_1=x\_1, X\_2=x\_2, \\cdots , X\_n=x\_n , \\sum\_\{i=1\}^nX\_i=t)\}\{P(\\sum\_\{i=1\}^nX\_i=t)\} \\\\ &=\\frac\{p^\{x\_1\}(1-p)^\{1-x\_1\}p^\{x\_2\}(1-p)^\{1-x\_2\} \\cdots p^\{x\_n\}(1-p)^\{1-x\_n\}\}\{C\_n^tp^t(1-p)^\{n-t\}\} \\\\ &=\\frac\{p^\{\\sum\_\{i=1\}^nX\_i\} \\; (1-p)^\{n-\\sum\_\{i=1\}^nX\_i\}\}\{C\_n^tp^t(1-p)^\{n-t\}\} \\\\ &=\\frac\{p^t(1-p)^\{n-t\}\}\{C\_n^tp^t(1-p)^\{n-t\}\} \\\\ &=\\frac\{1\}\{C\_n^t\} \\quad (与p无关)\\end\{aligned\} P(X1=x1,X2=x2,⋯,Xn=xn∣i=1∑nXi=t)=P(∑i=1nXi=t)P(X1=x1,X2=x2,⋯,Xn=xn,∑i=1nXi=t)=Cntpt(1−p)n−tpx1(1−p)1−x1px2(1−p)1−x2⋯pxn(1−p)1−xn=Cntpt(1−p)n−tp∑i=1nXi(1−p)n−∑i=1nXi=Cntpt(1−p)n−tpt(1−p)n−t=Cnt1(与p无关) 因此，统计量  T ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) = ∑ i = 1 n X i T(X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n)=\\sum\_\{i=1\}^nX\_i T(X1,X2,⋯,Xn)=∑i=1nXi 是参数  p p p 的充分统计量。

*  **因子分解定理：** 设总体  X X X 的概率函数为  p ( x ; θ ) p(x; \\theta) p(x;θ)，样本  X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n X1,X2,⋯,Xn 的统计量  T = T ( x ) T=T(x) T=T(x) 是  θ \\theta θ 的充分统计量的充要条件是：  
    对任意的  θ \\theta θ，存在两个函数  g ( t , θ ) g(t, \\theta) g(t,θ) 和  h ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) h(X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) h(X1,X2,⋯,Xn)，有:  
     p ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n , θ ) = g \{ T ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) , θ \} h ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) p(x\_1, x\_2, \\cdots , x\_n, \\theta)=g\\\{ T(x\_1, x\_2, \\cdots , x\_n), \\theta \\\} h(x\_1, x\_2, \\cdots , x\_n) p(x1,x2,⋯,xn,θ)=g\{ T(x1,x2,⋯,xn),θ\}h(x1,x2,⋯,xn)

> **例10：**  
> 设总体  X ∼ N ( μ , σ 2 ) ,    θ = ( μ , σ 2 ) X \\sim N(\\mu, \\sigma^2), \\; \\theta=(\\mu, \\sigma^2) X∼N(μ,σ2),θ=(μ,σ2)，证  T = ( ∑ i = 1 n x i , ∑ i = 1 n x i 2 ) T=(\\sum\_\{i=1\}^nx\_i,\\sum\_\{i=1\}^nx\_i^2) T=(∑i=1nxi,∑i=1nxi2) 是  θ \\theta θ 的充分统计量
> 
> --------------------
> 
> **证明：**  
>  X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n X1,X2,⋯,Xn为样本，联合密度为：  
>  f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ( 1 2 π σ ) n e − 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 = ( 1 2 π σ ) n e − 1 2 σ 2 \{ ∑ i = 1 n x i 2 − 2 μ ∑ i = 1 n x i + n μ 2 \} = ( 1 2 π σ ) n e − n μ 2 2 σ 2 e − 1 2 σ 2 \{ ∑ i = 1 n x i 2 − 2 μ ∑ i = 1 n x i \} \\begin\{aligned\}f(x\_1, x\_2, \\cdots, x\_n)&=(\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\}\\sigma\})^ne^\{-\\frac\{1\}\{2\\sigma^2\}\\sum\_\{i=1\}^n(x\_i-\\mu)^2\} \\\\ &=(\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\}\\sigma\})^ne^\{-\\frac\{1\}\{2\\sigma^2\}\\\{ \\sum\_\{i=1\}^nx\_i^2 - 2\\mu \\sum\_\{i=1\}^nx\_i + n\\mu^2 \\\}\} \\\\ &=(\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\}\\sigma\})^ne^\{-\\frac\{n\\mu^2\}\{2\\sigma^2\}\}e^\{-\\frac\{1\}\{2\\sigma^2\}\\\{ \\sum\_\{i=1\}^nx\_i^2-2\\mu \\sum\_\{i=1\}^n x\_i \\\}\}\\end\{aligned\} f(x1,x2,⋯,xn)=(2πσ1)ne−2σ21∑i=1n(xi−μ)2=(2πσ1)ne−2σ21\{ ∑i=1nxi2−2μ∑i=1nxi\+nμ2\}=(2πσ1)ne−2σ2nμ2e−2σ21\{ ∑i=1nxi2−2μ∑i=1nxi\}  g ( t 1 , t 2 , θ ) = ( 1 2 π σ ) n e − n μ 2 2 σ 2 e − 1 2 σ 2 \{ t 2 − 2 μ t 1 \} , h ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = 1 g(t\_1, t\_2, \\theta)=(\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\}\\sigma\})^ne^\{-\\frac\{n\\mu^2\}\{2\\sigma^2\}\}e^\{-\\frac\{1\}\{2\\sigma^2\}\\\{ t\_2 - 2\\mu t\_1 \\\}\}, \\qquad h(x\_1, x\_2, \\cdots, x\_n)=1 g(t1,t2,θ)=(2πσ1)ne−2σ2nμ2e−2σ21\{ t2−2μt1\},h(x1,x2,⋯,xn)=1  
>  T = ( ∑ i = 1 n x i , ∑ i = 1 n x i 2 ) T=(\\sum\_\{i=1\}^nx\_i,\\sum\_\{i=1\}^nx\_i^2) T=(∑i=1nxi,∑i=1nxi2) 是  θ = ( μ , σ 2 ) \\theta=(\\mu,\\sigma^2) θ=(μ,σ2) 的充分统计量

*  由因子分解定理可以有如下**结论：**  
    设  T = T ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T=T(X\_1, X\_2, \\cdots , X\_n) T=T(X1,X2,⋯,Xn) 是  θ \\theta θ 的一个充分统计量，若  W ( t ) W(t) W(t) 是单值可逆函数，则  W ( t ) W(t) W(t) 也是  θ \\theta θ 的一个充分统计量。  
    例如上例10中， T = ( ∑ i = 1 n x i , ∑ i = 1 n x i 2 ) T=(\\sum\_\{i=1\}^nx\_i,\\sum\_\{i=1\}^nx\_i^2) T=(∑i=1nxi,∑i=1nxi2) 是  θ = ( μ , σ 2 ) \\theta=(\\mu,\\sigma^2) θ=(μ,σ2) 的充分统计量可推导出：  
     ⟹ \\Longrightarrow ⟹  T = ( X ˉ , S 2 ) T=(\\bar\{X\}, S^2) T=(Xˉ,S2) 也是  θ = ( μ , σ 2 ) \\theta=(\\mu,\\sigma^2) θ=(μ,σ2) 的充分统计量

[下一篇：统计量的分布、正态总体的抽样分布][Link 1]

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