数理统计中的区间估计

骑猪看日落 2022-08-05 04:18 1215阅读 1赞

# 区间估计 #

用点估计θ^(X1,X2,…,Xn)来估计总体的未知参数 θ，一旦我们获得了样本观察值 (x1,x2,…,xn)，将它代入θ^(X1,X2,…,Xn)，即可得到θ的一个估计值。这很直观，也很便于使用。但是，点估计值只提供了θ的一个近似值，并没有反映这种近似的精确度。同时，由于θ本身是未知的，我们也无从知道这种估计的误差大小。因此，我们希望估计出一个真实参数所在的范围，并希望知道这个范围以多大的概率包含参数真值，这就是参数的区间估计问题。

## 定义 ##

设θ为总体ξ的未知参数,ξ1,ξ2,…,ξn为ξ的一个子样，T1(ξ1,ξ2,…,ξn),T2(ξ1,ξ2,…,ξn) 为两个统计量。对于任意给定的α(0<α<1)，若T1,T2满足

P\{ T1≤θ≤T2\}=1−α

——(4)  
则称随机区间  \[T1,T2\] 为  θ 的置信水平为  1−α 的区间估计，  α 为显著性水平，  T1,T2 分别称为置信下限和置信上限.  
注意：也称T2−T1为该区间估计的精度。  
值得注意的是，置信区间  (θ^1,θ^2) 是一个随机区间，对于给定的样本  (X1,X2,…,Xn) ， 可能包含未知参数  (θ^1,θ^2) ，也可能不包含  θ 。但（4）表明，在重复取样下，将得到许多不同的区间  θ^1(x1,x2,…,xn)、θ^2(x1,x2,…,xn) ，根据贝努利大数定律，这些区间中大约有  100(1−α) 的区间包含未知参数  θ 。  
置信度表示区间估计的可靠度，置信度  1−α 越接近于1越好。区间长度则表示估计的范围，即估计的精度，区间长度越短越好。当然，置信度和区间长度是相互矛盾的。在实际问题中，我们总是在保证可靠度的前提下，尽可能地提高精度。因此区间估计的问题，就是在给定  α 值的情况下，利用样本  (X1,X2,…,Xn) 去求两个估计量  θ^1 和  θ^2 的问题。

## 置信区间的含义 ##

以α=0.01为例，此时置信度为99。假设反复抽取样本1000次，则得到1000个随机区间\[T1,T2\]，在这1000个区间中，包含值的大约有990个，而不包含θ值的大约有10个。

## 构造区间估计的步骤 ##

> 1.构造一个与θ有关的函数
> 
> \{ U不含其它未知参数已知U的分布
> 
>   
> 2.对给定的  α(0<α<1) ，求  a,b 使得  
> 
> 
> P\{ a≤U≤b\}=1−α
> 
>   
> 3.解不等式  a≤U≤b⇔T1≤θ≤T2 ,得到区间  \[T1,T2\]

## 正态总体均值与方差的区间估计 ##

设ξ～N(a,σ2),ξ1,…,ξn为ξ的一子样

### 单个总体ξ～N(a,σ2)的情形 ###

#### σ2=σ20已知时，求a的区间估计 ####

因为ξ¯是a的最优无偏估计，因此在求a的区间估计时，自然从ξ¯出发来构造一个适合的函数。因为

ξ～N(a,σ20)⇒ξ¯～N(a,σ20n)

令  U=ξ¯−aσ0/n√ ，则  U～N(0,1)  
对给定的  α(0<α<1) ，求  uα ，使得

P\{ |U|≤uα\}=1−α——(∗)

临界值  uα 可由  P\{ U≤uα\}=1−α2 ，查  N(0，1) 分布表得到  
（\*）式变为

P\{ |ξ¯−aσ/n√|≤uα\}=1−α

亦是

P\{ ξ¯−uασ0n√≤a≤ξ¯\+uασ0n√\}=1−α

因此  a 的置信水平为  1−α 的区间估计为

\[ξ¯−uασ0n√,ξ¯\+uασ0n√\]

不同置信水平  1−α 下，  a 的区间估计为

![这里写图片描述][20150604194146520]

##### 例题 #####

设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 ,  
设干燥时间总体服从正态分布N(a,0.62)，求a的置信  
水平为0.95的置信区间。  
解：  
σ2=0.62已知，n=9,α=1−0.95=0.05  
取U=ξ¯−aσ0/n√～N(0,1)  
由P\{ |U|≤uα\}=1−α可得P\{ U≤uα\}=1−α2=0.975  
查标准正态分布表得到uα=1.96，故所求的置信水平为0.95的置信区间为

\[X¯¯¯−uασ0n√,X¯¯¯\+uασ0n√\]=\[5.0608，6.392\]

#### σ2未知时，求a的区间估计 ####

取T=n−1−−−−−√ξ¯−aS～t(n−1)  
对给定的α(0<α<1)，求一个t(n−1)(α)，使得

P\{ |T|≥tn−1(α)\}=α

查t分布表可求得  tn−1(α)

P\{ |n−1−−−−−√ξ¯−aS|≥tn−1(α)\}=α

即

P\{ ξ¯−tn−1(α)Sn−1−−−−−√≤a≤ξ¯\+tn−1(α)Sn−1−−−−−√\}=α

得到  a 的置信度为  1−α 的置信区间为

\[ξ¯−tn−1(α)Sn−1−−−−−√,ξ¯\+tn−1(α)Sn−1−−−−−√\]

##### 例题 #####

设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 ,  
设干燥时间总体服从正态分布N(a,σ2)，σ2>0未知，求a的置信  
水平为0.95的置信区间。  
解：  
σ2>0未知，n=9,α=1−0.95=0.05  
取T=n−1−−−−−√ξ¯−aS～t(n−1)=t(8)  
由P\{ |T|≥t8(α)\}=α=0.05  
查t(8)分布表可以得到t8(α)=2.306，故所求的区间估计为

\[ξ¯−tn−1(α)Sn−1−−−−−√,ξ¯\+tn−1(α)Sn−1−−−−−√\]

计算得  ξ¯=6.0 S2=0.29  
故所求a的区间估计为  \[5.558,6.442\]

#### （总体均值未知时）σ2的区间估计 ####

取χ2=nS2σ2～χ2(n−1)  
给定的α(0<α<1)，求一个λ1，一个λ2，使得

P\{ λ1≤χ2≤λ2\}=1−α

![这里写图片描述][20150604200723989]

P\{ χ2n−1(1−α2)≤χ2≤χ2n−1(α2)\}=1−α

P\{ χ2n−1(1−α2)≤nS2σ2≤χ2n−1(α2)\}=1−α

即

P\{ nS2χ2n−1(1−α2)≤σ2≤nS2χ2n−1(α2)\}=1−α

由此可得  σ2 的置信水平为  1−α 的区间估计为

\[nS2χ2n−1(1−α2)，nS2χ2n−1(α2)\]

##### 例题 #####

设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 ,  
设干燥时间总体服从正态分布N(a,σ2)，求σ2>0的置信  
水平为0.95的置信区间。  
解：  
n=9,α=1−0.95=0.05，a未知  
取χ2=nS2σ2～χ2(n−1)=χ2(8)  
对给定的α(0<α<1)，查χ2(8)表得

χ28(0.975)=2.180,χ28(0.025)=17.535

计算得  ξ¯=6.0 S2=0.29  
故  σ2 的置信度为  1−α 的置信区间为

\[nS2χ2n−1(1−α2)，nS2χ2n−1(α2)\]

\[9×0.2917.535，9×0.292.18\]

\[0.151,1.211\]

因此  σ2 的置信区间为0.95的区间估计为  \[0.151,1.211\]

### 二个正态总体的情形 ###

#### 二个正态总体均值差a1−a2的区间估计 ####

设ξ1,ξ2,…,ξn1与η1,η2,…,ηn1分别是来自正态总体N(a1,σ21)与N(a2,σ22)的子样，且这两个子样相互独立，ξ¯,η¯分别是这两个子样的均样，s21,s22分别是这两个子样的方差。  
因为ξ¯,η¯分别为a1,a2的点估计，故取ξ¯−η¯为a1−a2的点估计。此时ξ¯−η¯服从正态分布，且

E(ξ¯−η¯)=a1−a2D(ξ¯−η¯)=D(ξ¯)\+D(η¯)=σ21n1\+σ22n2

对总体方差的不同情况可得  a1−a2 的不同置信区间。

##### 若σ21、σ22都已知 #####

取U=ξ¯−η¯−(a1−a2)σ21n1\+σ22n2√～N(0,1)  
对于给定的α(0<α<1)，查正态分布表得uα  
从而得到a1−a2置信水平为1−α的区间估计

(ξ¯−η¯−uασ21n1\+σ22n2−−−−−−−−√,ξ¯−η¯\+uασ21n1\+σ22n2−−−−−−−−√)

##### 若σ21=σ22=σ2都未知 #####

取T=n1n2(n1\+n2−2)n1\+n2−−−−−−−−−−√ξ¯−η¯−(a1−a2)n1S21\+n2S22√～t(n1\+n2−2)  
对于给定的α(0<α<1)，由

P\{ |T|>t(n1\+n2−2)(α)\}=α

确认  t(n1\+n2−2)(α) ，从而得到  a1−a2 置信区间为  1−α 的区间估计是

(ξ¯−η¯±t(n1\+n2−2)(α)n1S21\+n2S22−−−−−−−−−−−√n1\+n2n1n2(n1\+n2−2)−−−−−−−−−−−−−−−√)

##### 例题 #####

为比较I, II 两种型号子弹的枪口速度,随机地取I 型子弹10 发, 得到枪口速度的平均值为x¯1=500(m/s)，标准差s1=1.10(m/s)，随机地取II 型子弹20 发, 得到枪口速度的平均值为x¯2=496(m/s)，标准差s2=1.20(m/s)，假设两总体都可认为近似地服从正态分布,且由生产过程可认为方差相等,求两总体均值差a1−a2的一个置信水平为0.95的区间.  
解：  
由假设两总体的方差相等, 但数值未知  
故a1−a2置信度为1−α的置信区间是

(ξ¯−η¯±t(n1\+n2−2)(α)n1S21\+n2S22−−−−−−−−−−−√n1\+n2n1n2(n1\+n2−2)−−−−−−−−−−−−−−−√)

n1=10,n2=20,n1\+n2−2=28

α−1−0.95=0.05,t0.05(28)=2.048

t(n1\+n2−2)(α)n1S21\+n2S22−−−−−−−−−−−√n1\+n2n1n2(n1\+n2−2)−−−−−−−−−−−−−−−√=2.048×10×1.102\+20×1.202−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√30200×28−−−−−−−−√=0.853

故  a1−a2 置信水平为  1−α 的区间估计是

(4−0.853,4\+0.853)=(3.147,4.853)

#### 两个总体方差比的置信区间 ####

设两正态总体N(a1,σ21)、N(a2,σ22)的参数都为未知的，子样容量分别为n1,n2，且两个子样相互独立，子样方差分别为S21,S22，求方差比σ21/σ22的置信区间  
由n1S21σ21～χ2(n1−1),n2S22σ22～χ2(n2−1)构造

F=n1S21σ21/(n1−1)n2S22σ22/(n2−1)～F(n1−1,n2−1)

对于给定的  α(0<α<1) ，取  λ1,λ2 使满足

P\{ λ1≤F≤λ2\}=1−α

![这里写图片描述][20150605102413871]  
令  P\{ F<λ1\}=α/2,P\{ F>λ2\}=α/2  
即取  λ1=F(n1−1,n2−1)（1−α2）,λ2=F(n1−1,n2−1)（α2）  
 P\{ F(n1−1,n2−1)(1−α2)\}≤(n2−1)n1S21(n1−1)n2S22．σ22σ21≤P\{ F(n1−1,n2−1)(α2)\}=1−α  
由此得  σ21σ22 的置信度为  1−α 的置信区间为

\[(n2−1)n1S21(n1−1)n2S22．1F(n1−1,n2−1)(α2),(n2−1)n1S21(n1−1)n2S22．1F(n1−1,n2−1)(1−α2)\]

注意如何查表得到  F(n1−1,n2−1)(1−α2)

F(n1−1,n2−1)(1−α2)=1F(n2−1,n1−1)(α2)

##### 例子 #####

研究机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差s21=0.34(mm2),抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差s22=0.29(mm2）,设两样本相互独立，且由机器A和机器B生产的钢管的内径分别服从正态分布N(a1,σ21),N(a2,σ22)试求方差比σ21/σ22的一个置信水平为0.90 的置信区间.  
解：  
现在n1=18,s21=0.34;n2=13,s22=0.29  
α=0.10F(n1−1,n2−1)(α2)=F(17,12)(0.05)=2.59F(n1−1,n2−1)(α2)=F(17,12)(0.95)=1F(12,17)(0.05)=12.38  
于是得σ21σ22的置信度为0.90的置信区间为

(73.4464.09×2.59,73.4464.09×12.38)=(0.44,2.73)

### 练习 ###

假设随机变数X～Ｎ(a,2.8)，现有X的10个观察值X1,…,X10，已知X¯¯¯=110∑10i=1xi=1500,  
**1)求a的置信度为0.95置信区间**  
解1）  
由于σ2=2.82已知，故选U=X¯−aσ/n√～N(0,1)  
由α=0.5⇒uα=1.96，a的置信度为0.95置信区间为

\[X¯¯¯−uασn√,X¯¯¯\+uασn√\]=\[1500−1.96×2.810−−√,1500\+1.96×2.810−−√\]=\[1498.3,1501.7\]

**2)要想使0.95的置信区间长度l小于1，观察值个数n最少应去多少？**  
解2）  
 l=(X¯¯¯\+uασn√)−(X¯¯¯−uασn√)=2uασn√  
要使  a 的置信度为  0.95 置信区间的长度小于  1 ,  
即

2uασn√<1⇒2×1.96×2.8n<1

⇒n>(2×1.96×2.8)2=120.47

所以观察值个数  n 最少应取121  
3）如果样本容量n=100，那么区间  (X¯¯¯−1,X¯¯¯\+1)作为a的区间估计，其置信度是什么？  
解3）  
置信区间若为  (X¯¯¯−1,X¯¯¯\+1)，则  l=2  
即有等式  2uασn√=2⇒uα=100√2.8=3.57

P(|U|≤uα)=P(|U|≤3.57)=2Φ(3.57)−1=2×0.9998−1=0.9996

置信度为0.9996

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