【数理统计】学习笔记05：区间估计

た入场券 2023-10-09 15:09 23阅读 0赞

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#### 文章目录 ####

*  一、区间估计定义
 *  二、区间估计解题方法
 *   *  2.1 正态总体
     *  2.2 比率参数
     *  2.3 各分布置信区间汇总
 *  三、例题
 *   *  3.1 单正态总体参数
     *  3.2 双正态总体参数
     *  3.3 比率参数
     *  3.4 单侧置信上/下限

## 一、区间估计定义 ##

*  **置信区间**：设总体  X X X 的分布函数为  F ( X ; θ ) F(X;\\theta) F(X;θ)，其中  θ \\theta θ 为未知参数， X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1,X\_2,\\cdots,X\_n X1,X2,⋯,Xn 为来自总体的简单随机样本。对于给定的  α ∈ ( 0 , 1 ) \\alpha\\in (0,1) α∈(0,1)，如果由样本确定的两个统计量  T 1 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T\_1(X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n) T1(X1,X2,⋯,Xn) 和  T 2 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T\_2(X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n) T2(X1,X2,⋯,Xn) 满足 P ( T 1 ≤ θ ≤ T 2 ) = 1 − α P(T\_1\\leq\\theta\\leq T\_2)=1-\\alpha P(T1≤θ≤T2)=1−α则称随机区间  \[ T 1 , T 2 \] \[T\_1,T\_2\] \[T1,T2\] 为参数  θ \\theta θ 的**置信度**（或**置信水平**）为  1 − α 1-\\alpha 1−α 的**置信区间**。
 *  **单侧置信上/下限**：如果统计量  T 1 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T\_1(X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n) T1(X1,X2,⋯,Xn) 满足 P ( θ ≤ T 1 ) = 1 − α ( 或 P ( θ ≥ T 1 ) = 1 − α ) P(\\theta\\leq T\_1)=1-\\alpha\\quad(\\text\{或 \}P(\\theta\\geq T\_1)=1-\\alpha) P(θ≤T1)=1−α(或P(θ≥T1)=1−α)则称  T 1 T\_1 T1 为参数  θ \\theta θ 的置信度为  1 − α 1-\\alpha 1−α 的**单侧置信上限**（或**单侧置信下限**）。
 *  通常约定置信度取 0.95

## 二、区间估计解题方法 ##

### 2.1 正态总体 ###

**双侧置信区间**：对于给定的置信度  1 − α 1-\\alpha 1−α，构造正态总体中参数  θ \\theta θ 的区间估计的一般步骤：

**单侧置信区间**：对于给定的置信度  1 − α 1-\\alpha 1−α，构造正态总体中参数  θ \\theta θ 的区间估计的一般步骤：

1.  从正态总体的六个已知的抽样分布中选一个只含有待估参数  θ \\theta θ 而不包含其他未知参数的抽样分步，记为  Y Y Y。注意  Y Y Y 中包含待估参数  θ \\theta θ 及其点估计，也可能包含其他已知参数或未知参数的点估计。
2.  由于  Y Y Y 一定是服从四大抽样分步（ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)、 χ 2 \\chi^2 χ2、 t t t、 F F F）中的一个，所以它的分位点  Y α / 2 , Y 1 − α / 2 Y\_\{\\alpha/2\},Y\_\{1-\\alpha/2\} Yα/2,Y1−α/2 能从附表中查到，且必然满足： P ( Y 1 − α / 2 ≤ Y ) = 1 − α 或 P ( Y ≤ Y α / 2 ) = 1 − α P(Y\_\{1-\\alpha/2\}\\leq Y)=1-\\alpha\\quad\\text\{或\}\\quad P(Y\\leq Y\_\{\\alpha/2\})=1-\\alpha P(Y1−α/2≤Y)=1−α或P(Y≤Yα/2)=1−α
3.  由于  Y Y Y 中含有待估参数  θ \\theta θ，整理得到等价的不等式 P ( T 1 ≤ θ ) = 1 − α 或 P ( θ ≤ T 2 ) = 1 − α P(T\_1\\leq\\theta)=1-\\alpha\\quad\\text\{或\}\\quad P(\\theta\\leq T\_2)=1-\\alpha P(T1≤θ)=1−α或P(θ≤T2)=1−α
4.  由此得到置信区间为
    
     *   \{ T 1 , + ∞ \} \\\{T\_1,+\\infty\\\} \{ T1,\+∞\}（单侧置信下限）
     *   \{ − ∞ , T 2 \} \\\{-\\infty, T\_2\\\} \{ −∞,T2\}（单侧置信上限，其中  Y ∼ N ( 0 , 1 ) Y\\sim N(0,1) Y∼N(0,1) 或者  Y ∼ t ( n − 1 ) Y\\sim t(n-1) Y∼t(n−1)）
     *   \{ 0 , T 2 \} \\\{0, T\_2\\\} \{ 0,T2\}（单侧置信上限，其中  Y ∼ χ 2 ( n − 1 ) Y\\sim \\chi^2(n-1) Y∼χ2(n−1) 或者  Y ∼ F ( n − 1 , m − 1 ) Y\\sim F(n-1,m-1) Y∼F(n−1,m−1)）

### 2.2 比率参数 ###

在实践中，对比率  p p p 的估计，往往是针对样本量  n n n 很大的情况

1.  大样本下近似地有 X ˉ − p p ( 1 − p ) / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\bar X-p\}\{\\sqrt\{p(1-p)/n\}\}\\sim N(0,1) p(1−p)/nXˉ−p∼N(0,1)
2.  用  p ^ = X ˉ \\hat p=\\bar X p^=Xˉ 来估计  p p p，则近似地有： X ˉ − p X ˉ ( 1 − X ˉ ) / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\bar X-p\}\{\\sqrt\{\\bar X(1-\\bar X)/n\}\}\\sim N(0,1) Xˉ(1−Xˉ)/nXˉ−p∼N(0,1)
3.  由此得置信区间为： \[ X ˉ − X ˉ ( 1 − X ˉ ) n z α / 2 , X ˉ + X ˉ ( 1 − X ˉ ) n z α / 2 \] \\Big\[\\bar X-\\sqrt\{\\frac\{\\bar X(1-\\bar X)\}\{n\}\}z\_\{\\alpha/2\},\\bar X+\\sqrt\{\\frac\{\\bar X(1-\\bar X)\}\{n\}\}z\_\{\\alpha/2\}\\Big\] \[Xˉ−nXˉ(1−Xˉ)zα/2,Xˉ\+nXˉ(1−Xˉ)zα/2\]

### 2.3 各分布置信区间汇总 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>参数</th> 
 <th>抽样分步</th> 
 <th>置信区间</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> μ , \mu, μ,（ σ 2 \sigma^2 σ2已知）</td> 
 <td> X ˉ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1) σ/n Xˉ−μ∼N(0,1)</td> 
 <td> [ X ˉ − σ n z α / 2 , X ˉ + σ n z α / 2 ] [\bar X -\frac{\sigma}{\sqrt n}z_{\alpha/2},\bar X +\frac{\sigma}{\sqrt n}z_{\alpha/2}] [Xˉ−n σzα/2,Xˉ+n σzα/2]</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> μ , \mu, μ,（ σ 2 \sigma^2 σ2未知）</td> 
 <td> X ˉ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1) S/n Xˉ−μ∼t(n−1)</td> 
 <td> [ X ˉ − S n t α / 2 ( n − 1 ) , X ˉ + S n t α / 2 ( n − 1 ) ] [\bar X-\frac S{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1),\bar X+\frac S{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1)] [Xˉ−n Stα/2(n−1),Xˉ+n Stα/2(n−1)]</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> σ 2 \sigma^2 σ2</td> 
 <td> ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1) σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)</td> 
 <td> [ ( n − 1 ) S 2 χ α / 2 2 ( n − 1 ) , ( n − 1 ) S 2 χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) ] \Big[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\Big] [χα/22(n−1)(n−1)S2,χ1−α/22(n−1)(n−1)S2]</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> μ 1 − μ 2 \mu_1-\mu_2 μ1−μ2 （ σ 1 2 , σ 2 2 \sigma_1^2,\sigma_2^2 σ12,σ22已知）</td> 
 <td> X ˉ − Y ˉ − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 / n + σ 2 2 / m ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2/n+\sigma_2^2/m}}\sim N(0,1) σ12/n+σ22/m Xˉ−Yˉ−(μ1−μ2)∼N(0,1)</td> 
 <td> [ ( X ˉ − Y ˉ ) − z α / 2 σ 1 2 n + σ 2 2 m , ( X ˉ − Y ˉ ) + z α / 2 σ 1 2 n + σ 2 2 m ] \bigg[(\bar X-\bar Y)-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac {\sigma_2^2}{m}},(\bar X-\bar Y)+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac {\sigma_2^2}{m}}\bigg] [(Xˉ−Yˉ)−zα/2nσ12+mσ22 ,(Xˉ−Yˉ)+zα/2nσ12+mσ22 ]</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> μ 1 − μ 2 \mu_1-\mu_2 μ1−μ2 （ σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 \sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2 σ12=σ22=σ2未知）</td> 
 <td> ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ 1 − μ 2 ) S w 1 / n + 1 / m ∼ t ( n + m − 2 ) \frac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{1/n+1/m}}\sim t(n+m-2) Sw1/n+1/m (Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)∼t(n+m−2)</td> 
 <td> [ ( X ˉ − Y ˉ ) − t α / 2 ( n + m − 2 ) S w 1 n + 1 m , ( X ˉ − Y ˉ ) + t α / 2 ( n + m − 2 ) S w 1 n + 1 m ] \Big[(\bar X-\bar Y)-t_{\alpha/2}(n+m-2)S_w\sqrt{\frac 1n+\frac 1m},\\(\bar X-\bar Y)+t_{\alpha/2}(n+m-2)S_w\sqrt{\frac 1n+\frac 1m}\Big] [(Xˉ−Yˉ)−tα/2(n+m−2)Swn1+m1 ,(Xˉ−Yˉ)+tα/2(n+m−2)Swn1+m1 ]</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> σ 1 2 / σ 2 2 \sigma_1^2 / \sigma_2^2 σ12/σ22</td> 
 <td> S 1 2 / σ 1 2 S 2 2 / σ 2 2 ∼ F ( n − 1 , m − 1 ) \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n-1,m-1) S22/σ22S12/σ12∼F(n−1,m−1)</td> 
 <td> [ S 1 2 S 2 2 1 F 1 − α / 2 ( n − 1 , m − 1 ) , S 1 2 S 2 2 1 F α / 2 ( n − 1 , m − 1 ) ] \Big[\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac 1{F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)},\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac 1{F_{\alpha/2}(n-1,m-1)}\Big] [S22S12F1−α/2(n−1,m−1)1,S22S12Fα/2(n−1,m−1)1]</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> p p p</td> 
 <td> X ˉ − p p ( 1 − p ) / n ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\bar X-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\sim N(0,1) p(1−p)/n Xˉ−p∼N(0,1)</td> 
 <td> [ X ˉ − X ˉ ( 1 − X ˉ ) n z α / 2 , X ˉ + X ˉ ( 1 − X ˉ ) n z α / 2 ] \Big[\bar X-\sqrt{\frac{\bar X(1-\bar X)}{n}}z_{\alpha/2},\bar X+\sqrt{\frac{\bar X(1-\bar X)}{n}}z_{\alpha/2}\Big] [Xˉ−nXˉ(1−Xˉ) zα/2,Xˉ+nXˉ(1−Xˉ) zα/2]</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 三、例题 ##

### 3.1 单正态总体参数 ###

> **例1**：某地区的磁场强度  X ∼ N ( μ , 2 0 2 ) X\\sim N(\\mu,20^2) X∼N(μ,202)，现从该地区取  36 36 36 个点，测得样本观测值均值为  x ˉ = 61.1 \\bar x=61.1 xˉ=61.1。在  0.95 0.95 0.95 的置信度下求该地区平均磁场强度  μ \\mu μ 的置信区间。
> 
> --------------------
> 
> **解**：由于  σ 2 \\sigma^2 σ2 已知，构造统计量  
>  X ˉ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\bar X-\\mu\}\{\\sigma/\\sqrt n\}\\sim N(0,1) σ/nXˉ−μ∼N(0,1)可得 P ( z 1 − α / 2 ≤ X ˉ − μ σ / n ≤ z α / 2 ) = 1 − α P(z\_\{1-\\alpha/2\}\\leq \\frac\{\\bar X-\\mu\}\{\\sigma/\\sqrt n\}\\leq z\_\{\\alpha/2\})=1-\\alpha P(z1−α/2≤σ/nXˉ−μ≤zα/2)=1−α整理得 P ( X ˉ − σ n z α / 2 ≤ μ ≤ X ˉ + σ n z α / 2 ) P(\\bar X -\\frac\{\\sigma\}\{\\sqrt n\}z\_\{\\alpha/2\}\\leq \\mu \\leq \\bar X +\\frac\{\\sigma\}\{\\sqrt n\}z\_\{\\alpha/2\}) P(Xˉ−nσzα/2≤μ≤Xˉ\+nσzα/2)置信区间为 \[ X ˉ − σ n z α / 2 , X ˉ + σ n z α / 2 \] \[\\bar X -\\frac\{\\sigma\}\{\\sqrt n\}z\_\{\\alpha/2\},\\bar X +\\frac\{\\sigma\}\{\\sqrt n\}z\_\{\\alpha/2\}\] \[Xˉ−nσzα/2,Xˉ\+nσzα/2\]已知样本容量  n = 36 n=36 n=36，样本均值为  x ˉ = 61.1 \\bar x=61.1 xˉ=61.1，总体方差  σ 2 = 2 0 2 \\sigma^2=20^2 σ2=202， α = 0.05 \\alpha=0.05 α=0.05， − z 0.975 = z 0.025 = 1.96 -z\_\{0.975\}=z\_\{0.025\}=1.96 −z0.975=z0.025=1.96，代入数据得平均磁场强度  μ \\mu μ 的置信区间为  \[ 54.6 , 67.6 \] \[54.6,67.6\] \[54.6,67.6\]

> **例2**：已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取  16 16 16 只作为样本，测得其平均使用寿命为  1490 h 1490h 1490h，样本标准差为  25.4 h 25.4h 25.4h。在  0.95 0.95 0.95 的置信度下求这批灯泡平均使用寿命  μ \\mu μ 的置信区间。
> 
> --------------------
> 
> **解**：由于  σ 2 \\sigma^2 σ2 未知，构造统计量 X ˉ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \\frac\{\\bar X-\\mu\}\{S/\\sqrt n\}\\sim t(n-1) S/nXˉ−μ∼t(n−1)可得 P ( t 1 − α / 2 ( n − 1 ) ≤ X ˉ − μ S / n ≤ t α / 2 ( n − 1 ) ) = 1 − α P(t\_\{1-\\alpha/2\}(n-1)\\leq \\frac\{\\bar X-\\mu\}\{S/\\sqrt n\} \\leq t\_\{\\alpha/2\}(n-1))=1-\\alpha P(t1−α/2(n−1)≤S/nXˉ−μ≤tα/2(n−1))=1−α整理得 P ( X ˉ − S n t α / 2 ( n − 1 ) ≤ μ ≤ X ˉ + S n t α / 2 ( n − 1 ) ) P(\\bar X-\\frac S\{\\sqrt n\}t\_\{\\alpha/2\}(n-1)\\leq \\mu \\leq \\bar X+\\frac S\{\\sqrt n\}t\_\{\\alpha/2\}(n-1)) P(Xˉ−nStα/2(n−1)≤μ≤Xˉ\+nStα/2(n−1))置信区间为 \[ X ˉ − S n t α / 2 ( n − 1 ) , X ˉ + S n t α / 2 ( n − 1 ) \] \[\\bar X-\\frac S\{\\sqrt n\}t\_\{\\alpha/2\}(n-1),\\bar X+\\frac S\{\\sqrt n\}t\_\{\\alpha/2\}(n-1)\] \[Xˉ−nStα/2(n−1),Xˉ\+nStα/2(n−1)\]已知  n = 16 n=16 n=16， x ˉ = 1490 \\bar x=1490 xˉ=1490， s = 25.4 s=25.4 s=25.4， α = 0.05 \\alpha=0.05 α=0.05， − t 0.975 ( 15 ) = t 0.025 ( 15 ) = 2.1314 -t\_\{0.975\}(15)=t\_\{0.025\}(15)=2.1314 −t0.975(15)=t0.025(15)=2.1314，代入得  μ \\mu μ 的置信区间为  \[ 1476.47 , 1503.53 \] \[1476.47,1503.53\] \[1476.47,1503.53\]

> **例3**：设某车间生产的滚珠的直径  X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\\sim N(\\mu,\\sigma^2) X∼N(μ,σ2)，现从某日生产的滚珠中抽取  9 9 9 个，测得样本方差为  s 2 = 0.2 5 2 s^2=0.25^2 s2=0.252。在  0.95 0.95 0.95 的置信度下求总体方差的  σ 2 \\sigma^2 σ2 的置信区间。
> 
> --------------------
> 
> **解**：构造统计量 ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\sim \\chi^2(n-1) σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)可得 P ( χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) ≤ ( n − 1 ) S 2 σ 2 ≤ χ α / 2 2 ( n − 1 ) ) = 1 − α P\\Big(\\chi^2\_\{1-\\alpha/2\}(n-1)\\leq\\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\leq\\chi^2\_\{\\alpha/2\}(n-1)\\Big)=1-\\alpha P(χ1−α/22(n−1)≤σ2(n−1)S2≤χα/22(n−1))=1−α整理得 P ( ( n − 1 ) S 2 χ α / 2 2 ( n − 1 ) ≤ σ 2 ≤ ( n − 1 ) S 2 χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) ) = 1 − α P\\Big(\\frac\{(n-1)S^2\}\{\\chi^2\_\{\\alpha/2\}(n-1)\}\\leq\\sigma^2\\leq \\frac\{(n-1)S^2\}\{\\chi^2\_\{1-\\alpha/2\}(n-1)\}\\Big)=1-\\alpha P(χα/22(n−1)(n−1)S2≤σ2≤χ1−α/22(n−1)(n−1)S2)=1−α置信区间为 \[ ( n − 1 ) S 2 χ α / 2 2 ( n − 1 ) , ( n − 1 ) S 2 χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) \] \\bigg\[\\frac\{(n-1)S^2\}\{\\chi^2\_\{\\alpha/2\}(n-1)\},\\frac\{(n-1)S^2\}\{\\chi^2\_\{1-\\alpha/2\}(n-1)\}\\bigg\] \[χα/22(n−1)(n−1)S2,χ1−α/22(n−1)(n−1)S2\]已知  n = 9 n=9 n=9， s 2 = 0.2 5 2 s^2=0.25^2 s2=0.252， χ 0.025 2 ( 8 ) = 17.535 \\chi^2\_\{0.025\}(8)=17.535 χ0.0252(8)=17.535， χ 0.975 2 ( 8 ) = 2.180 \\chi^2\_\{0.975\}(8)=2.180 χ0.9752(8)=2.180，代入得  σ 2 \\sigma^2 σ2 的置信区间为  \[ 0.03 , 0.23 \] \[0.03,0.23\] \[0.03,0.23\]

### 3.2 双正态总体参数 ###

> **例4**：某车间用两台型号相同的机器生产同一种产品，已知机器A生产的产品长度  X ∼ N ( μ 1 , 1 ) X\\sim N(\\mu\_1,1) X∼N(μ1,1)，机器B生产的产品长度  Y ∼ N ( μ 2 , 1 ) Y\\sim N(\\mu\_2,1) Y∼N(μ2,1)。为了比较两台机器生产的产品的长度，现从A生产的产品中抽取10件，测得样本均值  x ˉ = 49.83    c m \\bar x=49.83\\;cm xˉ=49.83cm。从B生产的产品中抽取  15 15 15 件，测得样本均值  y ˉ = 50.24    c m \\bar y=50.24\\; cm yˉ=50.24cm。在  0.99 0.99 0.99 的置信度下求两总体均值差  μ 1 − μ 2 \\mu\_1-\\mu\_2 μ1−μ2 的置信区间。
> 
> --------------------
> 
> **解**：两个总体方差  σ 1 2 = σ 2 2 = 1 \\sigma\_1^2=\\sigma\_2^2=1 σ12=σ22=1 已知，构造统计量  
>  X ˉ − Y ˉ − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 / n + σ 2 2 / m ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\bar X-\\bar Y-(\\mu\_1-\\mu\_2)\}\{\\sqrt\{\\sigma\_1^2/n+\\sigma\_2^2/m\}\}\\sim N(0,1) σ12/n\+σ22/mXˉ−Yˉ−(μ1−μ2)∼N(0,1)可得 P ( z 1 − α / 2 ≤ X ˉ − Y ˉ − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 / n + σ 2 2 / m ≤ z α / 2 ) = 1 − α P\\bigg(z\_\{1-\\alpha/2\} \\leq\\frac\{\\bar X-\\bar Y-(\\mu\_1-\\mu\_2)\}\{\\sqrt\{\\sigma\_1^2/n+\\sigma\_2^2/m\}\}\\leq z\_\{\\alpha/2\}\\bigg)=1-\\alpha P(z1−α/2≤σ12/n\+σ22/mXˉ−Yˉ−(μ1−μ2)≤zα/2)=1−α整理得 P ( ( X ˉ − Y ˉ ) − z α / 2 σ 1 2 n + σ 2 2 m ≤ μ 1 − μ 2 ≤ ( X ˉ − Y ˉ ) + z α / 2 σ 1 2 n + σ 2 2 m ) = 1 − α P\\bigg((\\bar X-\\bar Y)-z\_\{\\alpha/2\}\\sqrt\{\\frac\{\\sigma\_1^2\}\{n\}+\\frac \{\\sigma\_2^2\}\{m\}\}\\leq \\mu\_1-\\mu\_2 \\leq (\\bar X-\\bar Y)+z\_\{\\alpha/2\}\\sqrt\{\\frac\{\\sigma\_1^2\}\{n\}+\\frac \{\\sigma\_2^2\}\{m\}\}\\bigg)=1-\\alpha P((Xˉ−Yˉ)−zα/2nσ12\+mσ22≤μ1−μ2≤(Xˉ−Yˉ)\+zα/2nσ12\+mσ22)=1−α置信区间为 \[ ( X ˉ − Y ˉ ) − z α / 2 σ 1 2 n + σ 2 2 m , ( X ˉ − Y ˉ ) + z α / 2 σ 1 2 n + σ 2 2 m \] \\bigg\[(\\bar X-\\bar Y)-z\_\{\\alpha/2\}\\sqrt\{\\frac\{\\sigma\_1^2\}\{n\}+\\frac \{\\sigma\_2^2\}\{m\}\},(\\bar X-\\bar Y)+z\_\{\\alpha/2\}\\sqrt\{\\frac\{\\sigma\_1^2\}\{n\}+\\frac \{\\sigma\_2^2\}\{m\}\}\\bigg\] \[(Xˉ−Yˉ)−zα/2nσ12\+mσ22,(Xˉ−Yˉ)\+zα/2nσ12\+mσ22\]已知  n 1 = 10 n\_1=10 n1=10， m = 15 m=15 m=15， x ˉ = 49.83 \\bar x=49.83 xˉ=49.83， y ˉ = 50.24 \\bar y=50.24 yˉ=50.24， σ 1 2 = σ 2 2 = 1 \\sigma\_1^2=\\sigma\_2^2=1 σ12=σ22=1， z 0.005 = 2.58 z\_\{0.005\}=2.58 z0.005=2.58，代入得  μ 1 − μ 2 \\mu\_1-\\mu\_2 μ1−μ2 的置信区间为  \[ − 1.46 , 0.64 \] \[-1.46,0.64\] \[−1.46,0.64\]

> **例5**：某车间用两台型号相同的机器生产同一种产品，机器A生产的产品长度  X ∼ N ( μ 1 , σ 2 ) X\\sim N(\\mu\_1,\\sigma^2) X∼N(μ1,σ2)，机器B生产的产品长度  Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 ) Y\\sim N(\\mu\_2,\\sigma^2) Y∼N(μ2,σ2)。为了比较两台机器生产的产品的长度，现从A生产的产品中抽取  10 10 10 件，测得样本均值  x ˉ = 49.83    c m \\bar x=49.83\\; cm xˉ=49.83cm，样本标准差  s 1 = 1.09    c m s\_1=1.09\\; cm s1=1.09cm。从B生产的产品中抽取  15 15 15 件，测得样本均值  y ˉ = 50.24    c m \\bar y=50.24\\; cm yˉ=50.24cm，样本标准差  s 2 = 1.18    c m s\_2=1.18\\; cm s2=1.18cm。在  0.99 0.99 0.99 的置信度下求两总体均值差  μ 1 − μ 2 \\mu\_1-\\mu\_2 μ1−μ2 的置信区间。
> 
> --------------------
> 
> **解**：两个总体方差  σ 1 2 = σ 2 2 \\sigma\_1^2=\\sigma\_2^2 σ12=σ22 未知，构造统计量  
>  ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ 1 − μ 2 ) S w 1 / n + 1 / m ∼ t ( n + m − 2 ) \\frac\{(\\bar X-\\bar Y)-(\\mu\_1-\\mu\_2)\}\{S\_w\\sqrt\{1/n+1/m\}\}\\sim t(n+m-2) Sw1/n\+1/m(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)∼t(n\+m−2)可得 P ( t 1 − α / 2 ( n + m − 2 ) ≤ ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ 1 − μ 2 ) S w 1 / n + 1 / m ≤ t α / 2 ( n + m − 2 ) ) = 1 − α P\\bigg(t\_\{1-\\alpha/2\}(n+m-2) \\leq\\frac\{(\\bar X-\\bar Y)-(\\mu\_1-\\mu\_2)\}\{S\_w\\sqrt\{1/n+1/m\}\}\\leq t\_\{\\alpha/2\}(n+m-2)\\bigg)=1-\\alpha P(t1−α/2(n\+m−2)≤Sw1/n\+1/m(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)≤tα/2(n\+m−2))=1−α整理得 P ( ( X ˉ − Y ˉ ) − t α / 2 ( n + m − 2 ) S w 1 n + 1 m ≤ μ 1 − μ 2 ≤ ( X ˉ − Y ˉ ) + t α / 2 ( n + m − 2 ) S w 1 n + 1 m ) = 1 − α P\\bigg((\\bar X-\\bar Y)-t\_\{\\alpha/2\}(n+m-2)S\_w\\sqrt\{\\frac 1n+\\frac 1m\} \\leq\\mu\_1-\\mu\_2\\leq (\\bar X-\\bar Y)+t\_\{\\alpha/2\}(n+m-2)S\_w\\sqrt\{\\frac 1n+\\frac 1m\}\\bigg)=1-\\alpha P((Xˉ−Yˉ)−tα/2(n\+m−2)Swn1\+m1≤μ1−μ2≤(Xˉ−Yˉ)\+tα/2(n\+m−2)Swn1\+m1)=1−α置信区间为 \[ ( X ˉ − Y ˉ ) − t α / 2 ( n + m − 2 ) S w 1 n + 1 m , ( X ˉ − Y ˉ ) + t α / 2 ( n + m − 2 ) S w 1 n + 1 m \] \\Big\[(\\bar X-\\bar Y)-t\_\{\\alpha/2\}(n+m-2)S\_w\\sqrt\{\\frac 1n+\\frac 1m\},(\\bar X-\\bar Y)+t\_\{\\alpha/2\}(n+m-2)S\_w\\sqrt\{\\frac 1n+\\frac 1m\}\\Big\] \[(Xˉ−Yˉ)−tα/2(n\+m−2)Swn1\+m1,(Xˉ−Yˉ)\+tα/2(n\+m−2)Swn1\+m1\]已知  n = 10 n=10 n=10， m = 15 m=15 m=15， x ˉ = 49.83 \\bar x=49.83 xˉ=49.83， s 1 = 1.09 s\_1=1.09 s1=1.09， y ˉ = 50.24 \\bar y=50.24 yˉ=50.24， s 2 = 1.18 s\_2=1.18 s2=1.18， t 0.005 ( 23 ) = 2.8073 t\_\{0.005\}(23)=2.8073 t0.005(23)=2.8073，代入得  μ 1 − μ 2 \\mu\_1-\\mu\_2 μ1−μ2 的置信区间为  \[ − 1.72 , 0.9 \] \[-1.72,0.9\] \[−1.72,0.9\]

> **例6**：在  0.95 0.95 0.95 的置信度下，求例5中两总体方差比  σ 1 2 / σ 2 2 \\sigma\_1^2 / \\sigma\_2^2 σ12/σ22 的置信区间。
> 
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> 
> **解**：构造统计量 S 1 2 / σ 1 2 S 2 2 / σ 2 2 ∼ F ( n − 1 , m − 1 ) \\frac\{S\_1^2/\\sigma\_1^2\}\{S\_2^2/\\sigma\_2^2\}\\sim F(n-1,m-1) S22/σ22S12/σ12∼F(n−1,m−1)可得 P ( F 1 − α / 2 ( n − 1 , m − 1 ) ≤ S 1 2 / σ 1 2 S 2 2 / σ 2 2 ≤ F α / 2 ( n − 1 , m − 1 ) ) = 1 − α P\\Big(F\_\{1-\\alpha/2\}(n-1,m-1)\\leq \\frac\{S\_1^2/\\sigma\_1^2\}\{S\_2^2/\\sigma\_2^2\} \\leq F\_\{\\alpha/2\}(n-1,m-1)\\Big)=1-\\alpha P(F1−α/2(n−1,m−1)≤S22/σ22S12/σ12≤Fα/2(n−1,m−1))=1−α整理得 P ( S 1 2 S 2 2 1 F α / 2 ( n − 1 , m − 1 ) ≤ σ 1 2 σ 2 2 ≤ S 1 2 S 2 2 1 F 1 − α / 2 ( n − 1 , m − 1 ) ) = 1 − α P\\Big(\\frac\{S\_1^2\}\{S\_2^2\}\\frac 1\{F\_\{\\alpha/2\}(n-1,m-1)\} \\leq\\frac\{\\sigma\_1^2\}\{\\sigma\_2^2\}\\leq \\frac\{S\_1^2\}\{S\_2^2\}\\frac 1\{F\_\{1-\\alpha/2\}(n-1,m-1)\}\\Big)=1-\\alpha P(S22S12Fα/2(n−1,m−1)1≤σ22σ12≤S22S12F1−α/2(n−1,m−1)1)=1−α置信区间为 \[ S 1 2 S 2 2 1 F α / 2 ( n − 1 , m − 1 ) , S 1 2 S 2 2 1 F 1 − α / 2 ( n − 1 , m − 1 ) \] \\Big\[\\frac\{S\_1^2\}\{S\_2^2\}\\frac 1\{F\_\{\\alpha/2\}(n-1,m-1)\},\\frac\{S\_1^2\}\{S\_2^2\}\\frac 1\{F\_\{1-\\alpha/2\}(n-1,m-1)\}\\Big\] \[S22S12Fα/2(n−1,m−1)1,S22S12F1−α/2(n−1,m−1)1\]已知  n = 10 n=10 n=10， m = 15 m=15 m=15， s 1 2 / s 2 2 = 0.853 s\_1^2/s\_2^2=0.853 s12/s22=0.853， F 0.025 ( 9 , 14 ) = 3.21 F\_\{0.025\}(9,14)=3.21 F0.025(9,14)=3.21， F 0.975 ( 9 , 14 ) = 1 F 0.025 ( 14 , 9 ) = 1 3.77 F\_\{0.975\}(9,14)=\\frac 1\{F\_\{0.025\}(14,9)\}=\\frac 1\{3.77\} F0.975(9,14)=F0.025(14,9)1=3.771，代入得  σ 1 2 / σ 2 2 \\sigma\_1^2/\\sigma\_2^2 σ12/σ22 的置信区间为  \[ 0.27 , 3.22 \] \[0.27,3.22\] \[0.27,3.22\]

### 3.3 比率参数 ###

> **例7**：某企业生产一批芯片，随机地抽取  100 100 100 个检测，如果其中  80 80 80 个符合标准，以  p p p 记这批芯片的良品率，求  p p p 的区间估计  ( α = 0.05 ) (\\alpha=0.05) (α=0.05)
> 
> --------------------
> 
> **解**：构造统计量，在大样本下近似地有 X ˉ − p p ( 1 − p ) / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\bar X-p\}\{\\sqrt\{p(1-p)/n\}\}\\sim N(0,1) p(1−p)/nXˉ−p∼N(0,1)用  p ^ = X ˉ \\hat p=\\bar X p^=Xˉ 来估计  p p p，则近似地有：  
>  X ˉ − p X ˉ ( 1 − X ˉ ) / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\bar X-p\}\{\\sqrt\{\\bar X(1-\\bar X)/n\}\}\\sim N(0,1) Xˉ(1−Xˉ)/nXˉ−p∼N(0,1)可得 P \{ − z α / 2 ≤ X ˉ − p X ˉ ( 1 − X ˉ ) / n ≤ z α / 2 \} = 1 − α P\\bigg\\\{-z\_\{\\alpha/2\}\\leq \\frac\{\\bar X-p\}\{\\sqrt\{\\bar X(1-\\bar X)/n\}\} \\leq z\_\{\\alpha/2\}\\bigg\\\}=1-\\alpha P\{ −zα/2≤Xˉ(1−Xˉ)/nXˉ−p≤zα/2\}=1−α整理得 P \{ X ˉ − z α / 2 X ˉ ( 1 − X ˉ ) n ≤ p ≤ X ˉ + z α / 2 X ˉ ( 1 − X ˉ ) n \} = 1 − α P\\bigg\\\{\\bar X-z\_\{\\alpha/2\}\\sqrt\{\\frac\{\\bar X(1-\\bar X)\}\{n\}\} \\leq p \\leq \\bar X+z\_\{\\alpha/2\}\\sqrt\{\\frac\{\\bar X(1-\\bar X)\}\{n\}\} \\bigg\\\}=1-\\alpha P\{ Xˉ−zα/2nXˉ(1−Xˉ)≤p≤Xˉ\+zα/2nXˉ(1−Xˉ)\}=1−α置信区间为 \[ X ˉ − X ˉ ( 1 − X ˉ ) n z α / 2 , X ˉ + X ˉ ( 1 − X ˉ ) n z α / 2 \] \\Big\[\\bar X-\\sqrt\{\\frac\{\\bar X(1-\\bar X)\}\{n\}\}z\_\{\\alpha/2\},\\bar X+\\sqrt\{\\frac\{\\bar X(1-\\bar X)\}\{n\}\}z\_\{\\alpha/2\}\\Big\] \[Xˉ−nXˉ(1−Xˉ)zα/2,Xˉ\+nXˉ(1−Xˉ)zα/2\]已知  x ˉ = 80 / 100 = 0.8 \\bar x=80/100=0.8 xˉ=80/100=0.8，代入得  p p p 的置信度为  1 − α 1-\\alpha 1−α 的置信区间为  \[ 0.7216 , 0.8784 \] \[0.7216,0.8784\] \[0.7216,0.8784\]

### 3.4 单侧置信上/下限 ###

> **例8**：为估计制造某种产品单件所需的平均工作时间（单位： h h h），现制造  5 5 5 件，得所需工时如下： 10.5 ,    11 ,    11.2 ,    12.5 ,    12.8 10.5,\\;11,\\;11.2,\\;12.5,\\;12.8 10.5,11,11.2,12.5,12.8设制造单件产品所需工作时间  X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\\sim N(\\mu,\\sigma^2) X∼N(μ,σ2)。试求  μ \\mu μ 的  0.95 0.95 0.95 的单侧置信上限和标准差  σ \\sigma σ 的  0.95 0.95 0.95 的单侧置信上限。
> 
> --------------------
> 
> **解**：**（1）**  
> 由于  σ 2 \\sigma^2 σ2 未知，构造统计量 X ˉ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \\frac\{\\bar X-\\mu\}\{S/\\sqrt n\}\\sim t(n-1) S/nXˉ−μ∼t(n−1)可得 P ( t 1 − α ( n − 1 ) ≤ X ˉ − μ S / n ) = 1 − α P(t\_\{1-\\alpha\}(n-1)\\leq \\frac\{\\bar X-\\mu\}\{S/\\sqrt n\})=1-\\alpha P(t1−α(n−1)≤S/nXˉ−μ)=1−α整理得 P ( μ ≤ X ˉ + S n t α ( n − 1 ) ) = 1 − α P(\\mu \\leq \\bar X+\\frac S\{\\sqrt n\}t\_\{\\alpha\}(n-1))=1-\\alpha P(μ≤Xˉ\+nStα(n−1))=1−α由此可得  μ \\mu μ 的置信度为  1 − α 1-\\alpha 1−α 的单侧置信上限为  X ˉ + S n t α ( n − 1 ) \\bar X+\\frac S\{\\sqrt n\}t\_\{\\alpha\}(n-1) Xˉ\+nStα(n−1)通过计算可知  x ˉ = 11.6 \\bar x=11.6 xˉ=11.6， s 2 = 0.995 s^2=0.995 s2=0.995， n = 5 n=5 n=5， t 0.05 ( 4 ) = 2.1318 t\_\{0.05\}(4)=2.1318 t0.05(4)=2.1318，代入得单侧置信上限  X ˉ + S n t α ( n − 1 ) = 12.55 \\bar X+\\frac S\{\\sqrt n\}t\_\{\\alpha\}(n-1)=12.55 Xˉ\+nStα(n−1)=12.55
> 
> --------------------
> 
> **（2）**  
> 构造统计量 ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\sim \\chi^2(n-1) σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)可得 P ( χ 1 − α 2 ( n − 1 ) ≤ ( n − 1 ) S 2 σ 2 ) = 1 − α P\\Big(\\chi^2\_\{1-\\alpha\}(n-1)\\leq\\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\Big)=1-\\alpha P(χ1−α2(n−1)≤σ2(n−1)S2)=1−α整理得 P ( σ 2 ≤ ( n − 1 ) S 2 χ 1 − α 2 ( n − 1 ) ) = 1 − α P\\Big(\\sigma^2\\leq \\frac\{(n-1)S^2\}\{\\chi^2\_\{1-\\alpha\}(n-1)\}\\Big)=1-\\alpha P(σ2≤χ1−α2(n−1)(n−1)S2)=1−α通过计算可知  s 2 = 0.995 s^2=0.995 s2=0.995， n = 5 n=5 n=5， χ 0.95 2 ( 4 ) = 711 \\chi^2\_\{0.95\}(4)=711 χ0.952(4)=711，代入得  σ 2 \\sigma^2 σ2 的  0.95 0.95 0.95 的单侧置信上限为  5.598 5.598 5.598  
> 故标准差  σ = σ 2 \\sigma=\\sqrt\{\\sigma^2\} σ=σ2 的  0.95 0.95 0.95 的单侧置信上限为  5.598 = 2.366 \\sqrt\{5.598\}=2.366 5.598=2.366

[Link 1]: https://blog.csdn.net/weixin_45800258/article/details/127383581