【数理统计】学习笔记02：统计量的分布、正态总体的抽样分布定理

矫情吗；* 2023-10-09 14:47 51阅读 0赞

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#### 文章目录 ####

*  二、统计量的分布
 *   *  2.1 统计的基本原理
     *  2.2 标准正态分布  N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1)
     *  2.3  χ 2 ( n ) \\chi^2(n) χ2(n) 分布
     *  2.4  t ( n ) t(n) t(n) 分布
     *  2.5  F ( n , m ) F(n, m) F(n,m) 分布
 *  三、正态总体的抽样分布
 *   *  3.1 定理一： X ˉ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\bar\{X\}-\\mu\}\{\\sigma/\\sqrt\{n\}\}\\sim N(0, 1) σ/nXˉ−μ∼N(0,1)（ σ \\sigma σ已知）
     *   *  3.1.1  μ ⇐ X ˉ \\mu \\Leftarrow \\bar\{X\} μ⇐Xˉ 分布
         *  3.1.2  p ⇐ k / n p\\Leftarrow k/n p⇐k/n 分布
     *  3.2 定理二： ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\sim\\chi^2(n-1) σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)
     *  3.3 定理三： X ˉ − μ S / n ∼ t ( n ) \\frac\{\\bar\{X\}-\\mu\}\{S/\\sqrt\{n\}\}\\sim t(n) S/nXˉ−μ∼t(n)（ σ \\sigma σ未知）
     *  3.4 定理四： S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 , n 2 ) \\frac\{S\_1^2/S\_2^2\}\{\\sigma\_1^2/\\sigma\_2^2\}\\sim F(n\_1, n\_2) σ12/σ22S12/S22∼F(n1,n2)
     *  3.5 定理汇总

## 二、统计量的分布 ##

### 2.1 统计的基本原理 ###

**小概率事件原理：** 
若事件 A A A 发生的概率 P ( A ) ≤ α P(A) \\leq \\alpha P(A)≤α，则**统计规定** A A A 在一次抽样下不发生。我们只抽样一次，得 x ˉ n \\bar\{x\}\_n xˉn 用来估计 μ \\mu μ，于是 μ \\mu μ 的估计区间应该为： ( T 1 , T 2 ) (T\_1, T\_2) (T1,T2)（小概率事件抽不到）。即 μ \\mu μ 的估计区间应该为 X ˉ n ∼ N ( μ , σ 2 n ) \\bar\{X\}\_n \\sim N(\\mu, \\frac\{\\sigma^2\}\{n\}) Xˉn∼N(μ,nσ2) 的非小概率区间端点值 ( T 1 , T 2 ) (T\_1, T\_2) (T1,T2) 
 P ( T 1 < X ˉ n < T 2 ) = 1 − α ⟹ X ˉ n − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) P ( z 1 < X ˉ n − μ σ / n < z 2 ) = 1 − α P ( X ˉ n − z 2 σ n < μ < X ˉ n − z 1 σ n ) = 1 − α P(T\_1 < \\bar\{X\}\_n < T\_2) = 1 - \\alpha \\quad \\Longrightarrow \\quad \\frac\{\\bar\{X\}\_n - \\mu\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\} \\sim N(0, 1) \\\\ P(z\_1 < \\frac\{\\bar\{X\}\_n - \\mu\}\{\\sigma / n\} < z\_2) = 1 - \\alpha \\\\ P(\\bar\{X\}\_n - z\_2 \\frac\{\\sigma\}\{\\sqrt\{n\}\} < \\mu < \\bar\{X\}\_n - z\_1 \\frac\{\\sigma\}\{\\sqrt\{n\}\}) = 1-\\alpha P(T1<Xˉn<T2)=1−α⟹σ/nXˉn−μ∼N(0,1)P(z1<σ/nXˉn−μ<z2)=1−αP(Xˉn−z2nσ<μ<Xˉn−z1nσ)=1−α 
**分位点：** 
（小概率事件区间与非小概率事件区间的分界点 T 1 , T 2 T\_1, T\_2 T1,T2） 
 P ( X > X α ) = α P(X > X\_\\alpha) = \\alpha P(X>Xα)=α， X α X\_\\alpha Xα 称为随机变量 X X X 的上 α \\alpha α 分位点。用右尾面积的大小标注分位点的位置所在。

### 2.2 标准正态分布  N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1) ###

* **定义：** 
 φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 , − ∞ < x < + ∞ \\varphi(x) = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\}\}e^\{-\\frac\{x^2\}\{2\}\}, \\qquad -\\infty<x<+\\infty φ(x)=2π1e−2x2,−∞<x<\+∞
 * **性质：** 关于y轴对称。
 * **分位点：** （上 α \\alpha α 分位点） （以 α = 0.05 \\alpha=0.05 α=0.05 为例）
 
 * **双侧分位点：** Z 0.975 = − Z 0.025 Z\_\{0.975\}=-Z\_\{0.025\} Z0.975=−Z0.025 及 Z 0.025 Z\_\{0.025\} Z0.025
 
 * 非小概率事件区间： ( − Z 0.025 , Z 0.025 ) (-Z\_\{0.025\}, Z\_\{0.025\}) (−Z0.025,Z0.025)
 * 小概率事件区间： ( − ∞ , − Z 0.025 ) ∪ ( Z 0.025 , ∞ ) (-\\infty, -Z\_\{0.025\}) \\cup (Z\_\{0.025\}, \\infty) (−∞,−Z0.025)∪(Z0.025,∞)
 * **单侧上限分位点** （过高异常）： Z 0.05 Z\_\{0.05\} Z0.05
 
 * 非小概率事件区间： ( − ∞ , Z 0.05 ) (-\\infty, Z\_\{0.05\}) (−∞,Z0.05)
 * 小概率事件区间： ( Z 0.05 , ∞ ) (Z\_\{0.05\}, \\infty) (Z0.05,∞)
 * **单侧下限分位点** （过低异常）： Z 0.95 = − Z 0.05 Z\_\{0.95\} = -Z\_\{0.05\} Z0.95=−Z0.05
 
 * 非小概率事件区间： ( − Z 0.05 , ∞ ) (-Z\_\{0.05\}, \\infty) (−Z0.05,∞)
 * 小概率事件区间： ( − ∞ , − Z 0.05 ) (-\\infty, -Z\_\{0.05\}) (−∞,−Z0.05)

> **例1：**  
> （1）当  α = 0.05 \\alpha = 0.05 α=0.05，求  X ∼ N ( 0 , 1 ) X \\sim N(0, 1) X∼N(0,1) 双侧分位点。  
> （2）当  α = 0.01 \\alpha = 0.01 α=0.01，求  X ∼ N ( 0 , 1 ) X \\sim N(0, 1) X∼N(0,1) 单侧上限分位点。  
> （3）当  α = 0.1 \\alpha = 0.1 α=0.1，求  X ∼ N ( 0 , 1 ) X \\sim N(0, 1) X∼N(0,1) 单侧下限分位点。
> 
> --------------------
> 
> **解：**  
> （1） α = 0.05 \\alpha = 0.05 α=0.05 双侧分位点： ± Z 0.025 = ± 1.96 \\pm Z\_\{0.025\} = \\pm 1.96 ±Z0.025=±1.96  
> （2） α = 0.01 \\alpha = 0.01 α=0.01 单侧上限分位点： Z 0.01 = 2.33 Z\_\{0.01\} = 2.33 Z0.01=2.33  
> （3） α = 0.1 \\alpha = 0.1 α=0.1 单侧下限分位点：  Z 0.9 = − Z 0.1 = − 1.28 Z\_\{0.9\} = -Z\_\{0.1\} = -1.28 Z0.9=−Z0.1=−1.28

> **一个相关的结论（只需了解）**
> 
> 1.   X ∼ N ( 0 , 1 ) ,    Y = X 2 X \\sim N(0, 1), \\; Y = X^2 X∼N(0,1),Y=X2，称  X ∼ χ 2 ( 1 ) X \\sim \\chi^2(1) X∼χ2(1) 分布，密度函数为：  
>      f Y ( y ) = \{ 1 2 π y − 1 2 e − y 2 ,      y > 0 0 , y ≤ 0 = \{ 1 2 1 2 Γ ( 1 2 ) y 1 2 − 1 e − y 2 ,      y > 0 0 ,      y ≤ 0 f\_Y(y) = \\begin\{cases\}\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\}\}y^\{-\\frac 12\}e^\{-\\frac y2\}, \\; \\;y > 0 \\\\ 0, \\qquad \\qquad \\quad y \\leq 0 \\end\{cases\} = \\begin\{cases\}\\frac 1\{2^\{\\frac12\}\\Gamma(\\frac 12)\}y^\{\\frac 12 -1\}e^\{- \\frac y2\}, \\; \\; y > 0 \\\\ 0, \\qquad \\qquad \\qquad \\; \\; y \\le 0\\end\{cases\} fY(y)=\{ 2π1y−21e−2y,y>00,y≤0=⎩⎨⎧221Γ(21)1y21−1e−2y,y>00,y≤0
> 2.   X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n X1,X2,⋯,Xn 相互独立，且所有  X i ∼ N ( 0 , 1 ) X\_i \\sim N(0, 1) Xi∼N(0,1)  
>     则  Z = X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X n 2 ∼ χ 2 ( n ) Z = X\_1^2 + X\_2^2 + \\cdots + X\_n^2 \\sim \\chi^2(n) Z=X12\+X22\+⋯\+Xn2∼χ2(n)  
>      f Z ( z ) = \{ 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) z n 2 − 1 e − z 2 ,      z > 0 0 ,       z ≤ 0 f\_Z(z) = \\begin\{cases\}\\frac 1\{2^\{\\frac n2\}\\Gamma(\\frac n2)\}z^\{\\frac n2 -1\}e^\{- \\frac z2\}, \\; \\; z > 0 \\\\ 0, \\qquad \\qquad \\qquad \\; \\ \\; z \\le 0\\end\{cases\} fZ(z)=\{ 22nΓ(2n)1z2n−1e−2z,z>00,z≤0  χ 2 ( n ) \\chi^2(n) χ2(n) 具有可加性。

### 2.3  χ 2 ( n ) \\chi^2(n) χ2(n) 分布 ###

*  **定义：**
    
     *   X ∼ N ( 0 , 1 ) X \\sim N(0, 1) X∼N(0,1) 则称  X 2 ∼ χ 2 ( 1 ) X^2 \\sim \\chi^2 (1) X2∼χ2(1) 自由度为1的卡方分布。
     *   X 1 , ⋯   , X n X\_1, \\cdots, X\_n X1,⋯,Xn 相互独立，  X i ∼ N ( 0 , 1 ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n X\_i \\sim N(0, 1), \\quad i=1, 2, \\cdots, n Xi∼N(0,1),i=1,2,⋯,n，则：  
         ∑ i = 1 n X i 2 = χ 2 ( n ) \\sum\_\{i = 1\}^nX\_i^2 = \\chi^2(n) i=1∑nXi2=χ2(n)
 *  **性质：**
    
     *   χ 2 ( n ) \\chi^2(n) χ2(n) 与  χ 2 ( m ) \\chi^2(m) χ2(m) 相互独立，则  χ 2 ( n ) + χ 2 ( m ) ∼ χ 2 ( n + m ) \\chi^2(n)+\\chi^2(m) \\sim \\chi^2(n+m) χ2(n)\+χ2(m)∼χ2(n\+m)
     *  若  X ∼ χ 2 ( n ) X \\sim \\chi^2(n) X∼χ2(n)，则  E \{ χ 2 ( n ) \} = n , D \{ χ 2 ( n ) \} = 2 n E\\\{ \\chi^2(n) \\\} = n, \\quad D\\\{ \\chi^2(n) \\\}=2n E\{ χ2(n)\}=n,D\{ χ2(n)\}=2n
 *  **分位点：** （以  α = 0.05 \\alpha=0.05 α=0.05 为例）
    
     *  **双侧分位点：**  χ 0.975 2 ( n ) , χ 0.025 2 ( n ) \\chi^2\_\{0.975\}(n), \\quad \\chi^2\_\{0.025\}(n) χ0.9752(n),χ0.0252(n)
        
         *  非小概率事件区间： \{ χ 0.975 2 ( n ) , χ 0.025 2 ( n ) \} \\\{ \\chi^2\_\{0.975\}(n), \\chi^2\_\{0.025\}(n) \\\} \{ χ0.9752(n),χ0.0252(n)\}
         *  小概率事件区间： \{ 0 , χ 0.975 2 ( n ) \} ∪ \{ χ 0.025 2 ( n ) , + ∞ \} \\\{ 0, \\chi^2\_\{0.975\}(n) \\\} \\cup \\\{ \\chi^2\_\{0.025\}(n), +\\infty \\\} \{ 0,χ0.9752(n)\}∪\{ χ0.0252(n),\+∞\}
     *  **单侧上限分位点** （过高异常）： χ 0.05 2 ( n ) \\chi^2\_\{0.05\}(n) χ0.052(n)
        
         *  非小概率事件区间： \{ 0 , χ 0.05 2 ( n ) \} \\\{ 0, \\chi^2\_\{0.05\}(n) \\\} \{ 0,χ0.052(n)\}
         *  小概率事件区间： \{ χ 0.05 2 ( n ) , + ∞ \} \\\{ \\chi^2\_\{0.05\}(n), +\\infty \\\} \{ χ0.052(n),\+∞\}
     *  **单侧下限分位点** （过低异常）： χ 0.95 2 ( n ) \\chi^2\_\{0.95\}(n) χ0.952(n)
        
         *  非小概率事件区间： \{ χ 0.95 2 ( n ) , + ∞ \} \\\{ \\chi^2\_\{0.95\}(n), +\\infty \\\} \{ χ0.952(n),\+∞\}
         *  小概率事件区间： \{ 0 , χ 0.95 2 ( n ) \} \\\{ 0, \\chi^2\_\{0.95\}(n) \\\} \{ 0,χ0.952(n)\}

> **例2：**  
> （1）当  α = 0.01 \\alpha=0.01 α=0.01，求  X ∼ χ 2 ( 15 ) X \\sim \\chi^2(15) X∼χ2(15) 双侧分位点。  
> （2）当  α = 0.05 \\alpha=0.05 α=0.05，求  X ∼ χ 2 ( 18 ) X \\sim \\chi^2(18) X∼χ2(18) 单侧下限分位点。  
> （3）当  α = 0.025 \\alpha=0.025 α=0.025，求  X ∼ χ 2 ( 28 ) X \\sim \\chi^2(28) X∼χ2(28) 单侧上限分位点。
> 
> --------------------
> 
> **解：**  
> （1）当  α = 0.01 \\alpha=0.01 α=0.01， χ 0.995 2 ( 15 ) = 4.601 , χ 0.005 2 ( 15 ) = 32.801 \\chi^2\_\{0.995\}(15)=4.601, \\quad \\chi^2\_\{0.005\}(15)=32.801 χ0.9952(15)=4.601,χ0.0052(15)=32.801  
> （2）当  α = 0.05 \\alpha=0.05 α=0.05， χ 0.95 2 ( 18 ) = 9.390 \\chi^2\_\{0.95\}(18)=9.390 χ0.952(18)=9.390  
> （3）当  α = 0.025 \\alpha=0.025 α=0.025， χ 0.025 2 ( 28 ) = 44.461 \\chi^2\_\{0.025\}(28)=44.461 χ0.0252(28)=44.461

> **例3：**  
>  X 1 , ⋯   , X n X\_1, \\cdots, X\_n X1,⋯,Xn 相互独立， X i ∼ N ( μ , σ 2 ) ,    i = 1 , 2 , ⋯   , n X\_i \\sim N(\\mu, \\sigma^2), \\; i=1, 2, \\cdots, n Xi∼N(μ,σ2),i=1,2,⋯,n， Y = ∑ i = 1 n ( X i − μ σ ) 2 Y = \\sum\_\{i=1\}^n(\\frac\{X\_i - \\mu\}\{\\sigma\})^2 Y=∑i=1n(σXi−μ)2，求  Y Y Y 的分布。
> 
> --------------------
> 
> **解：**  
>  X i ∼ N ( μ , σ 2 ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n X\_i \\sim N(\\mu, \\sigma^2), \\quad i=1, 2, \\cdots, n Xi∼N(μ,σ2),i=1,2,⋯,n令  
>  Y i = X i − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n ⇒ Y i 2 = ( X i − μ σ ) 2 ∼ χ 2 ( 1 ) ; ⇒ Y = ∑ i = 1 n Y i 2 = ∑ i = 1 n ( X i − μ σ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \\begin\{aligned\}&Y\_i = \\frac\{X\_i-\\mu\}\{\\sigma\} \\sim N(0, 1), \\qquad i=1, 2, \\cdots, n \\\\ \\Rightarrow &Y\_i^2=(\\frac\{X\_i - \\mu\}\{\\sigma\})^2 \\sim \\chi^2(1); \\\\ \\Rightarrow &Y = \\sum\_\{i=1\}^nY\_i^2=\\sum\_\{i=1\}^n(\\frac\{X\_i-\\mu\}\{\\sigma\})^2 \\sim \\chi^2(n)\\end\{aligned\} ⇒⇒Yi=σXi−μ∼N(0,1),i=1,2,⋯,nYi2=(σXi−μ)2∼χ2(1);Y=i=1∑nYi2=i=1∑n(σXi−μ)2∼χ2(n)

### 2.4  t ( n ) t(n) t(n) 分布 ###

*  **定义：**  
     X ∼ N ( 0 , 1 ) X \\sim N(0, 1) X∼N(0,1)， Y ∼ χ 2 ( n ) Y \\sim \\chi^2(n) Y∼χ2(n)， X X X 与  Y Y Y 独立，则称  
     t = X Y / n t = \\frac\{X\}\{\\sqrt\{Y / n\}\} t=Y/nX服从自由度为  n n n 的  t t t分布，记为  t ∼ t ( n ) t \\sim t(n) t∼t(n)。
 *  **性质：**
    
     *  关于Y轴对称。
     *  当  n → ∞ n \\rightarrow \\infty n→∞ 时， t ( n ) = N ( 0 , 1 ) t(n) = N(0, 1) t(n)=N(0,1)（ n > 45 n>45 n>45 时基本相同）
 *  **分位点：** （以  α = 0.05 \\alpha=0.05 α=0.05 为例）
    
     *  **双侧分位点：**  t 0.975 ( n ) = − t 0.025 t\_\{0.975\}(n)=-t\_\{0.025\} t0.975(n)=−t0.025 和  t 0.025 ( n ) t\_\{0.025\}(n) t0.025(n)
        
         *  非小概率事件区间： \{ − t 0.025 ( n ) , t 0.025 ( n ) \} \\\{ -t\_\{0.025\}(n), t\_\{0.025\}(n) \\\} \{ −t0.025(n),t0.025(n)\}
         *  小概率事件区间： \{ − ∞ , − t 0.025 ( n ) \} ∪ \{ t 0.025 ( n ) , + ∞ \} \\\{ -\\infty, -t\_\{0.025\}(n) \\\} \\cup \\\{ t\_\{0.025\}(n), +\\infty \\\} \{ −∞,−t0.025(n)\}∪\{ t0.025(n),\+∞\}
     *  **单侧上限分位点** （过高异常）： t 0.05 ( n ) t\_\{0.05\}(n) t0.05(n)
        
         *  非小概率事件区间： \{ − ∞ , t 0.05 ( n ) \} \\\{ -\\infty, t\_\{0.05\}(n) \\\} \{ −∞,t0.05(n)\}
         *  小概率事件区间： \{ t 0.05 ( n ) , + ∞ \} \\\{ t\_\{0.05\}(n), +\\infty \\\} \{ t0.05(n),\+∞\}
     *  **单侧下限分位点** （过低异常）： t 0.95 ( n ) = − t 0.05 ( n ) t\_\{0.95\}(n) = -t\_\{0.05\}(n) t0.95(n)=−t0.05(n)
        
         *  非小概率事件区间： \{ − t 0.05 ( n ) , + ∞ \} \\\{ -t\_\{0.05\}(n), +\\infty \\\} \{ −t0.05(n),\+∞\}
         *  小概率事件区间： \{ − ∞ , − t 0.05 ( n ) \} \\\{ -\\infty, -t\_\{0.05\}(n) \\\} \{ −∞,−t0.05(n)\}

> **例4：**  
> （1）当  α = 0.05 \\alpha=0.05 α=0.05，求  t ∼ t ( 17 ) t \\sim t(17) t∼t(17) 双侧分位点。  
> （2）当  α = 0.01 \\alpha=0.01 α=0.01，求  t ∼ t ( 12 ) t \\sim t(12) t∼t(12) 单侧上限分位点。  
> （3）当  α = 0.1 \\alpha=0.1 α=0.1，求  t ∼ t ( 29 ) t \\sim t(29) t∼t(29) 单侧下限分位点。
> 
> --------------------
> 
> **解：**  
> （1）当  α = 0.05 \\alpha=0.05 α=0.05 时， t ∼ t ( 17 ) t \\sim t(17) t∼t(17) 的双侧分位点为  ± t 0.025 ( 17 ) = ± 2.1098 \\pm t\_\{0.025\}(17) = \\pm 2.1098 ±t0.025(17)=±2.1098  
> （2）当  α = 0.01 \\alpha=0.01 α=0.01 时， t ∼ t ( 12 ) t \\sim t(12) t∼t(12) 的单侧上限分位点为  t 0.01 ( 12 ) = 2.6810 t\_\{0.01\}(12) = 2.6810 t0.01(12)=2.6810  
> （3）当  α = 0.1 \\alpha=0.1 α=0.1 时， t ∼ t ( 29 ) t \\sim t(29) t∼t(29) 的单侧下限分位点为  t 0.9 ( 29 ) = − t 0.1 ( 29 ) = − 1.3114 t\_\{0.9\} (29)= -t\_\{0.1\}(29) = -1.3114 t0.9(29)=−t0.1(29)=−1.3114

> **例5：**  
>  X , Y , Z X, Y, Z X,Y,Z 相互独立，均服从  N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1) 分布，则：  
>  X 2 + Y 2 + Z 2 ∼ χ 2 ( 3 ) X^2+Y^2+Z^2 \\sim \\chi^2(3) X2\+Y2\+Z2∼χ2(3)  X X 2 + Y 2 2 ∼ t ( 2 ) \\frac\{X\}\{\\sqrt\{\\frac\{X^2 + Y^2\}\{2\}\}\} \\sim t(2) 2X2\+Y2X∼t(2)

### 2.5  F ( n , m ) F(n, m) F(n,m) 分布 ###

*  **定义：**  
     U ∼ χ 2 ( n 1 ) U \\sim \\chi^2(n\_1) U∼χ2(n1)， V ∼ χ 2 ( n 2 ) V \\sim \\chi^2(n\_2) V∼χ2(n2)， U U U 与  V V V 独立，则称：  
     F = U / n 1 V / n 2 F=\\frac\{U / n\_1\}\{V / n\_2\} F=V/n2U/n1服从自由度为  ( n 1 , n 2 ) (n\_1, n\_2) (n1,n2) 的  F F F分布，记为  F ( n 1 , n 2 ) F(n\_1, n\_2) F(n1,n2)。
 *  **性质：**
    
     *  若  X ∼ F ( n 1 , n 2 ) X \\sim F(n\_1, n\_2) X∼F(n1,n2)，则  1 X ∼ F ( n 2 , n 1 ) \\frac1\{X\} \\sim F(n\_2, n\_1) X1∼F(n2,n1)
     *   F 1 − α ( n 1 , n 2 ) = 1 F α ( n 2 , n 1 ) F\_\{1-\\alpha\}(n\_1, n\_2) = \\frac\{1\}\{F\_\{\\alpha\}(n\_2, n\_1)\} F1−α(n1,n2)=Fα(n2,n1)1
     *  若  t ∼ t ( n ) t \\sim t(n) t∼t(n)，则  t 2 = ( X Y / n ) 2 = X 2 / 1 Y / n ∼ F ( 1 , n ) t^2 = (\\frac\{X\}\{\\sqrt\{Y / n\}\})^2 = \\frac\{X^2 / 1\}\{Y / n\} \\sim F(1, n) t2=(Y/nX)2=Y/nX2/1∼F(1,n)
 *  **分位点：** （以  α = 0.05 \\alpha=0.05 α=0.05 为例）
    
     *  **双侧分位点：**  F 0.975 ( n , m ) = 1 F 0.025 ( m , n ) F\_\{0.975\}(n, m) = \\frac\{1\}\{F\_\{0.025\}(m, n)\} F0.975(n,m)=F0.025(m,n)1 及  F 0.025 ( n , m ) F\_\{0.025\}(n, m) F0.025(n,m)
        
         *  非小概率事件区间： \{ 1 F 0.025 ( m , n ) , F 0.025 ( n , m ) \} \\\{ \\frac 1\{F\_\{0.025\}(m, n)\}, F\_\{0.025\}(n, m) \\\} \{ F0.025(m,n)1,F0.025(n,m)\}
         *  小概率事件区间： \{ 0 , 1 F 0.025 ( m , n ) \} ∪ \{ F 0.025 ( n , m ) , + ∞ \} \\\{ 0, \\frac\{1\}\{F\_\{0.025\}(m, n)\} \\\} \\cup \\\{ F\_\{0.025\}(n, m), +\\infty \\\} \{ 0,F0.025(m,n)1\}∪\{ F0.025(n,m),\+∞\}
     *  **单侧上限分位点** （过高异常）： F 0.05 ( n , m ) F\_\{0.05\}(n, m) F0.05(n,m)
        
         *  非小概率事件区间： \{ 0 , F 0.05 ( n , m ) \} \\\{ 0, F\_\{0.05\}(n, m) \\\} \{ 0,F0.05(n,m)\}
         *  小概率事件区间： \{ F 0.05 ( n , m ) , + ∞ \} \\\{ F\_\{0.05\}(n, m), +\\infty \\\} \{ F0.05(n,m),\+∞\}
     *  **单侧下限分位点** （过低异常）： F 0.95 ( n , m ) = 1 F 0.05 ( m , n ) F\_\{0.95\}(n, m) = \\frac 1\{F\_\{0.05\}(m, n)\} F0.95(n,m)=F0.05(m,n)1
        
         *  非小概率事件区间： \{ 1 F 0.05 ( m , n ) , + ∞ \} \\\{ \\frac 1\{F\_\{0.05\}(m, n)\}, +\\infty \\\} \{ F0.05(m,n)1,\+∞\}
         *  小概率事件区间： \{ 0 , 1 F 0.05 ( m , n ) \} \\\{ 0, \\frac 1\{F\_\{0.05\}(m, n)\} \\\} \{ 0,F0.05(m,n)1\}

> **例6：**  
> （1）当  α = 0.05 \\alpha = 0.05 α=0.05，求  X ∼ F ( 9 , 15 ) X \\sim F(9, 15) X∼F(9,15) 双侧分位点。  
> （2）当  α = 0.001 \\alpha = 0.001 α=0.001，求  X ∼ F ( 13 , 11 ) X \\sim F(13, 11) X∼F(13,11) 单侧下限分位点。  
> （3）当  α = 0.025 \\alpha = 0.025 α=0.025，求  X ∼ F ( 25 , 17 ) X \\sim F(25, 17) X∼F(25,17) 单侧上限分位点。
> 
> --------------------
> 
> **解：**  
> （1）当  α = 0.05 \\alpha = 0.05 α=0.05， X ∼ F ( 9 , 15 ) X \\sim F(9, 15) X∼F(9,15)时，双侧分位点为：  
>  F 0.975 ( 9 , 15 ) = 1 F 0.025 ( 15 , 9 ) = 1 3.77 F 0.025 ( 9 , 15 ) = 3.12 \\begin\{aligned\} &F\_\{0.975\}(9, 15) = \\frac 1\{F\_\{0.025\}(15, 9)\} = \\frac 1\{3.77\} \\\\ &F\_\{0.025\}(9, 15) = 3.12 \\end\{aligned\} F0.975(9,15)=F0.025(15,9)1=3.771F0.025(9,15)=3.12（2）当  α = 0.001 \\alpha = 0.001 α=0.001， X ∼ F ( 13 , 11 ) X \\sim F(13, 11) X∼F(13,11) 单侧下限分位点为：  
>  F 0.99 ( 13 , 11 ) = 1 F 0.01 ( 11 , 13 ) = 2 4.1 + 3.96 F\_\{0.99\}(13, 11) = \\frac 1\{F\_\{0.01\}(11, 13)\} = \\frac 2\{4.1 + 3.96\} F0.99(13,11)=F0.01(11,13)1=4.1\+3.962（3）当  α = 0.025 \\alpha = 0.025 α=0.025， X ∼ F ( 25 , 17 ) X \\sim F(25, 17) X∼F(25,17) 单侧上限分位点为：  
>  F 0.025 ( 25 , 17 ) = 2.56 F\_\{0.025\}(25, 17) = 2.56 F0.025(25,17)=2.56

> **例7：**  
> 总体  X ∼ N ( 0 , 1 ) X \\sim N(0, 1) X∼N(0,1)， X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n X1,X2,⋯,Xn 是样本，下列统计量各服从什么分布？  
> （1） X 1 2 + X 2 2 X\_1^2 + X\_2^2 \\quad X12\+X22（2） X 1 − X 2 X 3 2 + X 4 2 \\frac\{X\_1-X\_2\}\{\\sqrt\{X\_3^2+X\_4^2\}\} \\quad X32\+X42X1−X2（3） X 2 ∣ X 6 ∣ \\frac\{X\_2\}\{|X\_6|\} \\quad ∣X6∣X2（4） ( n 3 − 1 ) ∑ i = 1 3 X i 2 ∑ i = 4 n X i 2 \\frac\{(\\frac n3 - 1)\\sum\_\{i=1\}^3X\_i^2\}\{\\sum\_\{i=4\}^nX\_i^2\} ∑i=4nXi2(3n−1)∑i=13Xi2
> 
> --------------------
> 
> **解：**  
> （1） X 1 2 + X 2 2 ∼ χ 2 ( 2 ) X\_1^2 + X\_2^2 \\sim \\chi^2(2) X12\+X22∼χ2(2)  
> （2） X 1 − X 2 ∼ N ( 0 , 2 ) X 1 − X 2 2 ∼ N ( 0 , 1 ) X 3 2 + X 4 2 ∼ χ 2 ( 2 ) \\begin\{aligned\}X\_1-X\_2 &\\sim N(0, 2) \\\\ \\qquad \\frac\{X\_1-X\_2\}\{\\sqrt\{2\}\} &\\sim N(0, 1) \\\\ X\_3^2+X\_4^2 &\\sim \\chi^2(2) \\end\{aligned\} X1−X22X1−X2X32\+X42∼N(0,2)∼N(0,1)∼χ2(2)  X 1 , ⋯   , X n \\qquad X\_1, \\cdots, X\_n X1,⋯,Xn 相互独立，则：  
>  X 1 − X 2 X 3 2 + X 4 2 = X 1 − X 2 2 X 3 2 + X 4 2 2 ∼ t ( 2 ) \\frac\{X\_1-X\_2\}\{\\sqrt\{X\_3^2+X\_4^2\}\}=\\frac\{\\frac\{X\_1-X\_2\}\{\\sqrt 2\}\}\{\\sqrt\{\\frac\{X\_3^2+X\_4^2\}\{2\}\}\} \\sim t(2) X32\+X42X1−X2=2X32\+X422X1−X2∼t(2)  
> （3） X 2 ∼ N ( 0 , 1 ) X 6 2 ∼ χ 2 ( 1 ) X\_2 \\sim N(0, 1) \\qquad X\_6^2 \\sim \\chi^2(1) X2∼N(0,1)X62∼χ2(1) X 2 ∣ X 6 ∣ = X 2 X 6 2 1 ∼ t ( 1 ) \\frac\{X\_2\}\{|X\_6|\} = \\frac\{X\_2\}\{\\sqrt \\frac \{X\_6^2\}1\} \\sim t(1) ∣X6∣X2=1X62X2∼t(1)  
> （4） ∑ i = 1 3 X i 2 ∼ χ 2 ( 3 ) , ∑ i = 4 n X i 2 ∼ χ 2 ( n − 3 ) \\sum\_\{i=1\}^3X\_i^2 \\sim \\chi^2(3), \\qquad \\sum\_\{i=4\}^nX\_i^2 \\sim \\chi^2(n-3) i=1∑3Xi2∼χ2(3),i=4∑nXi2∼χ2(n−3)  ( n 3 − 1 ) ∑ i = 1 3 X i 2 ∑ i = 4 n X i 2 = ∑ i = 1 3 X i 2 3 ∑ i = 4 n X i 2 n − 3 ∼ F ( 3 , n − 3 ) \\begin\{aligned\} \\frac\{(\\frac n3 - 1)\\sum\_\{i=1\}^3X\_i^2\}\{\\sum\_\{i=4\}^nX\_i^2\} = \\frac\{\\frac\{\\sum\_\{i=1\}^3X\_i^2\}\{3\}\}\{\\frac\{\\sum\_\{i=4\}^nX\_i^2\}\{n-3\}\} \\sim F(3, n-3) \\end\{aligned\} ∑i=4nXi2(3n−1)∑i=13Xi2=n−3∑i=4nXi23∑i=13Xi2∼F(3,n−3)

## 三、正态总体的抽样分布 ##

### 3.1 定理一： X ˉ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\bar\{X\}-\\mu\}\{\\sigma/\\sqrt\{n\}\}\\sim N(0, 1) σ/nXˉ−μ∼N(0,1)（ σ \\sigma σ已知） ###

#### 3.1.1  μ ⇐ X ˉ \\mu \\Leftarrow \\bar\{X\} μ⇐Xˉ 分布 ####

总体  X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\\sim N(\\mu, \\sigma^2) X∼N(μ,σ2)， X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n X1,X2,⋯,Xn 为样本，构造样本均数  X ˉ n = 1 n ∑ i = 1 n X i \\bar\{X\}\_n=\\frac 1n\\sum\_\{i=1\}^nX\_i Xˉn=n1∑i=1nXi，则：  
 X ˉ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) （ σ 已知） \\frac\{\\bar\{X\}-\\mu\}\{\\sigma/\\sqrt\{n\}\}\\sim N(0, 1) \\qquad \{\\text\{（\}\}\\sigma \{\\text\{已知）\}\} σ/nXˉ−μ∼N(0,1)（σ已知）

> **证明：**  
>  X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\\sim N(\\mu, \\sigma^2) X∼N(μ,σ2)， X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n X1,X2,⋯,Xn 相互独立，由正态分布的可加性有：  
>  ∑ i = 1 n X i ∼ N ( n μ , n σ 2 ) ⟹ 1 n ∑ i = 1 n X i ∼ N ( μ , σ 2 n ) ⟹ X ˉ n − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\sum\_\{i=1\}^nX\_i\\sim N(n\\mu,n\\sigma^2) \\qquad \\Longrightarrow \\qquad \\frac 1n \\sum\_\{i=1\}^nX\_i\\sim N(\\mu, \\frac\{\\sigma^2\}n) \\qquad \\Longrightarrow \\qquad \\frac\{\\bar\{X\}\_n-\\mu\}\{\\sigma/\\sqrt\{n\}\}\\sim N(0, 1) i=1∑nXi∼N(nμ,nσ2)⟹n1i=1∑nXi∼N(μ,nσ2)⟹σ/nXˉn−μ∼N(0,1)

#### 3.1.2  p ⇐ k / n p\\Leftarrow k/n p⇐k/n 分布 ####

总体  X ∼ B ( 1 , p ) X\\sim B(1, p) X∼B(1,p)， X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n X1,X2,⋯,Xn 为样本，构造样本均数  X ˉ n = 1 n ∑ i = 1 n X i = k n \\bar\{X\}\_n=\\frac 1n \\sum\_\{i=1\}^nX\_i=\\frac kn Xˉn=n1∑i=1nXi=nk  
 ⇒ k / n − p p ( 1 − p ) / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\Rightarrow \\frac\{k/n - p\}\{\\sqrt\{p(1-p)/n\}\}\\sim N(0, 1) ⇒p(1−p)/nk/n−p∼N(0,1)

> **证明：**  
>  X ∼ B ( 1 , p ) X\\sim B(1, p) X∼B(1,p)， X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n X1,X2,⋯,Xn 相互独立，由中心极限定理得：  
>  ∑ i = 1 n X i ∼ N \{ n p , n p ( 1 − p ) \} ⇒ 1 n ∑ i = 1 n X i = k n ∼ N ( p , p ( 1 − p ) n ) ⇒ k / n − p p ( 1 − p ) / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\sum\_\{i=1\}^nX\_i\\sim N\\\{np, np(1-p)\\\} \\\\ \\begin\{aligned\}&\\Rightarrow \\frac 1n \\sum\_\{i=1\}^nX\_i=\\frac kn \\sim N(p, \\frac\{p(1-p)\}\{n\}) \\\\ &\\Rightarrow \\frac\{k/n-p\}\{\\sqrt\{p(1-p)/n\}\}\\sim N(0, 1)\\end\{aligned\} i=1∑nXi∼N\{ np,np(1−p)\}⇒n1i=1∑nXi=nk∼N(p,np(1−p))⇒p(1−p)/nk/n−p∼N(0,1)

### 3.2 定理二： ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\sim\\chi^2(n-1) σ2(n−1)S2∼χ2(n−1) ###

**σ 2 ⇐ S 2 \\sigma^2\\Leftarrow S^2 σ2⇐S2 分布**

总体  X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\\sim N(\\mu, \\sigma^2) X∼N(μ,σ2)， X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n X1,X2,⋯,Xn 为样本，构造样本均数  X ˉ n = 1 n ∑ i = 1 n X i \\bar\{X\}\_n=\\frac 1n \\sum\_\{i=1\}^nX\_i Xˉn=n1∑i=1nXi，样本方差  S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 S^2=\\frac 1\{n-1\}\\sum\_\{i=1\}^n(X\_i-\\bar\{X\}\_n)^2 S2=n−11∑i=1n(Xi−Xˉn)2，则有：  
（1） X ˉ \\bar\{X\} Xˉ 与  S 2 S^2 S2 独立；  
（2） ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\sim \\chi^2(n-1) σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)

### 3.3 定理三： X ˉ − μ S / n ∼ t ( n ) \\frac\{\\bar\{X\}-\\mu\}\{S/\\sqrt\{n\}\}\\sim t(n) S/nXˉ−μ∼t(n)（ σ \\sigma σ未知） ###

**μ ⇐ X ˉ \\mu \\Leftarrow \\bar\{X\} μ⇐Xˉ分布**

总体  X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\\sim N(\\mu, \\sigma^2) X∼N(μ,σ2)， X 1 ， X 2 ， ⋯   , X n X\_1， X\_2， \\cdots, X\_n X1，X2，⋯,Xn 为样本，构造样本均数  X ˉ n = 1 n ∑ i = 1 n X i \\bar\{X\}\_n = \\frac 1n\\sum\_\{i=1\}^nX\_i Xˉn=n1∑i=1nXi，样本方差  S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 S^2=\\frac 1\{n-1\}\\sum\_\{i=1\}^n(X\_i-\\bar\{X\}\_n)^2 S2=n−11∑i=1n(Xi−Xˉn)2，则有：  
 t = X ˉ n − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) t=\\frac\{\\bar\{X\}\_n-\\mu\}\{S/\\sqrt\{n\}\}\\sim t(n-1) t=S/nXˉn−μ∼t(n−1)

> **证明：**  
>  X ∼ N ( 0 , 1 ) Y ∼ χ 2 ( n ) X 与 Y 独立 \} ⟹ X Y n ∼ t ( n ) \\begin\{aligned\}&X\\sim N(0, 1) \\\\ &Y\\sim \\chi^2(n) \\\\ &X\\text\{与\}Y\\text\{独立\} \\end\{aligned\}\\Bigg\\\} \\qquad \\Longrightarrow \\qquad \\frac X\{\\sqrt\{\\frac Yn\}\} \\sim t(n) X∼N(0,1)Y∼χ2(n)X与Y独立\}⟹nYX∼t(n) 总体  X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\\sim N(\\mu, \\sigma^2) X∼N(μ,σ2)， X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n X1,X2,⋯,Xn 为样本，样本均数  X ˉ n = 1 n ∑ i = 1 n X i \\bar\{X\}\_n=\\frac 1n \\sum\_\{i=1\}^nX\_i Xˉn=n1∑i=1nXi  
>  X ˉ n ∼ N ( μ , σ 2 n ) ⟹ X ˉ n − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\bar\{X\}\_n \\sim N(\\mu, \\frac\{\\sigma^2\}n) \\qquad \\Longrightarrow \\qquad \\frac\{\\bar\{X\}\_n-\\mu\}\{\\sigma/\\sqrt\{n\}\} \\sim N(0, 1) Xˉn∼N(μ,nσ2)⟹σ/nXˉn−μ∼N(0,1)  ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\sim \\chi^2(n-1) σ2(n−1)S2∼χ2(n−1) 且  X ˉ \\bar\{X\} Xˉ 与  S 2 S^2 S2 相互独立，则：  
>  t = X ˉ n − μ σ / n ( n − 1 ) S 2 σ 2 1 n − 1 = X ˉ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) t=\\frac\{\\frac\{\\bar\{X\}\_n-\\mu\}\{\\sigma / \\sqrt n\}\}\{\\sqrt\{\\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\frac 1\{n-1\}\}\} =\\frac\{\\bar\{X\}-\\mu\}\{S/\\sqrt\{n\}\}\\sim t(n-1) t=σ2(n−1)S2n−11σ/nXˉn−μ=S/nXˉ−μ∼t(n−1)

### 3.4 定理四： S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 , n 2 ) \\frac\{S\_1^2/S\_2^2\}\{\\sigma\_1^2/\\sigma\_2^2\}\\sim F(n\_1, n\_2) σ12/σ22S12/S22∼F(n1,n2) ###

μ 1 − μ 2 ⇐ X ˉ − Y ˉ \\mu\_1-\\mu\_2 \\Leftarrow \\bar\{X\}-\\bar\{Y\} μ1−μ2⇐Xˉ−Yˉ**分布；** σ 1 2 / σ 2 2 ⇐ S 1 2 / S 2 2 \\sigma\_1^2/\\sigma\_2^2\\Leftarrow S\_1^2/S\_2^2 σ12/σ22⇐S12/S22**分布**

总体  X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) X\\sim N(\\mu\_1, \\sigma\_1^2) X∼N(μ1,σ12)，样本  X 1 , X 2 , ⋯   , X n X\_1, X\_2, \\cdots, X\_n X1,X2,⋯,Xn，样本均数  X ˉ n \\bar\{X\}\_n Xˉn，样本方差  S 1 2 S\_1^2 S12  
总体  Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) Y\\sim N(\\mu\_2, \\sigma\_2^2) Y∼N(μ2,σ22)，样本  Y 1 , Y 2 , ⋯   , Y m Y\_1, Y\_2, \\cdots, Y\_m Y1,Y2,⋯,Ym，样本均数  Y ˉ m \\bar\{Y\}\_m Yˉm，样本方差  S 2 2 S\_2^2 S22  
且  X X X 与  Y Y Y 独立，则有：  
（1） ( X ˉ n − Y ˉ m ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 / n + σ 2 2 / m ∼ N ( 0 , 1 ) （ σ 1 2 , σ 2 2 已知） \\frac\{(\\bar\{X\}\_n-\\bar\{Y\}\_m)-(\\mu\_1-\\mu\_2)\}\{\\sqrt\{\\sigma\_1^2/n + \\sigma\_2^2/m\}\}\\sim N(0, 1) \\qquad \\text\{（\} \\sigma\_1^2, \\sigma\_2^2 \\text\{已知）\} σ12/n\+σ22/m(Xˉn−Yˉm)−(μ1−μ2)∼N(0,1)（σ12,σ22已知）（2） ( X ˉ n − Y ˉ m ) − ( μ 1 − μ 2 ) S w 1 n + 1 m ∼ t ( n + m − 2 ) （ σ 1 2 = σ 2 2 未知） \\frac\{(\\bar\{X\}\_n-\\bar\{Y\}\_m)-(\\mu\_1-\\mu\_2)\}\{S\_w\\sqrt\{\\frac 1n+\\frac 1m\}\} \\sim t(n+m-2) \\qquad \\text\{（\} \\sigma\_1^2 = \\sigma\_2^2 \\text\{未知）\} Swn1\+m1(Xˉn−Yˉm)−(μ1−μ2)∼t(n\+m−2)（σ12=σ22未知）  ⟨ S w 2 = ( n − 1 ) S 1 2 + ( m − 1 ) S 2 2 n + m − 2 ⟩ \\Bigg\\langle S\_w^2=\\frac\{(n-1)S\_1^2+(m-1)S\_2^2\}\{n+m-2\} \\Bigg\\rangle ⟨Sw2=n\+m−2(n−1)S12\+(m−1)S22⟩（3） S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n − 1 , m − 1 ) \\frac\{S\_1^2/S\_2^2\}\{\\sigma\_1^2/\\sigma\_2^2\}\\sim F(n-1, m-1) σ12/σ22S12/S22∼F(n−1,m−1)

### 3.5 定理汇总 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>参数</th> 
 <th>分布</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> μ \mu μ</td> 
 <td> X ˉ n − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) （ σ 已知） \frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0, 1) \qquad \text{（}\sigma\text{已知）} σ/n Xˉn−μ∼N(0,1)（σ已知） X ˉ n − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) （ σ 未知） \frac{\bar{X}_n-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) \qquad \text{（}\sigma\text{未知）} S/n Xˉn−μ∼t(n−1)（σ未知）</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> σ 2 \sigma^2 σ2</td> 
 <td> ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1) σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> σ 1 2 / σ 2 2 \sigma_1^2/\sigma_2^2 σ12/σ22</td> 
 <td> S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n − 1 , m − 1 ) \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n-1, m-1) σ12/σ22S12/S22∼F(n−1,m−1)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> p p p</td> 
 <td> k / n − p p ( 1 − p ) / n ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{k/n-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\sim N(0, 1) p(1−p)/n k/n−p∼N(0,1)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> μ 1 − μ 2 \mu_1-\mu_2 μ1−μ2</td> 
 <td> ( X ˉ n − Y ˉ m ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 / n + σ 2 2 / m ∼ N ( 0 , 1 ) （ σ 1 2 , σ 2 2 已知） \frac{(\bar X_n-\bar Y_m)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2/n+\sigma_2^2/m}}\sim N(0, 1) \qquad \text{（}\sigma_1^2, \sigma_2^2\text{已知）} σ12/n+σ22/m (Xˉn−Yˉm)−(μ1−μ2)∼N(0,1)（σ12,σ22已知） ( X ˉ n − Y ˉ m ) − ( μ 1 − μ 2 ) S w 1 / n + 1 / m ∼ t ( n + m − 2 ) （ σ 1 2 = σ 2 2 未知） \frac{(\bar X_n-\bar Y_m)-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{1/n+1/m}}\sim t(n+m-2) \quad \text{（}\sigma_1^2=\sigma_2^2\text{未知）} Sw1/n+1/m (Xˉn−Yˉm)−(μ1−μ2)∼t(n+m−2)（σ12=σ22未知）</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

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[Link 1]: https://blog.csdn.net/weixin_45800258/article/details/126906181
[03]: https://blog.csdn.net/weixin_45800258/article/details/127254458?spm=1001.2014.3001.5501