1111. 有效括号的嵌套深度

红太狼 2023-10-04 18:54 4阅读 0赞

有效括号字符串 定义：对于每个左括号，都能找到与之对应的右括号，反之亦然。详情参见题末「有效括号字符串」部分。

嵌套深度 depth 定义：即有效括号字符串嵌套的层数，depth(A) 表示有效括号字符串 A 的嵌套深度。详情参见题末「嵌套深度」部分。

有效括号字符串类型与对应的嵌套深度计算方法如下图所示：

给你一个「有效括号字符串」 seq，请你将其分成两个不相交的有效括号字符串，A 和 B，并使这两个字符串的深度最小。

不相交：每个 seq\[i\] 只能分给 A 和 B 二者中的一个，不能既属于 A 也属于 B 。  
A 或 B 中的元素在原字符串中可以不连续。  
A.length + B.length = seq.length  
深度最小：max(depth(A), depth(B)) 的可能取值最小。  
划分方案用一个长度为 seq.length 的答案数组 answer 表示，编码规则如下：

answer\[i\] = 0，seq\[i\] 分给 A 。  
answer\[i\] = 1，seq\[i\] 分给 B 。  
如果存在多个满足要求的答案，只需返回其中任意 一个 即可。

示例 1：

输入：seq = "(()())"  
输出：\[0,1,1,1,1,0\]  
示例 2：

输入：seq = "()(())()"  
输出：\[0,0,0,1,1,0,1,1\]  
解释：本示例答案不唯一。  
按此输出 A = "()()", B = "()()", max(depth(A), depth(B)) = 1，它们的深度最小。  
像 \[1,1,1,0,0,1,1,1\]，也是正确结果，其中 A = "()()()", B = "()", max(depth(A), depth(B)) = 1 。

提示：

1 < seq.size <= 10000

有效括号字符串：

仅由 "(" 和 ")" 构成的字符串，对于每个左括号，都能找到与之对应的右括号，反之亦然。  
下述几种情况同样属于有效括号字符串：

1. 空字符串  
2. 连接，可以记作 AB（A 与 B 连接），其中 A 和 B 都是有效括号字符串  
3. 嵌套，可以记作 (A)，其中 A 是有效括号字符串  
嵌套深度：

类似地，我们可以定义任意有效括号字符串 s 的 嵌套深度 depth(S)：

1. s 为空时，depth("") = 0  
2. s 为 A 与 B 连接时，depth(A + B) = max(depth(A), depth(B))，其中 A 和 B 都是有效括号字符串  
3. s 为嵌套情况，depth("(" + A + ")") = 1 + depth(A)，其中 A 是有效括号字符串

例如：""，"()()"，和 "()(()())" 都是有效括号字符串，嵌套深度分别为 0，1，2，而 ")(" 和 "(()" 都不是有效括号字符串。

来源：力扣（LeetCode）  
链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-nesting-depth-of-two-valid-parentheses-strings  
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方法一：用栈进行括号匹配  
思路及算法

要求划分出使得最大嵌套深度最小的分组，我们首先得知道如何计算嵌套深度。我们可以通过栈实现括号匹配来计算：

维护一个栈 s，从左至右遍历括号字符串中的每一个字符：

如果当前字符是 (，就把 ( 压入栈中，此时这个 ( 的嵌套深度为栈的高度；

如果当前字符是 )，此时这个 ) 的嵌套深度为栈的高度，随后再从栈中弹出一个 (。

下面给出了括号序列 (()(())()) 在每一个字符处的嵌套深度：

括号序列 ( ( ) ( ( ) ) ( ) )  
下标编号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9  
嵌套深度 1 2 2 2 3 3 2 2 2 1  
知道如何计算嵌套深度，问题就很简单了：只要在遍历过程中，我们保证栈内一半的括号属于序列 A，一半的括号属于序列 B，那么就能保证拆分后最大的嵌套深度最小，是当前最大嵌套深度的一半。要实现这样的对半分配，我们只需要把奇数层的 ( 分配给 A，偶数层的 ( 分配给 B 即可。对于上面的例子，我们将嵌套深度为 1 和 3 的所有括号 (()) 分配给 A，嵌套深度为 2 的所有括号 ()()() 分配给 B。

此外，由于在这个问题中，栈中只会存放 (，因此我们不需要维护一个真正的栈，只需要用一个变量模拟记录栈的大小。

Python3C++JavaJavascript

class Solution:  
def maxDepthAfterSplit(self, seq: str) -> List\[int\]:  
ans = \[\]  
d = 0  
for c in seq:  
if c == '(':  
d += 1  
ans.append(d % 2)  
if c == ')':  
ans.append(d % 2)  
d -= 1  
return ans  
复杂度分析

时间复杂度：O(n)O(n)，其中 nn 为字符串的长度。我们只需要遍历括号字符串一次。

空间复杂度：O(1)O(1)。除答案数组外，我们只需要常数个变量。

方法二：找规律  
思路及算法

我们还是使用上面的例子 (()(())())，但这里我们把 ( 和 ) 的嵌套深度分成两行：

括号序列 ( ( ) ( ( ) ) ( ) )  
下标编号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9  
嵌套深度 1 2 - 2 3 - - 2 - -  
嵌套深度 - - 2 - - 3 2 - 2 1  
有没有发现什么规律？

左括号 ( 的下标编号与嵌套深度的奇偶性相反，也就是说：

下标编号为奇数的 (，其嵌套深度为偶数，分配给 B；

下标编号为偶数的 (，其嵌套深度为奇数，分配给 A。

右括号 ) 的下标编号与嵌套深度的奇偶性相同，也就是说：

下标编号为奇数的 )，其嵌套深度为奇数，分配给 A；

下标编号为偶数的 )，其嵌套深度为偶数，分配给 B。

这样以来，我们只需要根据每个位置是哪一种括号以及该位置的下标编号，就能确定将对应的对应的括号分到哪个组了。

对此规律感兴趣的同学的同学可以阅读下面的证明部分，若不感兴趣，可以直接跳到代码部分。

证明

对于字符串中的任意一个左括号 ((，它的下标编号为 xx，嵌套深度为 yy。如果它之有 ll 个左括号和 rr 个右括号，那么根据嵌套深度的定义，有：

y = l - r + 1  
y=l−r+1

下标编号与 ll 和 rr 的关系也可以直接得到，注意下标编号从 00 开始：

x = l + r  
x=l+r

由于 l - rl−r 和 l + rl+r 同奇偶，因此 l - r + 1l−r+1（即 yy）和 l + rl+r（即 xx）的奇偶性相反。

对于字符串中的任意一个右括号 ))，它的下标编号为 xx，嵌套深度为 yy。如果它之有 ll 个左括号和 rr 个右括号，那么根据嵌套深度的定义，有：

y = l - r  
y=l−r

下标编号与 ll 和 rr 的关系也可以直接得到，注意下标编号从 00 开始：

x = l + r  
x=l+r

因此 yy 和 xx 的奇偶性相同。

作者：LeetCode-Solution  
链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-nesting-depth-of-two-valid-parentheses-strings/solution/you-xiao-gua-hao-de-qian-tao-shen-du-by-leetcode-s/  
来源：力扣（LeetCode）  
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

class Solution {
        public int[] maxDepthAfterSplit(String seq) {
            int length = seq.length();
            int[] ans = new int[length];
            for (int i = 0; i < length; ++i) {
                ans[i] = i & 1 ^ (seq.charAt(i) == '(' ? 1 : 0);
            }
            return ans;
        }
    }
    
    作者：LeetCode-Solution
    链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-nesting-depth-of-two-valid-parentheses-strings/solution/you-xiao-gua-hao-de-qian-tao-shen-du-by-leetcode-s/
    来源：力扣（LeetCode）
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。