慕课matlab学习第二章-09 矩阵的迹、秩、范数、条件数

蔚落 2023-03-01 10:29 10阅读 0赞

# 慕课matlab学习 第二章-09 #

## 矩阵求值 ##

% 第二节 矩阵变换
    % 矩阵求值
    
    %主要包括
    %1、矩阵的行列式值
    %2、矩阵的秩
    %3、矩阵的迹
    %4、矩阵的范数
    %5、矩阵的条件数
    
    
    % 方阵行列式
    % 把一一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个
    % 值就称为方阵所对应的行列式的值。
    % det(A):求方阵A所对应的行列式的值。
    % eg 验证 det(A^-1)=1/det(A)
    A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
    format rat %有理数形式输出
    det(inv(A)) % A的逆矩阵的行列式
    1/det(A)  % 矩阵A的行列式的倒数
    
    
    % 矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。
    % ranklA):求矩阵A的秩。
    % eg 求3-20阶魔方阵的秩
    for n=3:20                  %for循环
        r(n)=rank(magic(n));    %生成魔方阵，求到的矩阵的秩可以存放在向量 r(n)中
    end
    bar(r)  %生成一个条形统计图
    grid on %打开网格线
    axis([2,21,0,20]) % 设置坐标范围，这里设置的是 x坐标 2-21 y坐标0-20
    % axis 函数的两种用法
    %axis([xmin xmax ymin ymax])
    %axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmaxcmin cmax])
    % 奇数阶魔方阵秩为n，即奇数阶魔方阵是满秩矩阵。
    % 重偶数阶魔方阵秩为n/2+2 ( n是2的倍数，但非4的倍数)。
    %双重偶数阶魔方阵秩均为3 ( 阶数是4的倍数),
    
    
    % 矩阵的迹
    % 定义： https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E8%BF%B9
    % 矩阵的迹等于【矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和】。
    % trace(A):求矩阵A的迹。
    % eg： A
    A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
    b=trace(A)   %矩阵的迹
    sum(diag(A)) %对角线元素求和
    
    
    % 向量和矩阵的范数
    % 矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。
    % (1)向量的3种常用范数
    % 向量1-范数:向量元素的绝对值之和。
    %        ||V||=sum|Vi|
    % 向量2-范数:向量元素绝对值的平方和的平方根。
    
    % 无穷范数
    
    
    %   在MATLAB中，求向量范数的函数为:
    %   norm(V)或norm(V,2): 计算向量V的2一范数。
    %   norm(V,1): 计算向量V的1- -范数。
    %   norm(V,inf): 计算向量V的∞- -范数。
    
    %   (2)矩阵的范数
    %   从属于3种向量范数，矩阵范数计算公式如下。
    %   矩阵A的1-范数:矩阵列元素绝对值之和的最大值。
    %   矩阵A的2一范数: A'A矩阵的最大特征值的平方根。其中λ为A'A的最大特征值。
    %   矩阵A的∞一范数:所有矩阵行元素绝对值之和的最大值。
    
    % eg
    x=[2,0,1;-1,1,0;-3,3,0] %两种赋值方式
    x1=[2 0 1;-1 1 0;-3 3 0] %两种赋值方式
    format  % 无参数情况下，默认输出形式
    n=norm(x)           %矩阵的2范数
    n=norm(x,2)  %矩阵的2范数
    n=norm(x,1)  %矩阵的1范数
    
    
    
    
    %矩阵的条件数
    %矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
    %条件数越接近于1,矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。（性能好和差是什么东西）
    %在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是:
    % cond(A,1): 计算A的1- -范数下的条件数。
    % cond(A)或cond(IA,2): 计算A的2一范数下的条件数。
    % cond(A,inf): 计算A的∞- -范数下的条件数。
    
    % eg 求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数。
    for n=1:10
        c(n)=cond(hilb(n));
    end
    format long
    c    % 直接打印输出c向量的值
    c'   % 将c的行向量进行转置便成列向量打印输出