【你也能看得懂的电磁场与电磁场系列连载 11】

朱雀 2023-02-21 11:51 133阅读 0赞

在上一篇连载里面知道了如何计算线电流在周围产生的磁场，那么，如果电流的分布不是线，而是体分布或者是面分布，那怎么办呢？这里我们将引入**体电流密度和线电流密度**。

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我们先画一个连载的功夫弄明白什么是**电流密度**，因为这个概念在**磁场**以及后续**电生磁**中将会经常用到。

首先，我们看看在电路理论里面关于**电流**的定义—— 电流是**单位时间内**通过某一**横截面积**的电量。

我们知道：导体中可以传导电流，那么后面我们先以导体为例。那么导体又可以有很多形态了 —— 比如说：**体、面和线。** 如下图所示：  
![在这里插入图片描述][20200630140221273.png]  
那么，我刚刚不是说——电流是**单位时间内**通过某一**横截面积**的电量。那么，**体形态的导体，其横截面就是一个面、面形态的导体其横截面就是一条线；而线形态的导体其横截面就是一个点。**

而我们再看看电流密度的概念：**电流密度矢量是垂直于电流方向的单位横截部分上穿过的电流**。这里我们再把概念拆解一下—— 电流可能流于**体导体、面导体和线导体**；那么**对应的横截面就是：面、线和点**；那么**单位横截部分就对应着：单位面、单位线距离和一个点**。

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既然有了这样的理解，那么下面我们先以体电流为例子：

![在这里插入图片描述][20200630140834384.png_pic_center]  
这个上面那个体形态的导体的横截面。下面看一下立体图：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
因为横截面是一个面，那么我们可以取一个小的面积元  △ S △S △S，当这个微元面积趋于0时，那么也就相当于趋近一个点了。那么到底有多少电流从导体内部穿出了这个微元面呢？—— 这又是**通量**的概念了！

对于体形态的导体而言，电流密度准确的说应该是**体电流密度**。**体电流密度的大小是垂直于  J ˉ \\bar\{J\} Jˉ 的单位面积上穿过的电流**。那么穿过面积为  △ S △S △S 的电流数就应该是：  
![在这里插入图片描述][20200630142544872.png_pic_center]  
其中， d S ˉ = n ˉ ⋅ d S \\bar\{dS\} = \\bar\{n\} \\sdot dS dSˉ=nˉ⋅dS， n ˉ \\bar\{n\} nˉ 是那个小面积的单位法向。那么很自然地，这个横截面 S 上的总电流就可以写成：  
![在这里插入图片描述][20200630142826719.png_pic_center]  
那么，既然电流是**运动电荷**而产生的，那么**体电流也必然可以用运动电荷来描述：**

![在这里插入图片描述][20200630171116235.png_pic_center]  
这个圆柱是我在上面那个体型导体里面取出来的一个小的微元体积。那么在单位时间内穿过这个微元的电荷的数目就是： d q = ρ v v d t d S dq = ρ\_vvdtdS dq=ρvvdtdS  
那么很自然， d I = d q d t = ρ v v d S dI = \\frac\{dq\}\{dt\} = ρ\_vvdS dI=dtdq=ρvvdS

因为对于体电流密度而言，是衡量**穿过垂直于电流方向的单位面积的电流**。故： J = d I d S = ρ v v J = \\frac\{dI\}\{dS\} = ρ\_vv J=dSdI=ρvv  
**那么矢量形式就是： J ˉ = ρ v v ˉ \\bar\{J\} = ρ\_v\\bar\{v\} Jˉ=ρvvˉ**

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搞明白了体电流密度，下面我们来看面电流密度  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]有了体电流密度的概念，面电流密度也很好理解了—— 所谓面电流，就是电流是在一个厚度可以忽略不记的导体面上流动的，那么这个导体的横截部分就是上图中的黄色部分——是一根线！

**而面电流密度，就是在这条线上，单位长度内流过的电流。**

那么，在这个黄线上一小段线微元  d l dl dl 内通过的电流就可以表示为： d I = J s ˉ ⋅ d l ˉ dI = \\bar\{J\_\{s\}\} \\sdot \\bar\{dl\} dI=Jsˉ⋅dlˉ  
那么总的面电流就可以用线积分表示：  
 I = ∫ l J s ˉ ⋅ d l ˉ I = \\int\_l \\bar\{J\_s\} \\sdot \\bar\{dl\} I=∫lJsˉ⋅dlˉ

同理，我们也可以用运动电荷的思路计算面电流： J s = ρ v s ⋅ v J s ˉ = ρ v s ⋅ v ˉ J\_s = ρ\_\{vs\} \\sdot v\\\\ \\quad\\\\ \\bar\{J\_s\} = ρ\_\{vs\} \\sdot \\bar\{v\} Js=ρvs⋅vJsˉ=ρvs⋅vˉ  
其中， ρ v s ρ\_\{vs\} ρvs表示运动电荷的面密度。

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至于线电流，因为他的横截部分就是一个点了，那么是**没有**对应的所谓 “线电流密度” 的。我们就只能通过运动电荷的观点来计算线电流，即： I = ρ v l ⋅ v I = ρ\_\{vl\} \\sdot v I=ρvl⋅v

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好啦！了解了体电流密度和面电流密度之后，理论上我们就可以利用比奥-萨法尔定理计算任意分布的磁场了：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

但是大家注意到了吗 —— 这样的计算都涉及到了积分运算，颇为复杂，那么有没有更加简便的方法计算磁场呢？那么在下一个连载里面，我们就详细地介绍**安培环路定理**。

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