【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 25】

以你之姓@ 2023-02-24 11:10 3阅读 0赞

在上一个连载里面，我们成功地从  M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程推导出了电磁波的波动方程，这才算是正式开启了电磁波的大门。那么今天我们就一起来看一种特殊的电磁波——平面电磁波。

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首先我们来看看一些明此：等相位面，电磁波空间相位相同的点构成的曲面， 又称为**波阵面**。**那么我们根据波阵面形状的不同就可以把电磁波划分成不同的类型：如果波阵面是平面，那么就是平面电磁波、如果波阵面是球面就是球面电磁波等等。**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
**平面电磁波是指电磁波的场矢量的等相位面是与电 磁波传播方向垂直的无限大平面**，严格地说，理想的平面电磁波是不存在的，因为**只有无限大的波源才能激励出这样的波**。*但是如果场点离波源足够远，那么空间曲面很小的一部分就十分接近平面。在这一小范围内，可以近似地看成平面电磁波。例如，在远离发射天线的接收点附近的电磁波，可以近似的看成平面波。*

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而进一步讲，我们本科所学习的《电磁场与电磁波》中关于电磁波的讨论，重点是在**均匀的平面波**。我们首先来看看 均匀的平面波有什么特点：

1.  其**等相位面为无限大平面**，且**在等相位面上各点的 场强的大小相等，方向相同**的电磁波。
2.  即电磁波的场量除**随时间变化**外，只**与波传播方向的坐有关**，而**与其他坐标无关**。 换句话说，如果我们假设电磁波的传播方向沿着 +z 方向，那么场量（电场和磁场）就只是  t t t 和  z z z 的函数。

> 不过这里有一个容易混淆的地方：我们刚刚不是说传播方向沿着 +z时，场量（电场和磁场）就只是  t t t 和  z z z 的函数嘛，这可不代表场量没有  x x x 和  y y y 方向的分量噢！相反，他们都是可以有  x , y x, y x,y 方向的分量的，而这些方向的分量也只是关于  t , z t, z t,z 的函数。

1.  如**沿z方向传播的均匀平 面电磁波，在x和y构成 的等相位平面上，场强无变化**，所以才说是 ”均匀” 嘛！

讲到这里，细心的读者可以就能发现一些端倪了：你举例子说是沿着 +z 方向传播的电磁场，而关于场量的讨论，**你只是说了他们在  x , y x, y x,y 方向的情况，那你怎么不说说场量在  z z z 方向的情况呢？？？**

大家别着急，我这不是来解释了嘛 —— **均匀平面波在传播时，其传播方向的场量均为0！**

我们下面来证明一下：我们以一个简单的例子说明，假设我们的均匀平面波依然是**沿着 +z 方向传播**的。无论是电场还是磁场，我们**暂且假设他们在  x , y , z x, y, z x,y,z 三个方向上都有分量**。接着，根据我们刚刚所说的均匀平面波的特性，那么这三个方向的分量都是关于  t , z t, z t,z 的函数。即：  
![在这里插入图片描述][2020070920594945.png_pic_center]  
接下来，我们直接对上面两个场量使用  M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程。首先对电场，我们有：  
![在这里插入图片描述][2020070921005854.png_pic_center]

这里需要知道对矢量场取旋度的公式（这是微积分的内容，我们不再赘述）：  
![在这里插入图片描述][20200709210746348.png_pic_center]  
不过这里我们不是说吗：电磁波的传播方向沿着 +z 方向，那么场量（电场和磁场）就只是  t t t 和  z z z 的函数。**也就是说，电场和磁场对  x , y x, y x,y 方向的偏导数等于0！**

所以，我们就可以得到：  
![在这里插入图片描述][2020070921134218.png_pic_center]  
我们根据对应方向的分量相等，我们发现：等式右边多出来一个  a z ˉ \\bar\{a\_z\} azˉ 方向没有对应，也就是说，**磁场 z 方向的分量： H z H\_z Hz 对时间 t 的偏导数等于0！**

![在这里插入图片描述][20200709211614740.png_pic_center]  
即：**磁场 z 方向的分量  H z H\_z Hz 与时间无关。**

接下来，我们根据无源环境下磁场的基本方程：  
![在这里插入图片描述][20200709211735239.png_pic_center]  
进一步展开，就是：  
![在这里插入图片描述][20200709212105674.png_pic_center]  
而我们刚刚说过了—— 电场和磁场对  x , y x, y x,y 方向的偏导数等于0，那么上面的式子就进一步化简成了：

![在这里插入图片描述][202007092121556.png_pic_center]  
也就是说，**磁场 z 方向的分量还和 z 无关！**

好的，下面我们复盘一下我们都发现了什么：我们首先说磁场各个方向的分量（无论是  H x , H y H\_x, H\_y Hx,Hy 还是  H z H\_z Hz），都只是 t, z 的函数，而我们现在所重点关心的  H z H\_z Hz，原本按理说也是 z， t 的函数，可是我们现在发现：

1.   H z H\_z Hz 与 z 无关
2.   H z H\_z Hz 与 t 无关

**H z H\_z Hz 和他的所有变量都无关，那么  H z H\_z Hz 就只能是一个常数！** 而根据磁场在初始时间（也就是  t = 0 t=0 t=0 时）的值为0，所以这个常数就只能是0！即： H z = 0 H\_z = 0 Hz=0，**就是沿着 z 方向传播的均匀平面波，磁场没有与传播方向相同的分量**

同样的道理，我们可以按照完全一样的思路证明出：**对于均匀平面波而言，同样也没有沿着传播方向的电场分量。如果是 z 方向传播，那么  E z = 0 E\_z = 0 Ez=0**

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下面就给大家看看沿着 +z 方向传播的均匀平面波电场磁场的示意图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
我们可以看到：**电场、磁场和波的传播方向三者之间是互相垂直的。**

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我们在今天的连载里面，从第一个层面（场量的方向性上）了解了均匀平面波，那么问题来了：你既然说是平面波，那不和波动方程扯上关系都说不过去了是吧，那么在下一个连载，我们就看看均匀平面波所满足的波动方程的解的形式。

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