求解非线性方程f (x)= 0的MATLAB数值法指令介绍（solve、fzero的方法与实例）

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2023-01-16 03:16 124阅读 0赞

## 一、符号方程求解 ##

**在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：**  
       **solve(s)**（求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量，当方程右端为0时，方程可以不标出等号和0，仅标出方程的左端）  
       **solve(s,v)**（求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v）  
       **solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)**（求解符号表达式s1,s2,…,sn组成的代数方程组，求解变量分别为v1,v2,…,vn）  
       让我举个栗子：  
求解如下方程：  
![在这里插入图片描述][20210423163643910.png]  
**代码：**

x=solve('2*sin(3*x-pi/4)=1')

![在这里插入图片描述][20210423163836153.png]  
**代码：**

x= solve('x+x*exp(x)-10', 'x')   %仅标出方程的左端

## 二、求方程f ( x ) = 0数值解的基本方法 ##

**       并非所有的方程 f ( x ) = 0 都能求出精确解或解析解，存在这种解的方程就需要用数值解法求出近似解，有几种常见的数值解法：**

###        1.二分法 ###

###        2.迭代法：切线法、割线法（弦截法） ###

注：二分法简单方便，但收敛速度慢；  
       迭代法虽然收敛速度稍微快点，但需要判断能否收敛；  
       只要初值选取得当，切线法具有恒收敛且收敛速度快的优点，但需要求出函数的导数；  
       弦截法不需要求导数，特别是前面介绍的快速弦截法，收敛速度很快，但是需要知道两个近似的初始根值才能作出弦，要求的初始条件较多。

## 三、方程f(x) = 0数值解的MATLAB实现 ##

**MATLAB中求方程数值解的办法很多，有的是专用指令，有的是根据方程性质而借用其他专用指令求得的**

**这里我们就先介绍求函数零点指令fzero吧**

**求解方程f ( x ) = 0的实数根也就是求函数f ( x）的零点。MATLAB中设有求函数f (x）零点的指令fzero，可用它来求方程的实数根。该指令的使用格式为：**fzero (fun, x0, options)  
       **①输入参数fun为函数f (x）的字符表达式、内联函数名或M函数文件名。**  
       **②输入参数x0为函数某个零点的大概位置（不要取零）或存在的区间［xi，xj］，要求函数f (x）在x0点左右变号，即f (xi)f (xj) < 0。**  
       **③输入参数options可有多种选择，若用optimset (‘disp’, ‘iter’）代替options 时，将输出寻找零点的中间数据。**  
       **④该指令无论对多项式函数还是超越函数都可以使用，但是每次只能求出函数的一个零点，因此在使用前需摸清函数零点数目和存在的大体范围。为此，一般先用绘图指令plot, fplot或ezplot画出函数f (x）的曲线，从图上估计出函数零点的位置。**  
       让我再举个栗子：  
如：求方程 x^2 + 4sin(x) = 25 的实数根（-2π＜x < 2π）  
解：  
（**1）若fun为函数f (x）的字符表达式**  
       ①首先要确定方程实数根存在的大致范围。为此，先将方程变成标准形式f(x) =x2 + 4sin(x) - 25 = 0，作f(x)的曲线图：

x=-2*pi:0.1:2*pi;
    f=x.^2+4*sin(x)-25;
    plot(x,f);grid on;

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L015X2RhaWx5X2xpZmU_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
从曲线上可以看出，函数的零点大约在x1= - 4和x2=5附近  
       ②直接使用指令fzero求出方程在x1≈ - 4时的根

x1= fzero ('x^2+4*sin(x)-25',-4)

若键入：

fzero ('x^2+4*sin(x)-25',-4, optimset('disp', 'iter'))

将会显示迭代过程  
       中间数据表明，求根过程中不断缩小探测范围，最后得出- 4附近满足精度的近似根  
       ③求x2≈ 5的根：

x2= fzero ('x^2+4*sin(x)-25',5)

**(2) 若fun为函数f (x）的M函数文件名**  
将方程x2 + 4sin(x) = 25编成M函数文件（实用中在函数较为复杂、而又多次重复调用时，才这样做），用fzero求解。  
       ①在M文件编辑调试窗中键入：

function  yy=fan (x)
    yy= x^2+4*sin(x)-25;

以fan为文件名存盘，退出编辑调试窗，回到指令窗。  
       ②确定根的大体位置;  
       ③在指令窗中键入下述指令可求出 - 4 附近的根：

x1= fzero ('fan',-4)

键入下述指令可求出5附近的根：

x2= fzero ('fan',5)

我还要再举个栗子：  
如：求f(x)=x-10^x+2=0在x0=0.5附近的根  
解：

x=-2.5:0.01:0.5;
    fx=x-10.^x+2;
    plot(x,fx)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L015X2RhaWx5X2xpZmU_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

从f(x)的曲线看出曲线的零点有两个，一个在x=-2附近，另一个在x=0.5附近  
       ①建立函数文件funx.m。(function \[输出变量列表\]=函数名(输入变量列表))

functionfx=funx(x)
    fx=x-10.^x+2;

②调用fzero函数求根。

z=fzero('funx',0.5)

[20210423163643910.png]: /images/20221022/c2a011f313c641808f71571e2eeabd5d.png
[20210423163836153.png]: /images/20221022/ed256ff44ae44937afc7bafec3132a98.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L015X2RhaWx5X2xpZmU_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221022/c933235ab92342dd9b67419d455c599c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L015X2RhaWx5X2xpZmU_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221022/a30128d849d94d438b1a3697b4617f32.png