数值计算——一维非线性方程求解

淡淡的烟草味﹌ 2022-06-17 08:53 282阅读 0赞

# 数值计算——一维非线性方程求解 #

## 1、二分法 ##

把函数f(x)的零点所在的区间\[a，b\](满足f(a）●f(b）<0)“一分为二”，得到\[a，m\]和\[m，b\]。根据“f(a)●f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间\[a，m\]或\[m，b\]，仍记为\[a，b\]。所对得的区间\[a，b\]重复上述步骤，直到包含零点的区间\[a，b\]“足够小”，则\[a，b\]内的数可以作为方程的近似解。

![20170421230553918][]

package com.kexin.lab6;
    
    import java.text.DecimalFormat;
    
    /**
     * 二分法求解非线性方程组
     * @author KeXin
     *
     */
    public class Bisection {
    	//精度
    	final static double tol = 0.000001;
    	/**
    	 * 定义函数x^3-2x-5，返回指定x的函数值
    	 * @param a
    	 * @return
    	 */
    	public static double Function(double a){
    //		double result = Math.pow(a, 2)-4*Math.sin(a);	//书上的例题测试
    		double result = Math.pow(a, 3)-2*a-5;
    		return result;
    	}
    	/**
    	 * 二分法定有根区间
    	 * @param a
    	 * @param b
    	 * @return
    	 */
    	public static void Bisect(double a,double b){
    		DecimalFormat df  = new DecimalFormat("#.000000");
    		double m;
    		System.out.println("a\t\tF(a)\t\tb\t\tF(b)");
    		while((b-a)>tol){
    			m = a+(b-a)/2;
    			if(Math.signum(Function(a))==Math.signum(Function(m))){
    				a = m;
    			}else{
    				b = m;
    			}
    			System.out.println(df.format(a)+"\t"+df.format(Function(a))+"\t"+df.format((b))+"\t"+df.format(Function(b)));
    		}
    	}
    	public static void main(String[] args) {
    		double a = 1;
    		double b = 3;
    		Bisect(a,b);
    	}
    
    }

## 2、牛顿法 ##

在非线性方程ƒ(x)＝0的零点x＝x邻域内，函数 ƒ(x)连续可微且ƒ┡(x)不为零,xn(n=0,1,2,…)是x的近似值,则在此邻域，用线性函数g(x) = f+f'(x-x0)代替f(x)并将g(x)的零点作为新的x近似值进行迭代求解：

![20170421231211358][]

牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，但是要求函数的一阶导数存在。

package com.kexin.lab6;
    
    import java.text.DecimalFormat;
    
    /**
     * 牛顿法求非线性方程组
     * 
     * @author KeXin
     *
     */
    public class Newton {
    	// 精度
    	final static double tol = 0.000001;
    
    	/**
    	 * 定义函数x^3-2x-5，返回指定x的函数值
    	 * 
    	 * @param a
    	 * @return
    	 */
    	public static double Function(double a) {
    		// double result = Math.pow(a, 2)-4*Math.sin(a); //书上的例题测试
    		double result = Math.pow(a, 3) - 2 * a - 5;
    		return result;
    	}
    
    	/**
    	 * 定义函数x^2-2即F的导数，返回指定x的函数值
    	 * 
    	 * @param a
    	 * @return
    	 */
    	public static double Function1(double a) {
    		// double result = 2*a-4*Math.cos(a); //书上的例题测试
    		double result = 3 * Math.pow(a, 2) - 2;
    		return result;
    	}
    	/**
    	 * 牛顿法
    	 * 
    	 * @param a
    	 * @param b
    	 * @return
    	 */
    	public static void NewtonF(double x, int k) {
    		DecimalFormat df = new DecimalFormat("#.000000");
    		System.out.println("k\tx\t\tF(x)\t\tF1(x)\t\tH(x)");
    		double f, f1, f2;
    		while (k >= 0) {
    			f = Function(x);
    			f1 = Function1(x);
    			f2 = -f/f1;
    			System.out.println(k + "\t" + df.format(x) + "\t" + df.format(f) + "\t" + df.format(f1) + "\t" + df.format(f2));
    			if ((Math.abs(f) < tol && (Math.abs(f2) / Math.abs(x)) < tol))
    				break;
    			x = x + f2;
    			k--;
    		}
    	}
    
    	public static void main(String[] args) {
    		int k = 4;
    		double x = 3.0;
    		NewtonF(x, k);
    	}
    
    }

## 3、割线法 ##

用区间\[tk-1，tk\](或\[tk，tk-1\])上的割线近似代替目标函数的 导函数的曲线。并用割线与横轴交点的横坐标作为方程式的根的近似。

package com.kexin.lab6;
    
    import java.text.DecimalFormat;
    
    /**
     * 割线法求解非线性方程
     * 
     * @author KeXin
     *
     */
    public class Secant {
    	// 精度
    	final static double tol = 0.000001;
    
    	/**
    	 * 定义函数x^3-2x-5，返回指定x的函数值
    	 * 
    	 * @param a
    	 * @return
    	 */
    	public static double Function(double a) {
    //		 double result = Math.pow(a, 2)-4*Math.sin(a); //书上的例题测试
    		double result = Math.pow(a, 3) - 2 * a - 5;
    		return result;
    	}
    	/**
    	 * 牛顿法
    	 * 
    	 * @param a
    	 * @param b
    	 * @return
    	 */
    	public static void SecantF(double x0,double x, int k) {
    		DecimalFormat df = new DecimalFormat("#.000000");
    		System.out.println("k\tx\t\tF(x)\t\tH(x)");
    		double f, f1, h = 0,temp;
    		while (k >= 0) {
    			f = Function(x);
    			f1 = Function(x0);
    			System.out.println(k + "\t" + df.format(x) + "\t" + df.format(f) + "\t"+df.format(h));
    			temp = x;
    			x = x - f*(x-x0)/(f-f1);
    			x0 = temp;
    			h = x-x0;
    			k--;
    		}
    	}
    	public static void main(String[] args) {
    		SecantF(3,1,8);
    	}
    
    }

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