慕课matlab学习第六章-035 迭代法、二分法、割线法求解非线性方程

r囧r小猫 2023-03-03 08:42 6阅读 0赞

# 第六节-数值微分与方程求解 #

## 01-非线性方程组求解和最优化问题 ##

% 第六节-数值微分与方程求解
    % 01-非线性方程组求解和最优化问题
    
    %  迭代法 二分法 割线法
    %  (1)【单变量】非线性方程求解
    %  函数的调用格式为:
    %  x=fzero(filename,x0)
    %  其中，filename是待求根方程左端的函数表达式，x0是初始值。
    
    % eg 求 f(x)=x-1/x+5 在 x0=-5 和 x0=1 作为迭代初值时候的根
    f=@(x)x-1./x+5;
    x1=fzero(f,-5)
    x2=fzero(f,1)
    x3=fzero(f,0.1)
    x=-5:0.1:5
    y=f(x)          %匿名函数的使用及调用形式
    plot(x,y)       %绘图
    grid on         %打开网格
    
    
    % 求 x^2-1=0 的根
    f1=@(x) x.^2-1
    x=[];
    x0=-0.25:0.001:0.25
    for x00=x0
        x=[x,fzero(f1,x00)];
    end
    figure(2)
    plot(x0,x,'-o')
    xlabel('初值')
    ylabel('方程的根')
    axis([-0.25,0.25,-1,1]) %搜索结果依赖于函数特性和指定的初值
    
    
    % (2)非线性方程组的求解
    % 函数的调用格式为:
    % x=fsolve{ filename,x0,option)
    % 其中，x为返回的近似解，filename是待求根方程左端的函数表达式
    % x0是初值，option用于设置优化工具箱的优化参数，可以调用optimset函数来完成。
    
    x1=fsolve(f,-5,optimset('Display','off')) %返回x=-5的近似解
    x2=fsolve(f,1,optimset('Display','off'))
    
    % 求下列方程组在（1，1，1）附近的解，并对结果进行验证
    % sinx +y+z^2 * e^x=0
    % x+y+z=0
    % xyz=0
    
    f2=@(x)[sin(x1)+x(2)+x(3)^2*exp(x(1)), x(1)+x(2)+x(3),x(1)*x(2)*x(3)]
    % 注：匿名函数共有3个函数，且有3个变量分别为x1，x2，x3.故
    f2([1,1,1])
    x2=fsolve(f2,[1,1,1],optimset('Display','off')) %求得在（1，1，1）处附近的解
    f2(x2) %将求得的解带入方程中看下求出的结果和实际结果的差值（和0比较）
    
    
    
    
    
    
    % 函数极值计算
    % 极大值和极小值计算
    % 在matlab中，只提供了求极小值计算方法
    % 所以，我们要求f(x)极大值的时候，只需要求【-f(x)】的极小值的计算，这样就是求得f（x）得极大值
    
    
    %求极小值分为两类 无约束最优化问题（在x[-∞，+∞]） 和 有约束最优化问题x[a,b]
    %求最小值的函数
    % [xmin ,fmin]=fminbnd(filename,x1,x2,option)   %求【一元】函数在x1到x2开区间中的极小值【点】xmin，和最小值fmin
    % [xmin ,fmin]=fminsearch(filename,x0,option)   % 基于单纯性算法，求【多元】函数的极小值【点】xmin，和最小值fmin
    % [xmin ,fmin]=fminunc(filename ,x0,option)     % 基于拟牛顿法【求多元】函数的极小值【点】xmin，和最小值fmin
    
    % 其中，filename是定义的目标函数。第一个函数的输入变量【x1、x2】
    % 分别表示被研究区间的【左、右】边界。后两个函数的输入变量【x0是一个向l量】
    % 表示极值点的初值。option 为优化参数，可以通过optimset函数来设置。
    
    % eg 求 f(x)=x-1/x+5 在 x0=-5 和 x0=1 在区间（-10，-1）和（1，10）上的最小值点
    f  %定义的函数 在14行中已经定义好
    
    [xmin,fmin]=fminbnd(f,-10,-1);
    xmin    % 打印 xmin 极小值【点】
    fmin    % 打印 fmin 最小值
    
    [xmin,fmin]=fminbnd(f,1,10);
    xmin    % 打印 xmin 极小值【点】
    fmin    % 打印 fmin 最小值
    
    
    % 2、有约束最优化计算问题
    %  f(x) 需要满足某种约束条件
    %  线性不等式约束 线性等式约束  非线性不等式约束
    %  非线性等式约束 x的上界和下界
    
    % 有约束最优化问题
    % 求有约束条件下最小值的函数为:
    % [xmin,fmin]=fmincon(filename,x0,A,b,Aeq,beq,Lbnd,Ubnd,NonF,option)
    % 其中，xmin、fmin、 filename、 x0和option的含 义与求最小值函数
    % 相同。其余参数为约束条件，包括线性不等式约束、线性等式约束、
    % x的下界和，上界以及定义非线性约束的函数。如果某个约束不存在,
    % 则用空矩阵来表示。
    
    % 求解有约束最优化问题
    % f(x)=0.4*x2 +x1^2+x2^2-x1x2+1/30*x1^3 的极小值点 和最小值
    % 约束条件 ： x1+0.5x2 >=0.4
    %             0.5x1+x2>=0.5
    %             x1>=0 ,x2>=0
    f3=@(x)0.4*x(2)+x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)+1/30*x(1)^3
    x3=[0.5,0.5];
    A=[-1,-0.5;-0.5,-1]
    b=[-0.4;-0.5]
    lb=[0;0]
    option=optimset('Display','off')
    [xmin,fmin]=fmincon(f3,x3,A,b,[],[],lb,[],[],optimset('Display','off')) 
    % 在约束条件下求得极小值点 和最小值点
    
    
    
    
    % (3)最小值问题应用实例
    % 例5某公司有A、B、C、D、E5个工厂，分别位于xy平面.上的
    % 坐标点(10, 10)，(30， 50)，( 16.667, 29) ,
    % (0.555， 29.888)和(22.2221， 49.988)处。设两点之间的
    % 距离表示在工厂2 间开车的距离， 以公里为单位。公司计划在
    % 平面上某点处建造一-座仓库， 预期平均每周到A、B、 C、D、E
    % 工厂分别有10、18、20、 14和25次送货。理想情况下，要使每.
    % 周送货车的里程最小，仓库应建在xy平面的什么位置?
    
    
    % 分析 ：设仓库所选点的坐标为（x,y）,则总里程表达式为：
    % d=10（（x-10）^2+(y-10)^2）^1/2 +18*（（x-30）^2+(y-50)^2）^1/2 
    %        +20（（x-16.667）^2+(y-29)^2）^1/2 +14（（x-0.555）^2+(y-29.888)^2）^1/2
    %        +25（（x-22.2221）^2+(y-49.988)^2）^1/2 
    % 也就是说，求 d 在无约束条件下的最小值问题
    a=[10,30,16.667,0.555,22.2221]  % a 表示工厂的横坐标
    b=[10,50,29,29.888,49.988]      % b 表示工厂的纵坐标
    c=[10,18,20,14,25]              % c 表示每个工厂送货的次数
    d=@(x)sum(c.*sqrt((x(1)-a).^2+(x(2)-b).^2)) %距离函数 d
    [xmin,dmin]=fminsearch(d,[15,30])  %求解最小值，在区间【15，30】中，得到xmin 和 fmin
    xmin  % 打印 x,y 的极小值坐标点位置
    dmin  % 打印 d的最小值点
    
    
    % 有约束条件下
    % eg 由于地域条件的限制。仓库必须建在曲线 y=x^2 上，则应该建在何处
    [xmin,fmin]=fmincon(d,[15,30],[],[],[],[],[],[],'funny') 
    % 注：这个需要再次了解和学习一下