【线性代数（12）】线性方程组、方程组解的结构

待我称王封你为后i 2022-12-20 08:35 104阅读 0赞

### 线性方程组、方程组解的结构 ###

*  1 线性方程组
 *  2 方程组有解的判定
 *   *  2.1 方程组的向量和矩阵表示
     *  2.2 方程组解的判定

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# 1 线性方程组 #

最熟悉的鸡兔同笼的问题，假使鸡兔共八只，腿共20条，请问有多少鸡和兔子？

古人思路：  
1）抬脚法：兔子抬起两只脚，那么鸡兔共16条腿，剩下4腿就是兔子的，所以兔子2只，鸡6只  
2）落脚法：假使鸡有四条腿，都落下来，鸡兔共32条腿，多的12条腿就是鸡的，所以鸡6只，兔子2只

如果使用现代的方程组的思路就是：设鸡有 x x x只，兔子 y y y只，方程组为： \{ x + y = 8 2 x + 4 y = 20 ⇒ \{ x = 6 y = 2 \\begin\{cases\} x+y =8 \\\\ 2x + 4y=20 \\end\{cases\} \\Rightarrow \\begin\{cases\} x=6 \\\\ y=2 \\end\{cases\} \{ x\+y=82x\+4y=20⇒\{ x=6y=2

方程的运算（消元法）基本步骤：  
1）交换两方程  
2）用非零数乘其方程  
3）某方程的 l l l倍加到另一方程  
可以发现消元法解方程就对应着三种初等行变换，因此上面的方程组形式就可以简化一下使用矩阵进行表示，比如计算过程如下  
 ( 1 1 8 2 4 20 ) ⇒ ( 1 1 8 0 1 2 ) ⇒ ( 1 0 6 0 1 2 ) \\left(\\begin\{matrix\} 1&1&8\\\\2&4&20\\end\{matrix\}\\right)\\Rightarrow \\left(\\begin\{matrix\} 1&1&8\\\\0&1&2\\end\{matrix\}\\right)\\Rightarrow \\left(\\begin\{matrix\} 1&0&6\\\\0&1&2\\end\{matrix\}\\right) (1214820)⇒(101182)⇒(100162)

# 2 方程组有解的判定 #

## 2.1 方程组的向量和矩阵表示 ##

假使方程组如下，可以转化为向量的表示形式  
 \{ x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 − x 2 − x 3 = − 3 2 x 1 + 9 x 2 + 10 x 3 = 11 ⇒ x 1 ( 1 1 2 ) + x 2 ( 1 − 1 9 ) + x 3 ( 1 − 1 10 ) = ( 1 − 3 11 ) ⇒ x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = β \\begin\{cases\} x\_\{1\}+x\_\{2\}+x\_\{3\} =1 \\\\ x\_\{1\}-x\_\{2\}-x\_\{3\} =-3\\\\ 2x\_\{1\}+9x\_\{2\}+10x\_\{3\} = 11 \\end\{cases\} \\Rightarrow x\_\{1\}\\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\1\\\\2\\end\{matrix\}\\right)+x\_\{2\}\\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\-1\\\\9\\end\{matrix\}\\right)+x\_\{3\}\\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\-1\\\\10\\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\-3\\\\11\\end\{matrix\}\\right)\\Rightarrow x\_\{1\}\\alpha\_\{1\}+x\_\{2\}\\alpha\_\{2\}+x\_\{3\}\\alpha\_\{3\}=\\beta ⎩⎪⎨⎪⎧x1\+x2\+x3=1x1−x2−x3=−32x1\+9x2\+10x3=11⇒x1⎝⎛112⎠⎞\+x2⎝⎛1−19⎠⎞\+x3⎝⎛1−110⎠⎞=⎝⎛1−311⎠⎞⇒x1α1\+x2α2\+x3α3=β矩阵表示形式：系数矩阵就为方程组变量的所有系数构成的矩阵，记作 A A A，增广矩阵就是在系数矩阵的基础上添加常数项，记作 A ‾ \\overline\{\\text\{A\}\} A  
 A = ( 1 1 1 1 − 1 − 1 2 9 10 )    A ‾ = ( 1 1 1 1 1 − 1 − 1 − 3 2 9 10 11 ) A = \\left(\\begin\{matrix\} 1&1&1\\\\1&-1&-1\\\\2&9&10\\end\{matrix\}\\right)\\space \\space \\overline\{\\text\{A\}\}= \\left(\\begin\{matrix\} 1&1&1&1\\\\1&-1&-1&-3\\\\2&9&10&11\\end\{matrix\}\\right) A=⎝⎛1121−191−110⎠⎞  A=⎝⎛1121−191−1101−311⎠⎞使用消元法进行方程组的求解，实际上就是对增广矩阵进行初等变换

## 2.2 方程组解的判定 ##

假使最后化简的增广矩阵的式子如下  
 ( 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 ) ⇒ \{ x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 3 ⇒ 方 程 组 有 唯 一 解 ， r ( A ) = r ( A ‾ ) = 3 = 未 知 数 个 数 \\left(\\begin\{matrix\} 1&0&0&1\\\\0&1&0&2\\\\0&0&1&3\\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow \\begin\{cases\} x\_\{1\}=1 \\\\ x\_\{2\} =2\\\\ x\_\{3\} = 3 \\end\{cases\} \\Rightarrow 方程组有唯一解，r(A)=r(\\overline\{\\text\{A\}\})=3=未知数个数 ⎝⎛100010001123⎠⎞⇒⎩⎪⎨⎪⎧x1=1x2=2x3=3⇒方程组有唯一解，r(A)=r(A)=3=未知数个数  
 ( 1 0 1 5 0 1 1 9 0 0 0 0 ) ⇒ \{ x 1 = 5 − x 3 x 2 = 9 − x 3 ⇒ 方 程 组 无 穷 多 解 ， r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 < 未 知 数 个 数 \\left(\\begin\{matrix\} 1&0&1&5\\\\0&1&1&9\\\\0&0&0&0\\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow \\begin\{cases\} x\_\{1\}=5-x\_\{3\} \\\\ x\_\{2\} =9-x\_\{3\}\\\\ \\end\{cases\} \\Rightarrow 方程组无穷多解，r(A)=r(\\overline\{\\text\{A\}\})=2<未知数个数 ⎝⎛100010110590⎠⎞⇒\{ x1=5−x3x2=9−x3⇒方程组无穷多解，r(A)=r(A)=2<未知数个数  
 ( 1 0 1 5 0 1 1 9 0 0 0 1 ) ⇒ \{ x 1 = 5 − x 3 x 2 = 9 − x 3 0 = 1 ⇒ 方 程 组 无 解 ， r ( A ) < r ( A ‾ ) \\left(\\begin\{matrix\} 1&0&1&5\\\\0&1&1&9\\\\0&0&0&1\\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow \\begin\{cases\} x\_\{1\}=5-x\_\{3\} \\\\ x\_\{2\} =9-x\_\{3\}\\\\ 0 =1 \\end\{cases\} \\Rightarrow 方程组无解，r(A)<r(\\overline\{\\text\{A\}\}) ⎝⎛100010110591⎠⎞⇒⎩⎪⎨⎪⎧x1=5−x3x2=9−x30=1⇒方程组无解，r(A)<r(A)

结论：  
1）当 r ( A ) = r ( A ‾ ) r(A)=r(\\overline\{\\text\{A\}\}) r(A)=r(A)，方程组有解 \{ r ( A ) = r ( A ‾ ) = n , 唯 一 解 r ( A ) = r ( A ‾ ) < n , 无 穷 多 解 \\begin\{cases\} r(A)=r(\\overline\{\\text\{A\}\})=n,唯一解\\\\ r(A)=r(\\overline\{\\text\{A\}\})<n,无穷多解\\\\ \\end\{cases\} \{ r(A)=r(A)=n,唯一解r(A)=r(A)<n,无穷多解  
2）当 r ( A ) ≠ r ( A ‾ ) r(A)\\not=r(\\overline\{\\text\{A\}\}) r(A)=r(A)，方程组无解

★★★★★**关于方程组中的 m , n m,n m,n，其中 m m m是指方程的个数， n n n是指未知数的个数**

解题步骤：

1）写出增广矩阵 A ‾ \\overline\{\\text\{A\}\} A

2）只做初等行变换，化为阶梯型矩阵

3）对比 r ( A ) , r ( A ‾ ) r(A),r(\\overline\{\\text\{A\}\}) r(A),r(A)值，阶梯型中虚线左边非零行行数与右边的非零行行数的对比

4）化为行最简阶梯型，不管零行，非零行的首非零元留在左边，其余变量挪到右边得到一般解（要变号）

例题，经过转化后的增广矩阵和求解过程如下  
 A ‾ = ( 1 2 3 1 2 0 3 7 − 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ⇒ ( 1 0 − 5 3 5 3 0 0 1 7 3 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ⇒ \{ x 1 = 5 3 x 3 − 5 3 x 4 x 2 = 1 − 7 3 x 3 + 1 3 x 4 \\overline\{\\text\{A\}\} = \\left(\\begin\{matrix\} 1&2&3&1&2\\\\0&3&7&-1&3\\\\0&0&0&0&0\\\\0&0&0&0&0\\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow \\left(\\begin\{matrix\} 1&0&-\\frac\{5\}\{3\}&\\frac\{5\}\{3\}&0\\\\0&1&\\frac\{7\}\{3\}&\\frac\{1\}\{3\}&1\\\\0&0&0&0&0\\\\0&0&0&0&0\\end\{matrix\}\\right)\\Rightarrow \\begin\{cases\} x\_\{1\} = \\frac\{5\}\{3\}x\_\{3\}-\\frac\{5\}\{3\}x\_\{4\}\\\\ x\_\{2\} = 1-\\frac\{7\}\{3\}x\_\{3\} +\\frac\{1\}\{3\}x\_\{4\}\\\\ \\end\{cases\} A=⎝⎜⎜⎛1000230037001−1002300⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛10000100−3537003531000100⎠⎟⎟⎞⇒\{ x1=35x3−35x4x2=1−37x3\+31x4

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