线性代数笔记【矩阵与线性方程组】

比眉伴天荒 2023-01-13 04:21 184阅读 0赞

# 矩阵的初等变换 #

## 方程组初等变换 ##

*  对调两个方程的位置
 *  用一个非零的数乘某个方程的两边
 *  把一个方程的倍数加到另一个方程上

经过这三种变换，线性方程组的解不变，将这三种变换称为线性方程组的初等变换，或可以叫作同解变换

## 矩阵的初等变换 ##

由于矩阵和线性方程组之间存在某种神秘关系，可以定义矩阵的初等变换

*  **对调行变换**：对调A的第i行和第j行的位置，记作 r i ↔ r j r\_i \\leftrightarrow r\_j ri↔rj
 *  **倍乘行变换**：用一个非零数k乘A的第i行，记作 r i × k r\_i \\times k ri×k
 *  **倍加行变换**：将A中的第i行的k倍加到第j行，记作 r j + k r i r\_j+kr\_i rj\+kri

同理，存在用 c i 、 c j c\_i 、c\_j ci、cj（英语行row，列column，同理转置的T来源于transpose）表示的对调列变换、倍乘列变换、倍加列变换，这两类变换分别称为初等行变换和初等列变换，两类变换合称矩阵的**初等变换**。 r i × 1 2 、 r j + ( − 2 ) r i r\_i \\times \\frac\{1\}\{2\}、r\_j+(-2)r\_i ri×21、rj\+(−2)ri这两种记号也可写作 r i ÷ 2 、 r j − r i r\_i \\div 2、r\_j-r\_i ri÷2、rj−ri

要特别注意：**倍加变换中 r j + k × r i r\_j+k \\times r\_i rj\+k×ri与 r i + k × r j r\_i + k \\times r\_j ri\+k×rj含义不同，一个是把ri乘k后加到j行，一个是把rj乘k后加到i行！**

矩阵的初等变换可逆

### 等价 ###

若矩阵A经过**有限次**初等变换变成B，则称A与B等价，记作 A → B A \\rightarrow B A→B或 A ∼ B A \\sim B A∼B

A与B等价也称A与B相抵

A与B等价，B也与A等价； A → B A \\rightarrow B A→B且 B → C B \\rightarrow C B→C，则 A → C A \\rightarrow C A→C

### 线性方程组消元法的本质 ###

常用的线性消元法就是有n个未知数、n个方程，将未知数顺次排列，使用增广矩阵表示这些方程，并用行初等变换后可以得到形如 E n \[ X \] E\_n \[X\] En\[X\]这样的矩阵，其中X就是各个未知数的解

## 初等矩阵 ##

由单位矩阵E经过**一次**初等变换得到的矩阵叫**初等矩阵**

依据初等变换方式的不同可以将初等矩阵分为对调矩阵Ei,j、倍乘矩阵Ei(k)、倍加矩阵Ei,j(k)，其中倍加矩阵指的是把第j行数乘k后加到第i行所得矩阵

### 初等矩阵的基本性质 ###

E i , j T = E i , j 、 E i T ( k ) = E i ( k ) E^T\_\{i,j\}=E\_\{i,j\}、E^T\_i(k)=E\_i(k) Ei,jT=Ei,j、EiT(k)=Ei(k)：转置对对调和倍乘不起作用

E i , j T ( k ) = E j , i ( k ) E^T\_\{i,j\}(k)=E\_\{j,i\}(k) Ei,jT(k)=Ej,i(k)：转置会让倍加调换

以下是三种获得单位矩阵性质

E i , j E i , j = E E\_\{i,j\}E\_\{i,j\}=E Ei,jEi,j=E

E i ( k ) E i ( k − 1 ) = E E\_i(k)E\_i(k^\{-1\})=E Ei(k)Ei(k−1)=E

E i , j ( k ) E i , j ( − k ) = E E\_\{i,j\}(k)E\_\{i,j\}(-k)=E Ei,j(k)Ei,j(−k)=E

其中 i ≠ j , k ≠ 0 i \\neq j,k \\neq 0 i=j,k=0

### 初等矩阵+矩阵乘法=初等变换 ###

一个矩阵**左乘**初等矩阵等同于对这个矩阵作同类型的初等**行**变换

一个矩阵**右乘**初等矩阵等同于对这个矩阵作同类型的初等**列**变换

左乘xxx就是在矩阵左边乘xxx，右乘xxx就是在矩阵右边乘xxx

## 等价标准型 ##

### 基本定理1 ###

对于任何方阵A，只用**有限次**初等变换都能将A化为上三角矩阵

另一表述：

一定存在一个倍加矩阵P使 ∑ P i A 或 ∑ A P i \\sum P\_i A或\\sum AP\_i ∑PiA或∑APi为上三角形矩阵

在变换中间可以交叉使用行初等变换或列初等变换

### 基本定理2 ###

对于任何m x n非零矩阵A，必能用初等变换把它化为形如 F = ( E s O O O ) F=\\begin\{pmatrix\} E\_s & O \\\\ O & O\\end\{pmatrix\} F=(EsOOO)的矩阵，其中Es是一个单位矩阵，也可以是数1（1x1的单位矩阵，元素为1），其中F叫做矩阵A的**等价标准型**，s是A的秩，它由A唯一确定

秩相关的内容将在以后讲解

F包括 F = ( E m O ) F=\\begin\{pmatrix\} E\_m & O\\end\{pmatrix\} F=(EmO)、 F = ( E n O ) F=\\begin\{pmatrix\} E\_n\\\\ O\\end\{pmatrix\} F=(EnO)、 F = E F=E F=E三种特殊情况，分别对应s=m<n、s=n<m、s=m=n

# NxN型线性方程组 #

## NxN型齐次线性方程组 ##

齐次线性方程组Ax=0一定有解x=0，把这个解称为Ax=0的**零解**；若 u ≠ 0 u\\neq0 u=0也是它的解，则称u是Ax=0的**非零解**

而齐次线性方程组的解分为两种情况：**只有零解**或有**非零解**

NxN型齐次线性方程组Ax=0只有零解（有非零解）的充要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\\neq0 ∣A∣=0，也就是A可逆

## NxN型非齐次线性方程组 ##

NxN型非齐次线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\\neq0 ∣A∣=0（即A可逆），其解为x=A\-1b

克拉默法则：当 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\\neq0 ∣A∣=0时，NxN型非齐次线性方程组Ax=b有唯一解 x i = ∣ B i ∣ ∣ A ∣ , ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) x\_i=\\frac\{|B\_i|\}\{|A|\},(i=1,2,\\cdots,n) xi=∣A∣∣Bi∣,(i=1,2,⋯,n)，其中Bi是把A的第i列换为b所得的矩阵

## 解系数矩阵为可逆矩阵的线性方程组的三种方法 ##

1.  初等行变换法
    
    运算量最小，需要将矩阵变为左边是单位矩阵，右边是方程的解的形式
2.  求逆矩阵法
    
    运算量中等，需要求出A的行列式和伴随矩阵
3.  利用克拉默法则
    
    运算量最大，需要算出A和b的对应矩阵、行列式