线性代数：方程组

快来打我* 2021-11-23 03:56 469阅读 0赞

# 齐次方程组： #

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就是这个样子的，后面的自由项全是0的方程组叫齐次方程组。

那我们现在把未知数前面的系数全部提出来，就形成了一个m\*n矩阵，其实这个矩阵就是方程组的系数矩阵。那么根据这个系数矩阵我们就可以唯一确定一个齐次方程组。如果m=n，那么这个东西就有行列式了。

如果把所有的x都提取出来，那么久形成了一个未知数矩阵。

## 齐次方程组的三种形式； ##

### 矩阵形式： ###

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这个就是矩阵形式，始终记住我们矩阵的乘法运算是怎么算的。

### 向量形式： ###

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### 普通形式： ###

其实就是我们上面说的那个基本定义式子

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

# 齐次方程组的解 #

记住一个小技巧，在方程组中，它的系数矩阵的秩是几，就表示独立方程的个数。矩阵的秩就是行阶梯矩阵的台阶数。

我们要知道一个常识，那就是，一个独立方程，控制一个未知数，也就是说，一个未知数，它有一个独立方程的话就能解出来。如果是两个未知数，那么久必须要两个独立方程才能解出来。少了就不行。

### 方程组有解的条件： ###

**首先看第一条：**

![20190726112458196.png][]

我们上面已经说了，一个未知数需要一个独立方程，同样我们还说了，矩阵的秩就是独立方程的个数。那么现在秩是n。就表示方程组的n个未知数有n个独立方程来控制了，每一个未知数都被控制了，那么这个方程一定是有唯一的解的。而在齐次方程组中，这个解就是零解。

**第二种：**

![20190726112730376.png][]

很明显，当秩少于未知数的个数的时候，这个时候，有一些未知数就没有办法被独立方程限制，因为独立方程的个数不够。这个时候，方程组就会出现无穷多个解，因为有未知数没有办法被限制，那么它的取值就是负无穷到正无穷。

# 解的性质： #

性质一：

![20190726113050480.png][]

这句话的意思就是说，如果![\\large \\delta 1][large _delta 1]和![\\large \\delta 2][large _delta 2]都是方程组的解，那么这两个解的线性组合也是方程组的解。

# 基础解系： #

很明显，考研的时候是一定会考秩r(A)<n的情况的。这个时候一定是无穷多个解。但是我们都知道，无穷多个解我们是没有办法一一列举出来的。所以我们就有了基础解系这个概念，它是这无穷多个解的代表。

想要成为代表，那么肯定要有这几个要求；

1.首先，要代表无穷多个解，那么你首先得是解。

2.线性无关，就是这些个解之间，谁都没有办法表示另外一个。就是说，你随便怎么变换，都没有办法变成另外一个解。

3.基础解系的成员个数=n-r(A)

### 基础解系的求解方法： ###

我们严格按照程序办事

1.将方程组的系数矩阵使用初等**行**变换化为行阶梯矩阵或者最简行阶梯矩阵，注意了，化的过程中通通使用初等行变换。

2.按照列找出一个秩为r(A)的子矩阵。则剩余位置的元素就是自由变量。

3.按照基础解系的定义，写出通解。

**举个栗子：**

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**第一步：**化成行阶梯矩阵

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

**第二步：**找出一个秩为3的子矩阵

找的技巧，每一个台阶上任取一列。比如我们这里找的是第1、2、5这散列，那么3和4就是剩下的位置，那么就是自由变量。

**第三步：**按照基础解系定义写出通解

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我们一定要记住，这里的通解，一定是满足方程组的解的那3个要求的。

所以确定通解的时候我们有下面3步：

a.确定通解的个数

b.解之间线性无关

**记住一个小技巧**：当我们在自由变量的区域赋值的时候，我们要保证它的行列式不等于0，那么这个就一定是线性无关的。

c.是解

我们把确定了自由变量的的解，带到系数矩阵中去确定剩下位置的解。

**最后的结果：**

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