MIT 线性代数导论第一讲：线性方程组的几何解释

不念不忘少年蓝@ 2022-05-09 02:52 151阅读 0赞

这一讲主要是从行和列两个角度看待方程组的几何解释：

### 行图像（row picture） ###

从每个方程的角度理解，例如方程组：  
 \{ 2 x − y = 0 − x + 2 y = 3 \\left\\\{\\begin\{matrix\} 2x-y=0\\\\ -x+2y=3 \\end\{matrix\}\\right. \{ 2x−y=0−x\+2y=3

其中每一个方程可以看作二维平面上的一条直线，因此，整个方程组的解就是两条直线的交点，这个是我们习惯的想法，图像如下：  
![在这里插入图片描述][70]  
更为重要的思路是接下来的列图像的方式进行几何解释，这是线性代数最为核心的思路。

### 列图像（column picture） ###

我们换一种想法，在列上考虑**整体方程组**，而不是单个的方程，可以得到下面的形式

x \[ 2 − 1 \] + y \[ − 1 2 \] = \[ 0 3 \] x\\begin\{bmatrix\} 2\\\\ -1 \\end\{bmatrix\}+y\\begin\{bmatrix\} -1\\\\ 2 \\end\{bmatrix\} = \\begin\{bmatrix\} 0\\\\ 3 \\end\{bmatrix\} x\[2−1\]\+y\[−12\]=\[03\]

那么我们将括号中的内容理解为向量，那么线性方程组就转化为求解一组解 x x x, y y y使的前面两个向量的组合可以得到第三个向量，从图像上可以更清楚地理解：  
![在这里插入图片描述][70 1]

那么进一步，我们可以使用矩阵的形式表示上述过程，将系数与未知量分开，如下：  
 ( 2 − 1 − 1 2 ) ( x y ) = ( 0 3 ) \\begin\{pmatrix\} 2 & -1\\\\ -1 & 2 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} x\\\\ y \\end\{pmatrix\} = \\begin\{pmatrix\} 0\\\\ 3 \\end\{pmatrix\} (2−1−12)(xy)=(03)  
将上述的过程一般化，我们可以使用矩阵 A A A表示系数矩阵， x x x向量表示要求的线性组合，使用向量 b b b表示组合的结果：  
 A x = b Ax = b Ax=b  
这就是线性代数中所常见的矩阵相乘的形式。

二维的情况比较好理解，教授在课上还举了一个三维的例子，其实原理是一样的，如果拓展到更高维的空间，方法还是一样的。

### 关于 A x = b Ax=b Ax=b 存在解的问题 ###

考虑问题：对于任意的一个向量b，是否总存在x使得上式成立。对应上面的过程，其实这个问题就是使用A（这里矩阵可以理解为多个列向量）的列向量，是否可以覆盖整个空间？例如  
A中是二维向量，那么是否可以通过一定的线性组合覆盖整个平面？（三维就是覆盖整个空间）那么，我们可以想到，对于二维空间，如果两个向量恰好在一条直线上，那么显然无法覆盖整个平面，如果是一般的情况则是可以的，对于这个解的问题，是线性代数的一个重要问题，后面会有更具体的解释。

以上~

[70]: /images/20220509/93023caf9e504f65a4bffac78214639d.png
[70 1]: /images/20220509/daaaf81e8eaa4ff586f91c43e68b19fc.png