MIT 线性代数导论第十八讲：行列式及其性质

梦里梦外; 2022-05-09 15:54 247阅读 0赞

从这一讲开始新的章节。这一讲主要是一些基础概念性质，所以比较简单。

本讲的主要内容：

*  行列式的概念
 *  行列式的重要性质

### 行列式的概念以及基本的三个性质 ###

行列式是由**方阵**  A A A 确定的一个标量，记作  d e t a det \\enspace a deta 或者  ∣ A ∣ |A| ∣A∣， 可以看作是面积或者体积向高维空间的拓展。这里要注意的概念是我们一般意义上的考虑都是考虑方阵的行列式  
行列式的三个基本性质：

*  **1**  d e t I = 1 det \\enspace I = 1 detI=1 也就是单位矩阵的行列式值等于1（其实是对角线的数值的乘积）
 *  **2** 交换矩阵的两行，行列式的值会改变符号，所以由这个性质可以得出，任意的一个置换矩阵，它的行列式值是0或者1
 *  **3.1**关于提取行列式中某一行的公因数的操作：  ∣ t a t b c d ∣ = t ∣ a b c d ∣ \\begin\{vmatrix\} ta & tb\\\\ c & d \\end\{vmatrix\}= t\\begin\{vmatrix\} a &b \\\\ c &d \\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣tactbd∣∣∣∣=t∣∣∣∣acbd∣∣∣∣
 *  **3.2** 关于拆分行列式： ∣ a + a ′ b + b ′ c d ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a ′ b ′ c d ∣ \\begin\{vmatrix\} a+ a\{\}&\#x27; & b+b\{\}&\#x27;\\\\ c & d \\end\{vmatrix\}= \\begin\{vmatrix\} a &b \\\\ c &d \\end\{vmatrix\} + \\begin\{vmatrix\} a\{\}&\#x27; &b\{\}&\#x27; \\\\ c & d \\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣a\+a′cb\+b′d∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣\+∣∣∣∣a′cb′d∣∣∣∣

上面的三个性质作为行列式的最重要的三个性质，后边的结论都可以有这三条推出。

### 重要推论 ###

*  如果方阵的某两行一样，则行列式值为0，可以使用性质2推出
 *  将某一行的乘以某个数加到另一行上，行列式的值不会变，比如： ∣ a b c − l a d − l b ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a b − l a − l b ∣ = ∣ a b c d ∣ \\begin\{vmatrix\} a &b \\\\ c-la &d-lb \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} a & b\\\\ c & d \\end\{vmatrix\}+\\begin\{vmatrix\} a &b \\\\ -la & -lb \\end\{vmatrix\}=\\begin\{vmatrix\} a & b\\\\ c & d \\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣ac−labd−lb∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣\+∣∣∣∣a−lab−lb∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣
 *  如果方阵中有某一行全为0，则行列式的值为0
 *  关于上三角矩阵的行列式： U = ∣ d 1 ∗ ∗ ∗ 0 d 2 ∗ ∗ . . . . . . . . . . . . 0 0 0 d n ∣ ⇒ d e t U = d 1 d 2 . . . d n U=\\begin\{vmatrix\} d\_\{1\} & \* & \* & \*\\\\ 0 & d\_\{2\} & \* & \*\\\\ ... & ... & ... &... \\\\ 0 & 0 & 0 & d\_\{n\} \\end\{vmatrix\}\\Rightarrow det U = d\_\{1\}d\_\{2\}...d\_\{n\} U=∣∣∣∣∣∣∣∣d10...0∗d2...0∗∗...0∗∗...dn∣∣∣∣∣∣∣∣⇒detU=d1d2...dn 这里可以继续进行消元直到化简为和行最简形，这一条也是我们计算行列式的重要方法，实际上，在很多计算软件中，都是先进性消元过程将矩阵转化为上三角矩阵，然后再进行计算。
 *  如果行列式的值为0，则矩阵是奇异矩阵，也就是矩阵没有逆。
 *   d e t A B = ( d e t A ) ( d e t B ) det \\enspace AB =(det\\enspace A )(det \\enspace B) detAB=(detA)(detB)
 *   d e t A − 1 = 1 d e t A det A^\{-1\} = \\frac\{1\}\{detA\} detA−1=detA1 、 d e t A 2 = ( d e t A ) 2 detA^\{2\} = (detA)^\{2\} detA2=(detA)2
 *   d e t 2 A = 2 n d e t A det 2A = 2^\{n\}detA det2A=2ndetA 这三条都可以通过矩阵乘积的行列式分解得出
 *   d e t A T = d e t A det A^\{T\} = det A detAT=detA 这一条结论可以先将方阵进行LU分解，那么得到的是矩阵等于下三角矩阵乘上三角矩阵的形式，在这种形式下，行列式的值会比较好计算，结论就会很明显。

这一讲的这些性质会在之后的计算中用到。

以上~