MIT 线性代数导论第七讲：Ax=0求解

Love The Way You Lie 2022-05-09 09:58 249阅读 0赞

本讲的主要内容有：

*  计算  A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解（求零空间）
 *  理解主变量以及自由变量的概念
 *   A x = 0 Ax=0 Ax=0 的特殊解

#### 求解  A x = 0 Ax=0 Ax=0 ####

首先举一个例子，并进行消元过程，消元过程在之前讲到过：  
 A = ( 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ) ⇒ ( 1 2 2 2 0 0 2 4 0 0 2 4 ) ⇒ ( \[ 1 \] 2 2 2 0 0 \[ 2 \] 4 0 0 0 0 ) = U A = \\begin\{pmatrix\} 1 & 2 & 2 & 2\\\\ 2 & 4 & 6 & 8\\\\ 3 & 6 & 8 & 10 \\end\{pmatrix\} \\Rightarrow \\begin\{pmatrix\} 1 & 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 & 4\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 \\end\{pmatrix\} \\Rightarrow \\begin\{pmatrix\} \\left \[ 1 \\right \] & 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & \\left \[ 2 \\right \] & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} = U A=⎝⎛1232462682810⎠⎞⇒⎝⎛100200222244⎠⎞⇒⎝⎛\[1\]002002\[2\]0240⎠⎞=U

这里还应该注意几个地方，最后一个矩阵，我们简记为  U U U （虽然它不是一个上三角矩阵，但是形式是类似的），其中标记了两个元素，这两个元素之前也提到过，叫做**主元**，或者**主变量**，主元所在的列，称为**主列**（pivot columns），那么剩下的列称为**自由列**（free columns），另外，这种形式的矩阵称为**阶梯形式**（echelon form），在消元过程中，我们得到这一步的矩阵之后，接下来就要进行“回代”操作了，也就是恢复成方程形式：  
 \{ x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 0 2 x 3 + 4 x 4 = 0 \\left\\\{\\begin\{matrix\} x\_\{1\}+2x\_\{2\}+2x\_\{3\}+2x\_\{4\} = 0\\\\ 2x\_\{3\} + 4x\_\{4\} = 0 \\end\{matrix\}\\right. \{ x1\+2x2\+2x3\+2x4=02x3\+4x4=0

由于自由变量的赋值是任意的，所以为了方便的表示解，我们可以依次取一个自由变量为1，其余的自由变量为0，例如在这里，其中  x 2 ， x 4 x\_\{2\} ，x\_\{4\} x2，x4 是自由变量所以我们依次赋值1，另一个自由变量为0，得到下面的两个解：  
 a = ( − 2 1 0 0 ) , b = ( 2 0 − 2 1 ) a=\\begin\{pmatrix\} -2\\\\ 1\\\\ 0\\\\ 0 \\end\{pmatrix\}, b=\\begin\{pmatrix\} 2\\\\ 0\\\\ -2\\\\ 1 \\end\{pmatrix\} a=⎝⎜⎜⎛−2100⎠⎟⎟⎞,b=⎝⎜⎜⎛20−21⎠⎟⎟⎞  
那么如何表示所有的解呢？或者说如何构造方程的解空间？（在这里方程右侧为0，也就是指零空间），我们可以是说这两个解其实是零空间的基，对它们的线性组合也就构成了整个空间，所以，表示这个任意的线性组合即可：  
 x = c ( − 2 1 0 0 ) + d ( 2 0 − 2 1 ) x=c\\begin\{pmatrix\} -2\\\\ 1\\\\ 0\\\\ 0 \\end\{pmatrix\}+ d\\begin\{pmatrix\} 2\\\\ 0\\\\ -2\\\\ 1 \\end\{pmatrix\} x=c⎝⎜⎜⎛−2100⎠⎟⎟⎞\+d⎝⎜⎜⎛20−21⎠⎟⎟⎞  
其中  c ， d c，d c，d 均为任意值，也就表示了所有的线性组合了。这个结果，称作 **特殊解（special solution）**。

此外，还可以继续对上面的那个”阶梯形式“矩阵继续进行化简，从而得到一种更加简单的形式：  
 ( 1 2 2 2 0 0 2 4 0 0 0 0 ) ⇒ ( 1 2 0 − 2 0 0 1 2 0 0 0 0 ) \\begin\{pmatrix\} 1 & 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} \\Rightarrow \\begin\{pmatrix\} 1 & 2 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} ⎝⎛100200220240⎠⎞⇒⎝⎛100200010−220⎠⎞  
这种形式的矩阵称为 **简化行阶梯矩阵（reduced row echelon）**，它的特点是：**所有的主元所在的列，只有主元为1，其余的元素都是0**，其实我们如果将所有的主元列都拿出来，去掉多余的全为0的行，得到的结果就是一个单位矩阵，这个矩阵简记为  R R R。

#### 关于最简形式 ####

行最简形矩阵  R R R 如果调整列的位置，都有如下的形式：  
 R = ( I F 0 0 ) R=\\begin\{pmatrix\} I & F\\\\ 0 & 0 \\end\{pmatrix\} R=(I0F0)  
也就是将主列 (  I I I ) 排列在前，自由列 (  F F F ) 排列在后，矩阵的下面会有0或者若干全为0行。  
对于  A x = 0 Ax=0 Ax=0 我们将特殊解的列向量组成一个矩阵，使得这个矩阵的列空间等同于方程为解空间，这个矩阵称为\*\*零空间矩阵（nullspace of matrix）\*\*简记为  N N N ，则会有一个规律：  
 N = ( − F I ) N = \\begin\{pmatrix\} -F\\\\ I \\end\{pmatrix\} N=(−FI)  
其实使用上述过程计算一个方程的例子就很容易发现，因为这其实只是将方程最简形式移项即可，最后附上一个更清楚的例子：  
 A = ( 1 2 3 2 4 6 2 6 8 2 8 10 ) ⇒ ( 1 2 3 0 0 0 0 2 2 0 4 4 ) ⇒ ( 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 ) A=\\begin\{pmatrix\} 1 &2 &3 \\\\ 2 &4 &6 \\\\ 2 & 6 &8 \\\\ 2 & 8 &10 \\end\{pmatrix\} \\Rightarrow \\begin\{pmatrix\} 1 &2 &3 \\\\ 0 &0 &0 \\\\ 0 & 2 &2 \\\\ 0 & 4 &4 \\end\{pmatrix\}\\Rightarrow \\begin\{pmatrix\} \{\\color\{Red\} 1\} &\{\\color\{Red\} 0\} &1 \\\\ \{\\color\{Red\} 0\} &\{\\color\{Red\} 1\} &1 \\\\ 0 & 0 &0 \\\\ 0 & 0 &0 \\end\{pmatrix\} A=⎝⎜⎜⎛1222246836810⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛100020243024⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛100001001100⎠⎟⎟⎞  
其中标红的部分为主元，最后构成一个单位矩阵，右侧就是自由变量构成的矩阵  F F F，我们将这个方程解出来,  
可以看出：  
 x = c ( − 1 − 1 1 ) = c ( − F I ) x=c\\begin\{pmatrix\} -1\\\\ -1\\\\ 1 \\end\{pmatrix\}= c\\begin\{pmatrix\} -F\\\\ I \\end\{pmatrix\} x=c⎝⎛−1−11⎠⎞=c(−FI)

以上~