MIT 线性代数导论第十九、二十讲：行列式公式、代数余子式、克拉默法则

墨蓝 2022-05-05 19:00 346阅读 0赞

这一部分内容没有重要的内容（个人觉得哈，毕竟没有谁会手算行列式之类的吧，所以简单了解一下就好了…反正我已经修过线性代数了哈哈）

本讲的主要内容：

*  行列式公式
 *  代数余子式的概念以及计算方法
 *  三对角线矩阵行列式规律
 *  矩阵逆的公式
 *  克拉默法则
 *  行列式与体积的关系

### 行列式公式 ###

利用上一讲里拆分的性质，可以归纳出这个公式，就比如这样：

最终公式为：  
 d e t A = ∑ ± a 1 α a 1 β a 1 γ . . . a 1 ω ， α , β , γ . . . . ω , p e r m ( 1... n ) det \\enspace A = \\sum \\pm a\_\{1\\alpha \}a\_\{1\\beta \}a\_\{1\\gamma \}...a\_\{1\\omega \}，\\alpha ,\\beta ,\\gamma ....\\omega , perm(1...n) detA=∑±a1αa1βa1γ...a1ω，α,β,γ....ω,perm(1...n)  
这个求和公式共有  n ! n! n! 项相加，简单来说，行列式的值就是从每列每行中取出一个元素，对这些元素进行累乘，，而对于一个 n n n阶的方阵，这张排列方式有  n ! n! n! 中，对这些项求和，同时要考虑这些项的符号问题，其实就是看将这些排列恢复成从小到大（按列）的标准顺序所需要交换的次数，我们之前的性质里讲到了交换会使得行列式换号，所以如果总的交换次数是奇数，那么就是-1，反之就是1。（比如按列的序号排列是132，那么恢复成标准顺序是123，交换了一次，所以应该是-1，这里其实是有逆序数的概念，不过意思就是这样）

### 代数余子式(cofactor) ###

代数余子式用来对原来的方阵进行划分，直接描述：  
 c o f a c t o r a i j = ± ( ( n − 1 ) m a t r i x w i t h o u t r o w i , c o l u m n j ) cofactor \\enspace a\_\{ij\} = \\pm((n-1)matrix \\enspace without \\enspace row\_\{i\}, column\_\{j\}) cofactoraij=±((n−1)matrixwithoutrowi,columnj)  
关于某个元素的代数余子式，其数值部分等于去掉这个元素所在的行列之后的矩阵的行列式，对于符号，如果  ( i + j ) (i+j) (i\+j) 是奇数，那么符号为负，否则为正。所以，如果我们想要计算行列式的话，可以使用代数余子式的形式进行不断的 “降阶”， 简化成容易计算的形式（当然，也很麻烦）。可以先应用之前的性质，将行列式转化为某一列只有一个非零数，那么就会简单许多了。

### 一个三对角线的例子 ###

这个例子是：  
 ∣ 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 ∣ \\begin\{vmatrix\} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 &0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣∣∣∣∣1100111001110011∣∣∣∣∣∣∣∣  
这个方阵很有特点，可以说是有 “三条对角线”， 如果我们使用上面的代数余子式的方法进行化简结果，就会发现  ∣ A n ∣ = ∣ A n − 1 ∣ + ∣ A n − 2 ∣ |A\_\{n\}| = |A\_\{n-1\}| + |A\_\{n-2\}| ∣An∣=∣An−1∣\+∣An−2∣ ，例如：自左上角的矩阵开始，计算三阶（ ∣ 1 1 0 1 1 1 0 1 1 ∣ \\begin\{vmatrix\} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ \\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣∣∣110111011∣∣∣∣∣∣）的行列式，那么等于二阶的（ ∣ 1 1 1 1 ∣ \\begin\{vmatrix\} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \\\\ \\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣1111∣∣∣∣）减去一阶（ ∣ 1 ∣ |1| ∣1∣）的行列式。

### 逆矩阵公式 ###

直接给出公式：可以根据代数余子式具体展开按每列的方式进行验证  
 A − 1 = 1 d e t A C T A^\{-1\} = \\frac\{1\}\{det \\enspace A\}C^\{T\} A−1=detA1CT  
这里  C C C 是指每个位置元素的代数余子式组成的矩阵， C T C^\{T\} CT 一般称为伴随矩阵。

### 克拉默（Crammer）法则 ###

首先要明确，克拉默发则形式很好看，但是非常不实用。对于方程  A x = b Ax=b Ax=b 写成逆矩阵形式  x = A − 1 b x = A^\{-1\}b x=A−1b ，代入上面得到的逆矩阵公式： x = 1 d e t A C T b x = \\frac\{1\}\{det\\enspace A\}C^\{T\}b x=detA1CTb，对于方程的不同解，有如下式子成立：  
 x 1 = 1 d e t A B 1 x 2 = 1 d e t A B 2 . . . x 3 = 1 d e t A B 3 x\_\{1\} = \\frac\{1\}\{det \\enspace A\}B\_\{1\} \\\\ x\_\{2\} = \\frac\{1\}\{det \\enspace A\}B\_\{2\} \\\\ ...\\\\ x\_\{3\} = \\frac\{1\}\{det \\enspace A\}B\_\{3\} \\\\ x1=detA1B1x2=detA1B2...x3=detA1B3  
解都有统一的形式，只是矩阵  B B B 不同，对于  B j B\_\{j\} Bj 就等于矩阵  A A A 将第  j j j 列替换为  b b b。这个法则形式好看大于实用价值，因为行列式值实在不好计算。

### 行列式与体积的关系 ###

行列式其实是列向量构成的那个多面体的体积，举例子来说，一个3\*3的矩阵，一般情况下，三个列向量在不同方向上可以构成一个平行六面体，那么这个平行六面体的体积就是这个矩阵的行列式值。这里如果是两个二维向量  ( a , b ) , ( c , d ) (a,b), (c,d) (a,b),(c,d) 分别平移之后形成一个平行四边形，计算这个平行四边形的面积，使用行列式的方式就是  S = a d − b c S = ad - bc S=ad−bc 比之前的底乘高的方式要简单一些。对于更加一般的情况（这两个向量的的起点不在原点），有下面的面积公式：  
 S = 1 2 ∣ x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ∣ S = \\frac\{1\}\{2\}\\begin\{vmatrix\} x\_\{1\} & y\_\{1\} &1 \\\\ x\_\{2\} & y\_\{2\} &1 \\\\ x\_\{3\} & y\_\{3\} &1 \\end\{vmatrix\} S=21∣∣∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3111∣∣∣∣∣∣  
其中  x , y x,y x,y分别是三个点的坐标。

这一部分作了解。

以上~