MIT 线性代数导论第二十二讲：矩阵对角化和幂

喜欢ヅ旅行 2022-05-03 23:52 274阅读 0赞

本讲的主要内容

*  对角化矩阵的概念以及方法
 *  计算矩阵的幂的对角化方法
 *  几个例子

### 对角化矩阵、计算矩阵的幂 ###

对于一个有  n n n 个不同特征向量（其实就是说所有的特征值均不同）的矩阵  A A A，讲它的  n n n 个特征向量组成一个矩阵  S S S ，如果我们计算  A S AS AS 可以有如下过程：  
 A S = A ( x 1 , x 2 , x 3 . . . x n ) = ( λ 1 x 1 , λ 2 x 2 , . . . . λ n x n ) = ( x 1 , x 2 , x 3 . . . x n ) ( λ 1 . . . 0 . . . . . . . . . 0 . . . λ n ) = S Λ AS = A(x\_\{1\}, x\_\{2\}, x\_\{3\}...x\_\{n\}) = (\\lambda\_\{1\}x\_\{1\},\\lambda\_\{2\}x\_\{2\},....\\lambda\_\{n\}x\_\{n\})=(x\_\{1\}, x\_\{2\},x\_\{3\}...x\_\{n\})\\begin\{pmatrix\} \\lambda\_\{1\} &... & 0\\\\ ... & ... & ...\\\\ 0 &... & \\lambda\_\{n\} \\end\{pmatrix\}=S\\Lambda AS=A(x1,x2,x3...xn)=(λ1x1,λ2x2,....λnxn)=(x1,x2,x3...xn)⎝⎛λ1...0.........0...λn⎠⎞=SΛ

一定注意上面的式子成立的条件是矩阵有  n n n 个不同的特征向量，如果我们将上面的结论继续做变化：  
 A = S Λ S − 1 A = S\\Lambda S^\{-1\} A=SΛS−1

那么现在就可以拿到这个形式很好看的等式了。使用这个等式我们可以简化很多矩阵的幂的计算，例如计算  A 2 A^\{2\} A2:  
 A 2 = ( S Λ S − 1 ) 2 = S Λ S − 1 S Λ S − 1 = S Λ 2 S − 1 A^\{2\} = (S\\Lambda S^\{-1\})^\{2\} =S\\Lambda S^\{-1\}S\\Lambda S^\{-1\} = S\\Lambda^\{2\}S^\{-1\} A2=(SΛS−1)2=SΛS−1SΛS−1=SΛ2S−1

### 利用对角化计算差分方程 ###

对于矩阵  A A A ，如果有列向量  u i u\_\{i\} ui 总有  u i + 1 = A u i u\_\{i+1\} = Au\_\{i\} ui\+1=Aui，现在已知  A , u 0 A, u\_\{0\} A,u0，如何求解  u k u\_\{k\} uk？  
首先展开这个递推式：  
 u k = A u k − 1 = . . . = A k u 0 u\_\{k\} = Au\_\{k-1\}=... = A^\{k\}u\_\{0\} uk=Auk−1=...=Aku0  
然后把矩阵对角化（当然，这个问题的前提是矩阵可以对角化），有： u k = S Λ k S − 1 u 0 u\_\{k\} = S\\Lambda^\{k\}S^\{-1\}u\_\{0\} uk=SΛkS−1u0，这时候，前提条件中的  n n n 个线性无关的特征向量就有用了， 对于  u 0 u\_\{0\} u0 这个 n n n维向量，可以用这  n n n 个特征向量来表示，可以有：  
 u 0 = c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ( c 1 c 2 . . . c n ) = S C u\_\{0\} = c\_\{1\}x\_\{1\} + c\_\{2\}x\_\{2\} +...+c\_\{n\}x\_\{n\} = (x\_\{1\}, x\_\{2\}, ...,x\_\{n\})\\begin\{pmatrix\} c\_\{1\}\\\\ c\_\{2\}\\\\ ... \\\\ c\_\{n\} \\end\{pmatrix\}= SC u0=c1x1\+c2x2\+...\+cnxn=(x1,x2,...,xn)⎝⎜⎜⎛c1c2...cn⎠⎟⎟⎞=SC  
其中  S S S 跟前面对角化中的矩阵是一样的，都是特征向量组成的矩阵，把这个式子代入前面的  A k u 0 A^\{k\}u\_\{0\} Aku0，就可以得到最终的结论：  
 u k = A k u 0 = S Λ k C u\_\{k\} = A^\{k\}u\_\{0\} = S\\Lambda^\{k\}C uk=Aku0=SΛkC  
计算这个表示线性组合的向量  C C C 还是比较简单的，所以计算的过程简单了一些。

### 计算Fibonacci 数列 ###

这一个例子是上面的一个应用，首先我们知道斐波那契数列是：  
 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5...... 0,1,1,2,3,5...... 0,1,1,2,3,5......  
也就是：  
 F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) , ( n > = 3 ) F(n) = F(n-1) + F(n-2) ,(n>=3) F(n)=F(n−1)\+F(n−2),(n>=3)  
为了使用对角化的知识计算，令  u k = ( F k + 1 F k ) u\_\{k\} = \\begin\{pmatrix\} F\_\{k+1\}\\\\ F\_\{k\} \\end\{pmatrix\} uk=(Fk\+1Fk)，构造差分方程组：  
 \{ F ( k + 2 ) = F ( k + 1 ) + F ( k ) F ( k + 1 ) = F ( k + 1 ) \\left\\\{\\begin\{matrix\} F(k+2) = F(k+1) + F(k)\\\\ F(k+1) = F(k+1) \\end\{matrix\}\\right. \{ F(k\+2)=F(k\+1)\+F(k)F(k\+1)=F(k\+1)  
这时候，我们可以得到：  
 u k + 1 = A u k ， A = ( 1 1 1 0 ) u\_\{k+1\} = Au\_\{k\}，A=\\begin\{pmatrix\} 1 &1 \\\\ 1&0 \\end\{pmatrix\} uk\+1=Auk，A=(1110)  
这样，我们就构造了上面一样的递推形式，接下来按照对角化矩阵  A A A 然后就可以计算  S Λ k C S\\Lambda^\{k\}C SΛkC就可以快速计算了。

用线性代数解决斐波那契数列，感觉真的是…Amazing！，学数学的人真厉害啊。

以上~