MIT 线性代数导论第十六讲：投影矩阵和最小二乘

╰半夏微凉° 2022-05-08 14:46 378阅读 0赞

本讲的主要内容：

*  简单回顾前一讲中的投影矩阵的概念
 *  结合例子具体说明最小二乘
 *  证明  A T A A^\{T\}A ATA 是可逆的

### 回顾 ###

上一讲的最重要的知识点如下：

*   p = A x p= Ax p=Ax
 *   P = A ( A T A ) − 1 A T P=A(A^\{T\}A)^\{-1\}A^\{T\} P=A(ATA)−1AT
 *   A T A x = A T b A^\{T\}Ax=A^\{T\}b ATAx=ATb

首先定义 p p p 是向量投影在向量空间 A A A的分向量， P P P称为投影矩阵，作用是将某个向量投影到一个向量空间中，例如： P b Pb Pb 表示将  b b b 投影到  A A A 的列空间里，这里有几种特殊情况：

*   b b b 在  C ( A ) C(A) C(A)里，则 P b = b Pb=b Pb=b
 *   b b b 正交于 C ( A ) C(A) C(A)，则 P b = 0 Pb=0 Pb=0  
    这些是上一讲的知识，在本讲中主要是如何应用到最小二乘法中。

### 应用：最小二乘法 ###

继续使用上一讲最后的例子，首先要对两张图有概念：  
![70][]  
这张图中，两个正交的向量空间  C ( A ) C(A) C(A) 和  N ( A T ) N(A^\{T\}) N(AT) ，其中有一个向量  b b b不属于这两个空间，现在对这个向量向两个空间投影，分别得到 p p p和 e e e.  
![70 1][]  
这也就是之前的例子了，有三个数据点（1，1），（2，2），（3，2），我们想要拟合出一条直线使得三个点到直线的距离最小，也就是最优，其中数据点投影到直线为 p p p，距离向量是 e e e。

接下来开始，  
假设对这些数据点进行拟合的曲线为  y = C + D t y = C + Dt y=C\+Dt，其中根据原来的数据点的关系  A x = b Ax=b Ax=b，可以写成：  
 ( 1 1 1 2 1 3 ) ( C D ) = ( 1 2 3 ) \\begin\{pmatrix\} 1 &1 \\\\ 1 &2 \\\\ 1 &3 \\end\{pmatrix\}\\begin\{pmatrix\} C\\\\ D \\end\{pmatrix\}=\\begin\{pmatrix\} 1\\\\ 2\\\\ 3 \\end\{pmatrix\} ⎝⎛111123⎠⎞(CD)=⎝⎛123⎠⎞  
要明确，这个时候方程是无解（因为数据点并不在直线上）我们的目标就是，最小化数据点到直线的距离，也就是： ∥ A x − b ∥ 2 = ∥ e ∥ 2 \\left \\| Ax-b \\right \\|^\{2\} = \\left \\| e \\right \\|^\{2\} ∥Ax−b∥2=∥e∥2，这个式子也等价于：  
 ∥ A x − b ∥ 2 = ∥ e ∥ 2 ⇔ e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 ⇔ ( C + D − 1 ) 2 + ( C + 2 D − 2 ) 2 + ( C + 3 D − 2 ) 2 \\left \\| Ax-b \\right \\|^\{2\} = \\left \\| e \\right \\|^\{2\}\\Leftrightarrow e\_\{1\}^\{2\} + e\_\{2\}^\{2\} + e\_\{3\}^\{2\}\\Leftrightarrow (C+D-1)^\{2\} + (C+2D-2)^\{2\}+(C+3D-2)^\{2\} ∥Ax−b∥2=∥e∥2⇔e12\+e22\+e32⇔(C\+D−1)2\+(C\+2D−2)2\+(C\+3D−2)2  
（其中第二个是相当于第二个图中距离向量的关系，第三个则是将(1,1)等数据点代入得到）

我们的目的是解出  C C C 和  D D D 以及投影后的向量 P P P，根据由之前的讲到的关于最小二乘的方程（也就是投影）：  
 A T A x ^ = A T b A^\{T\}A\\hat\{x\} = A^\{T\}b ATAx^=ATb  
代入三个数据点得到：  
 ( 3 6 6 14 ) ( C D ) = ( 5 11 ) \\begin\{pmatrix\} 3 &6 \\\\ 6 &14 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} C\\\\ D \\end\{pmatrix\}= \\begin\{pmatrix\} 5\\\\ 11 \\end\{pmatrix\} (36614)(CD)=(511)  
接下来消元解方程得到： C = 1 / 2 C=1/2 C=1/2， D = 2 / 3 D=2/3 D=2/3 表示求得的最优方程是： y = 2 / 3 + 1 / 2 t y=2/3 + 1/2t y=2/3\+1/2t  
得到了这个方程，那我们就可以得到所有的量了，  
首先将三个数据点代入最优方程，可得到投影 P = ( 7 / 6 5 / 3 13 / 6 ) P=\\begin\{pmatrix\} 7/6\\\\ 5/3\\\\ 13/6 \\end\{pmatrix\} P=⎝⎛7/65/313/6⎠⎞根据 P P P和 b b b可以计算出误差 e = ( 1 / 6 − 2 / 6 1 / 6 ) e=\\begin\{pmatrix\} 1/6\\\\ -2/6\\\\ 1/6 \\end\{pmatrix\} e=⎝⎛1/6−2/61/6⎠⎞它们之间的关系有：  
 b = p + e , 即 ： ( 1 2 2 ) = ( 7 / 6 5 / 3 13 / 6 ) + ( 1 / 6 − 2 / 6 1 / 6 ) b = p+e,即：\\begin\{pmatrix\} 1\\\\ 2\\\\ 2 \\end\{pmatrix\}= \\begin\{pmatrix\} 7/6\\\\ 5/3\\\\ 13/6 \\end\{pmatrix\}+\\begin\{pmatrix\} 1/6\\\\ -2/6\\\\ 1/6 \\end\{pmatrix\} b=p\+e,即：⎝⎛122⎠⎞=⎝⎛7/65/313/6⎠⎞\+⎝⎛1/6−2/61/6⎠⎞  
这一部分的推导过程真的好难表示啊。。但是还是那样，只要写一写过程，就会很容易理解了。

### 证明 A T A A^\{T\}A ATA可逆 ###

如果命题成立，则看这个方程： A T A x = 0 A^\{T\}Ax=0 ATAx=0，显然是只有零解的（可逆也就是满秩，所以没有自由向量，只有零解）  
首先将方程两侧都乘 X T X^\{T\} XT:  
 x T A T A x = 0 x^\{T\}A^\{T\}Ax=0 xTATAx=0  
根据转置的规则，等价于：  
 ( A x ) T ( A x ) = 0 (Ax)^\{T\}(Ax)=0 (Ax)T(Ax)=0  
这种形式是与向量长度的形式是一致的，注意这个地方是向量（ A x = b Ax=b Ax=b，  b b b是列向量），所以可以继续得出下面的结论  
 A x = 0 Ax=0 Ax=0  
因为 A A A是列向量无关的，所以：  
 x = 0 x=0 x=0  
得证。

### 标准正交向量 ###

这里提及了一点接下来的内容，如果我们得到一组相互垂直的单位向量，比如：三维坐标的（1，0，0），（0，1，0）和（0，0，1），或者二维平面中的  ( − s i n θ , c o s θ ) (-sin\\theta,cos\\theta) (−sinθ,cosθ) 和  ( c o s θ , s i n θ ) (cos\\theta,sin\\theta) (cosθ,sinθ)。都称为 标准正交向量

这一部分的内容比较乱，很容易把人绕晕，多推导几遍就好了。

以上~

[70]: /images/20220506/4c3ae072d3154ac5adae0ae4cc774c2a.png
[70 1]: /images/20220506/66be70ef2ba24c2fb0d0b92bc00bba7c.png