MIT 线性代数导论第二十四讲~二十九讲的概念梳理

今天药忘吃喽~ 2022-05-13 15:24 260阅读 0赞

最后的这几讲很多是介绍一些概念以及应用和复习总结，所以简单记录下一下，不再详细展开。  
主要内容有：

*  马尔可夫矩阵以及傅里叶级数的概念
 *  实对称矩阵以及正定矩阵的介绍
 *  相似矩阵的概念
 *  正定矩阵的概念

### 马尔可夫矩阵 ###

马尔可夫矩阵（Markov Matrix） ：

*  首先是一个  n n n 阶的方阵（其实在之后的几讲中，讨论的都是方阵）
 *  方阵中的每个元素都非负
 *  每一列元素的和都等于1

马尔可夫矩阵有两条重要的性质：

*  一定有有特征值等于1
 *  其余的所有的特征值的绝对值都小于1

### 傅里叶级数 ###

对于一个  n n n 维的向量  v v v ，如果有一组此空间的标准正交基 ( q 1 , q 2 , . . . q n ) (q\_\{1\}, q\_\{2\},...q\_\{n\}) (q1,q2,...qn)，则这个向量对于这组基的投影可以表示为：  
 v = x 1 q 1 + x 2 q 2 + . . . + x n q n v = x\_\{1\}q\_\{1\} + x\_\{2\}q\_\{2\}+...+x\_\{n\}q\_\{n\} v=x1q1\+x2q2\+...\+xnqn  
那么，可欧律一个问题，如果要求的其中某一个分量上的分解量，比如求  x i x\_\{i\} xi， 那么可以将上面的式子左右同时乘以  q i T q\_\{i\}^\{T\} qiT，从而得到：  
 q i T v = x 1 q i T q 1 + x 2 q i T q 2 + . . . + x i q i T q i + . . . + x n q i T q n = x i q\_\{i\}^\{T\} v= x\_\{1\}q\_\{i\}^\{T\}q\_\{1\} + x\_\{2\}q\_\{i\}^\{T\}q\_\{2\} + ...+ x\_\{i\}q\_\{i\}^\{T\}q\_\{i\} +...+x\_\{n\}q\_\{i\}^\{T\}q\_\{n\} = x\_\{i\} qiTv=x1qiTq1\+x2qiTq2\+...\+xiqiTqi\+...\+xnqiTqn=xi  
,如果使用  Q = ( q 1 , q 2 , . . . q n ) Q=(q\_\{1\}, q\_\{2\},...q\_\{n\}) Q=(q1,q2,...qn)，则  Q Q Q是一个正交阵，则  ( x 1 , x 2 , . . , x n ) T = Q − 1 v (x\_\{1\}, x\_\{2\},..,x\_\{n\})^\{T\} = Q^\{-1\}v (x1,x2,..,xn)T=Q−1v。  
有了这个方法，再来看傅里叶级数，它的函数表示为：  
 f ( x ) = a 0 + a 1 c o s ( x ) + b 1 s i n ( x ) + a 2 c o s ( 2 x ) + b 2 s i n ( 2 x ) + . . . . f(x) = a\_\{0\} + a\_\{1\}cos(x) + b\_\{1\}sin(x)+a\_\{2\}cos(2x) + b\_\{2\}sin(2x)+.... f(x)=a0\+a1cos(x)\+b1sin(x)\+a2cos(2x)\+b2sin(2x)\+....  
这里可以把每一项看作是空间的一个元素设两个函数的内积为： ∫ 0 2 π f ( x ) g ( x ) d ( x ) \\int\_\{0 \}^\{2\\pi\}f(x)g(x)d(x) ∫02πf(x)g(x)d(x)  
，可以得到，傅里叶级数中的每两项都是相互正交的，例如：  
 ∫ 0 2 π s i n ( x ) c o s ( x ) d ( x ) = 0 \\int\_\{0\}^\{2\\pi\}sin(x)cos(x)d(x) = 0 ∫02πsin(x)cos(x)d(x)=0  
，这里的处理跟上面的很相似，所以给我们的启发就是，如果我们要求傅里叶级数的某一项系数,a\_\{i\},b\_\{i\}，可以将函数进行投影，例如，求a\_\{1\}:  
 ∫ 0 2 π c o s ( x ) f ( x ) d ( x ) = a 0 ∫ 0 2 π c o s ( x ) d x + a 1 ∫ 0 2 π c o s ( x ) 2 d x + b 1 ∫ 0 2 π c o s ( x ) s i n ( x ) d x + . . . . \\int\_\{0\}^\{2\\pi\}cos(x)f(x)d(x) = a\_\{0\}\\int\_\{0\}^\{2\\pi\}cos(x)dx+a\_\{1\}\\int\_\{0\}^\{2\\pi\}cos(x)^\{2\}dx+b\_\{1\}\\int\_\{0\}^\{2\\pi\}cos(x)sin(x)dx+.... ∫02πcos(x)f(x)d(x)=a0∫02πcos(x)dx\+a1∫02πcos(x)2dx\+b1∫02πcos(x)sin(x)dx\+....  
可以得到：  
 a 1 = 1 π ∫ 0 2 π c o s ( x ) f ( x ) d ( x ) a\_\{1\} = \\frac\{1\}\{\\pi\}\\int\_\{0\}^\{2\\pi\}cos(x)f(x)d(x) a1=π1∫02πcos(x)f(x)d(x)

### 实对称矩阵 ###

对称矩阵有很多优秀的性质，所以接下来的很多概念都跟对称矩阵有关系，实对称矩阵是所有的元素都是实数的矩阵，它的主要性质如下：

*  所有的特征值都是实数
 *  所有的特征向量都是实向量
 *  具有  n n n 个线性无关的特征向量
 *  所以，任意的实对称矩阵都可以表示为  Q Λ Q − 1 = Q Λ Q T Q\\Lambda Q^\{-1\} = Q\\Lambda Q^\{T\} QΛQ−1=QΛQT的形式

### 正定矩阵 ###

正定矩阵式特殊的实对称矩阵，其所有的的特征值都大于0，对应的二次型  x T A x x^\{T\}Ax xTAx 恒大于0，判断实对称矩阵是否式正定矩阵的方法：

*  定义判断，是否所有的特征值都大于0
 *  从左上角开始 0 − n 0 - n 0−n阶的子行列式都大于0

### 相似矩阵 ###

对于两个方阵  A , B A,B A,B， 如果存在可逆矩阵  P P P，使得：  P − 1 A P = B P^\{-1\}AP=B P−1AP=B，则称 B B B 是  A A A的相似矩阵，相似矩阵具有如下的性质：

*  相似矩阵具有相同的特征值
 *  如果矩阵 A A A与对角阵相似，则对角阵中的对角线值也就是 A A A 的  n n n 个特征值，这里也就是之前讲到过的对角化的知识。