专升本高数学习总结——二重积分

╰+攻爆jí腚メ 2022-09-27 06:45 344阅读 0赞

*   *  给定所求二重积分方程所围区域D的方程求二重积分的值
     *  交换二重积分的积分次序
     *  使用极坐标求二重积分

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二重积分一般有三个考点

## 给定所求二重积分方程、所围区域D的方程求二重积分的值 ##

这是考的最多的一点  
例如  
计算∬xydσ ，其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域  
一般做题思路：  
1、闭区域自然是封闭的，在画图之前先求出交点（1,1）（2,2），画出图像  
![这里写图片描述][SouthEast]  
如上图所示，D即是要求的闭区域  
2、把D看做X型区域，然后就开始求x，y的范围  
因为把D看做X型区域所以1≤x≤2(注意x的上下限都是常数)，1≤y≤x（特别注意D区域因为y=x在上面，y=1在下面所以得到这样的关系）  
![这里写图片描述][SouthEast 1]  
另外如果把D区域看做Y型区域（可以把上面的图像逆时针旋转九十度）

把D看做Y型区域，然后就开始求x，y的范围  
因为把D看做Y型区域所以1≤y≤2(注意y的上下限都是常数)，y≤x≤2（特别注意D区域因为y=2在上面,x=y在下面所以得到这样的关系，与X型区域作比较）  
![这里写图片描述][SouthEast 2]

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## 交换二重积分的积分次序 ##

简单的二重积分（x与y的上下限中只有一个函数）  
例如  
交换下列二重积分的积分次序  
![这里写图片描述][SouthEast 3]  
由题意，积分区域D为Y型区域，1≤y≤2, 0≤x≤lny  
转换成X型区域 想象下 lny函数必定在上面，所以x的最大值在y=2处取得，即x≤ln2  
得0≤x≤ln2  
x≤lny 化简得 y≥ex 得ex≤y≤2

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复杂的二重积分  
例如  
交换下列二重积分的积分次序  
![这里写图片描述][SouthEast 4]  
由题意得，积分区域D为X型区域，0≤x≤1，x≤y≤2-x  
所以y=x y=2-x  
![这里写图片描述][SouthEast 5]  
如上图所示，需要分段，用直线y=1分成D1和D2两部分

D1=\{(x,y)| 0≤y≤1,0≤x≤y\}  
D2=\{(x,y)| 1≤y≤2,0≤x≤2-y\}  
![这里写图片描述][SouthEast 6]

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## 使用极坐标求二重积分 ##

一般是求圆和圆弧的闭区域  
将常规的x,y分别换成ρcosθ,ρsinθ  
假设积分局域D可以用不等式 α≤ρ≤β，φ1≤θ≤φ2 ，其他条件忽略  
![这里写图片描述][SouthEast 7]

![这里写图片描述][SouthEast 8]  
具体步骤不写了~

[SouthEast]: /images/20220708/7d9b4161b611426bbbccd8636e1d1e11.png
[SouthEast 1]: /images/20220708/21fa56a9abba48b897cc79e5117b29d3.png
[SouthEast 2]: /images/20220708/0bafea97b25f411f9cf53ad2ebac7138.png
[SouthEast 3]: /images/20220708/e9084c6fce42444f972ba62024e163d4.png
[SouthEast 4]: /images/20220708/5f866edf7c1b4acab8e83733a456d96b.png
[SouthEast 5]: /images/20220708/d01806a9c11349d38454a0c5b5f85c6d.png
[SouthEast 6]: /images/20220708/dcefbb2b588e46b9897b8abd734b03a6.png
[SouthEast 7]: /images/20220708/c2c156e2a7aa4175915820787fbd6b6e.png
[SouthEast 8]: /images/20220708/4967740ea0914feaa6f0edddbff060f5.png