725-打家劫舍(动态规划)

柔光的暖阳◎ 2022-08-28 01:59 187阅读 0赞

## 打家劫舍(动态规划) ##

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，**如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。**  
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

**示例 1：**  
输入：\[1,2,3,1\]  
输出：4  
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。  
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

**示例 2：**  
输入：\[2,7,9,3,1\]  
输出：12  
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。  
偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]

## 条件分析 ##

两间相邻的房屋在同一晚上被闯入就会触发警报，那么两间屋子里的金币可以说是互斥的，不能同时获取，要有取舍。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]  
**那是不是说只要间隔获取就行了？**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2]  
如图所示，间隔获取的情况下，可以拿0号房和2号房的金币，也就是4个金币；还可以选择拿1号房和3号房的金币，也是4个金币，那么最优解就是4块钱了么？当然不是的，我们可以很明显地看出反例：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 3]  
**如果拿0号房子、3号房的钱，那么可以得到5块钱，这才是最优解！**

输入
    [3,2,1,2]
    
    输出
    5

根据上面的分析，我们可以看出，房子之间的间隔，是没有规律的，完全可以隔很多间，我们不能通过规律的间隔来解决。  
**那么可以通过状态解决吗？**

## 子问题推大问题 ##

我们目标是4间房子的最优解，那么偷前三间的最优解，和我们的目标，会有联系么？  
仔细想想，应该是有的。我们用dp\[i\]来表示考虑前i+1间房子的最优解，nums\[i\]表示房子的序号，让我们来分析下。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 4]  
正常来说，dp\[3\]的值，应该是由dp\[2\]的值，加上nums\[3\]决定，但是我们题目中有个关键信息——相邻两间房子互斥。

**那么这里就要分两种情况：**

第一种，dp\[2\]的值，里面是包含了nums\[2\]的，这种情况下，dp\[3\]应该是dp\[1\]加上nums\[2\]或者dp\[2\]，取两者最大值，这样能避免冲突；

第二种，dp\[2\]的值中，不包含nums\[2\]，那么很简单，dp\[3\]就是dp\[2\]加上nums\[3\]。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 5]  
现在就剩一个问题，dp\[2\]表示偷前三间房的最大值，单个值并不能表达出它是否包含num\[2\]，那该怎么办呢？  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 6]  
dp\[2\]不包含nums\[2\]的情况下，dp\[2\]就应该等于dp\[1\]，所以，我们就可以用这个关系，反过来判断是否dp\[2\]包含nums\[2\]。

## 代码实现 ##

**我们总结下刚才的分析，能得到这么个结论：**  
dp\[i\]完全可以通过由dp\[i-1\]或者dp\[i-2\]推算得出。  
同时因为dp依赖的只有前面两个状态，所以可以做一个空间复杂度的优化。O(1)

int rob(vector<int>& nums)
    {
        
    	//dp[i] 偷窃从0-i的房间的最大价值
    	int len = nums.size();
    	if (len == 0)
    		return 0;
    	int cur = nums[0]; //dp[i-1]
    	int pre = 0;      //dp[i-2]
    
    	for (int i = 2; i <= len; ++i)
    	{
        
    		int tmp = max(cur, pre + nums[i - 1]);
    		pre = cur;
    		cur = tmp;
    	}
    	//循环结束时候，cur表示dp[len];
    	return cur;
    }

**这种算一定范围的最优解，通常可以考虑状态递推，也就是动态规划。从上一个状态，看能不能推导出下一个状态。**

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