二阶线性齐次微分方程的解与对应的二阶线性非齐次微分方程的解的关系

妖狐艹你老母 2022-05-17 05:54 286阅读 0赞

以下简称

*  二阶线性齐次微分方程 为 齐
 *  二阶线性非齐次微分方程 为 非齐

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重要的性质、定理（共6条）：  
![重要的6条性质][6]

### 证明1：若y1、y2、y3是非齐的解，a、b、c为常数且a+b+c=0，y=a y1+by2+cy3则y是齐的解 ###

由(7) ，则需要证明a y1+by2+cy3是 齐的解。

因为y1、y2、y3是非齐的解，故y1－y2、y2-y3是齐的解，则  
C1（y1－y2）+C2（y2-y3）也是齐的解  
故C1（y1－y2）+C2（y2-y3）就是齐的解  
显然y1的系数=C1=a  
y2的系数=-C1+C2=b  
y3的系数=-C2=c  
a+b+c=0

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### 证明2： 若y1、y2、y3是非齐的解，a、b、c为常数且a+b+c=１，y=a y1+by2+cy3 则y是非齐的解 ###

由（1），则需要证明a y1+by2+cy3是非齐的解＋齐的解

因为y1、y2、y3是非齐的解，故y1－y2、y2-y3是齐的解，则  
C1（y1－y2）+C2（y2-y3）也是齐的解，而y3是非齐的解，  
故C1（y1－y2）+C2（y2-y3）+y3就是非齐的解  
显然y1的系数=C1=a  
y2的系数=-C1+C2=b  
y3的系数=-C2+1=c  
a+b+c=1

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### 证明3：若y1、y2、y3是非齐的线性无关解，a、b、c为任意常数且a+b+c=0， ###

y=a y1+by2+cy3，则y是齐的通解  
由（7）  
y1、y2、y3是非齐的线性无关解，现假设y1-y2、y2-y3也是线性无关的，  
则齐的通解y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)  
显然y1的系数=C1=a  
y2的系数=-C1+C2=b  
y3的系数=-C2=c  
a+b+c=0

##### 补充证明：现证明y1-y2、y2-y3是线性无关的。 #####

假设线性有关，则存在不全为0的k1和k2，  
使得k1（y1-y2）+k2（y2-y3）恒等于0  
即：  
(k1)y1+(k2-k1)y2-(k2)y3恒等于0  
由于y1、y2、y3是线性无关的，故k1=0、k2=0，与假设相违背。因此，y1-y2、y2-y3是线性无关的。

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### 证明4：若y1、y2、y3是非齐的线性无关解，a、b、c为任意常数且a+b+c=1，y=a y1+by2+cy3，则y是非齐的通解 ###

由（5）  
y1、y2、y3是非齐的线性无关解，现假设y1-y2、y2-y3也是线性无关的，  
则齐的通解y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3) ，  
非齐的解为y3（你换成y1或者y2都是一样的，因为最后大家系数都是要加在一起的）  
显然y1的系数=C1=a  
y2的系数=-C1+C2=b  
y3的系数=-C2+1=c  
a+b+c=1

[6]: /images/20220517/4286b722558a48e6b4c47d64ab2c5b3a.png