关于齐次坐标的理解

ゞ浴缸里的玫瑰 2022-05-08 13:54 253阅读 0赞

### 目录 ###

*  \[第一篇：关于齐次坐标的理解（经典）\](https://blog.csdn.net/janestar/article/details/44244849)
 *  \[第二篇：齐次坐标的理解\](http://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html)
 *  \[第三篇：如何通俗的解释仿射变换？\](https://www.matongxue.com/madocs/244.html)

最近又开始看图形学以及渲染相关的内容，再次遇到了齐次坐标的问题，找到两篇文章感觉还不错。转发一下~  
第一篇描述了齐次坐标对于表示无穷远的点的作用，第二篇还描述了其对于点和向量的意义，第三篇描述高维度线性变换与低维度仿射变换的关系，可以辅助理解齐次坐标的意义~

# [第一篇：关于齐次坐标的理解（经典）][Link 1] #

[https://blog.csdn.net/janestar/article/details/44244849][Link 1]

**先从一个问题开始：两条平行线可以相交于一点么？**  
在欧氏几何空间，同一平面的两条平行线不能相交，这是我们都熟悉的一种场景。  
然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一点。  
![在这里插入图片描述][70]  
欧氏空间（或者笛卡尔空间）描述2D/3D几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），2维笛卡尔坐标可以表为（x,y）。

如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会(∞,∞)，在欧氏空间，这变得没有意义。平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能，数学家发现了一种方式来解决这个问题。

**这个方法就是：齐次坐标**

简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标

我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，一个点(X,Y)在齐次坐标里面变成了（x,y,w），并且有 **X = x/w Y = y/w**

例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了，哈哈。

为什么叫齐次坐标？

我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。

转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中，我们有一个发现，例如：  
![在这里插入图片描述][70 1]

你会发现(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)对应同一个Euclidean point (1/3, 2/3)，任何标量的乘积，例如(1a, 2a, 3a) 对应 笛卡尔空间里面的(1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的”，因为他们代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有规模不变性。

证明：两条直线可以相交

考虑如下方程组：  
![在这里插入图片描述][70 2]

我们知道在笛卡尔坐标系里面，该方程组无解，因为C ≠ D,如果C=D,两条直线就相同了。

让我们在透视空间里面，用齐次坐标x/w, y/w代替x ,y,

![在这里插入图片描述][70 3]

现在我们有一个解(x, y, 0)，两条直线相交于(x, y, 0)，这个点在无穷远处。

**小结：齐次坐标在图形学中是一个非常基础的概念，例如3D场景映射到2D场景的过程中**

# [第二篇：齐次坐标的理解][Link 2] #

[http://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html][Link 2]

一直对齐次坐标这个概念的理解不够彻底，只见大部分的书中说道“齐次坐标在仿射变换中非常的方便”，然后就没有了后文，今天在一个叫做“三百年 重生”的博客上看到一篇关于透视投影变换的探讨的文章，其中有对齐次坐标有非常精辟的说明，特别是针对这样一句话进行了有力的证明：“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR。

由于作者对齐次坐标真的解释的不错，我就原封不动的摘抄过来：
    
     对于一个向量v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c          （1）
     而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c            （2），

从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p – o（有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！

我们现在把（1）（3）写成矩阵的形式：
    v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
    p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),

这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。

这样，上面的(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换：

*  (1)从普通坐标转换成齐次坐标时
    
    如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);
    
    如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)
 *  (2)从齐次坐标转换成普通坐标时
    
    如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);
    
    如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)

以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概念，只有大小和方向.

而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。

此外，对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。

由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从而如F.S. Hill, JR所说，仿射（线性）变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图形学中的一个标准。

以上很好的阐释了齐次坐标的作用及运用齐次坐标的好处。其实在图形学的理论中，很多已经被封装的好的API也是很有研究的，要想成为一名专业的计算机图形学的学习者，除了知其然必须还得知其所以然。这样在遇到问题的时候才能迅速定位问题的根源，从而解决问题。

# [第三篇：如何通俗的解释仿射变换？][Link 3] #

[https://www.matongxue.com/madocs/244.html][Link 3]  
![在这里插入图片描述][70 4]

[Link 1]: https://blog.csdn.net/janestar/article/details/44244849
[70]: /images/20220508/28e6fcfb274c4f26bbf074e7db0ee26f.png
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[Link 2]: http://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html
[Link 3]: https://www.matongxue.com/madocs/244.html
[70 4]: /images/20220508/7e2d9b70cd5e497693927877bbc3f180.png