为什么要引入齐次坐标，齐次坐标的意义（一）

我不是女神ヾ 2021-12-11 23:27 412阅读 0赞

## 问题：两条平行线可以相交于一点 ##

在欧氏几何空间，同一平面的两条平行线不能相交，这是我们都熟悉的一种场景。

然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一

点。

![20190709195103643.png][]

欧氏空间（或者笛卡尔空间）描述2D/3D几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视

几何的一个子集合），2维笛卡尔坐标可以表示为（x,y）。

**如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会(∞,∞)，在欧氏空间，这变得没有意义。**

**平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能，数学家发现了一种方式来解决这个问题。**

## 方法：齐次坐标 ##

简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标

我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，一个点(X,Y)在齐次坐标里面变成了

（x,y,w），并且有

X = x/w

Y = y/w

例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为

(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了，哈哈。

## 为什么叫齐次坐标？ ##

我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。

![20190709194006171.png][]

转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中，我们有一个发现，例如：

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你会发现(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)对应同一个Euclidean point (1/3, 2/3)，任何标量的乘积，例如(1a, 2a, 3a) 对应 笛卡尔空间里面的(1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的”，因为他们代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有规模不变性。  
  
证明：两条直线可以相交  
  
考虑如下方程组：

![2019070919412945.png][]

我们知道在笛卡尔坐标系里面，该方程组无解，因为C ≠ D,如果C=D,两条直线就相同了。 让我们在透视空间里面，用齐次坐标x/w, y/w代替x ,y

![20190709194221314.png][]

现在我们有一个解(x, y, 0)，两条直线相交于(x, y, 0)，这个点在无穷远处。

**齐次坐标的意义：**

**      ** **使用齐次坐标，可以表示 平行线在透视空间的无穷远处交于一点。在欧氏空间，这变得没有意义，所以欧式坐标不能表示。**

**即：齐次坐标可以表示无穷远处的点。例如：**

如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) =

(∞,∞)，我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了。

附：为什么要引入齐次坐标，齐次坐标的意义（二） [https://blog.csdn.net/zhuiqiuzhuoyue583/article/details/95230246][https_blog.csdn.net_zhuiqiuzhuoyue583_article_details_95230246]

参考：[http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html][http_www.songho.ca_math_homogeneous_homogeneous.html]

[           https://www.zhihu.com/question/59595799][https_www.zhihu.com_question_59595799]

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[http_www.songho.ca_math_homogeneous_homogeneous.html]: http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html
[https_www.zhihu.com_question_59595799]: https://www.zhihu.com/question/59595799