《深入理解计算机系统》练习题2.48 2.49 IEEE浮点表示

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2022-04-17 00:27 232阅读 0赞

# IEEE浮点表示 #

关于IEEE浮点表示的具体讲解，本文就不班门弄斧了，请自行阅读书籍。本文将进行必要总结再加上自己的理解。  
IEEE浮点标准用 V = ( − 1 ) s × M × 2 E V=(-1)^s \\times M \\times 2^E V=(−1)s×M×2E的形式来表示一个数：

1）**符号（sign）**：s决定这个数是正数还是负数，注意会有正0和负0的区分。

2）**尾数（significand）**：M是一个二进制小数，设 ε \\varepsilon ε为 1 2 n \\frac\{1\}\{2^n\} 2n1，它的范围可以是1~2- ε \\varepsilon ε（此时是规则化数的小数部分），也可以是0~1- ε \\varepsilon ε（此时是非规则化数的小数部分）。  
尾数有n位二进制，代表着n位无符号数的范围\[0,  2 n 2^n 2n\-1\]。假如这个无符号数的取值为frac，那么 f = f r a c 2 n f=\\frac\{frac\}\{2^n\} f=2nfrac。M可能为 f f f，当此时为非规格化数时。M也可能为 1 + f 1+f 1\+f，当此时为规格化数时。给出 f f f的范围 0 2 n ∼ 2 n − 1 2 n \\frac\{0\}\{2^n\} \\sim \\frac\{2^n-1\}\{2^n\} 2n0∼2n2n−1  
对于加1的解释则为：在规格化数中，整数部分的1是当它一直存在的。

3）**阶码（exponent）**：E对上面的尾数进行加权，这个权重是2的E次幂（可能是负的）即 2 E 2^E 2E。权重的范围为  
 2 2 − 2 k − 1 ∼ 2 2 k − 1 − 1 2^\{2-2^\{k-1\}\}\\sim2^\{2^\{k-1\}-1\} 22−2k−1∼22k−1−1  
阶码有k位二进制，代表着k位无符号数的范围\[0,  2 k 2^k 2k\-1\]，但实际只能取\[0,  2 k 2^k 2k\-2\]。假如这个无符号数的取值为 e e e。  
偏置bias为 2 k − 1 − 1 2^\{k-1\}-1 2k−1−1。  
有 E = e − b i a s E=e-bias E=e−bias，现在开始证明上述范围：当 e e e取最小值0或1时，则 E = 1 − ( 2 k − 1 − 1 ) = 2 − 2 k − 1 E=1-(2^\{k-1\}-1)=2-2^\{k-1\} E=1−(2k−1−1)=2−2k−1。证明了范围的左边；  
当 e e e取最大值 2 k 2^k 2k\-2时，则 E = 2 k − 2 − ( 2 k − 1 − 1 ) = 2 k − 1 − 1 E=2^k-2-(2^\{k-1\}-1)=2^\{k-1\}-1 E=2k−2−(2k−1−1)=2k−1−1。证明了范围的右边；

> 在规格化数中，阶码的范围是\[1,  2 k 2^k 2k\-2\]，因为规格化数的阶码的二进制位不能全为0，也不能全为1。且一个浮点数，是否规格也是看它的阶码。

> 当阶码全为0，此时为非规格化数。则 e e e为0，但不能执行 E = 0 − b i a s E=0-bias E=0−bias，还是得执行 E = 1 − b i a s E=1-bias E=1−bias。这是为了最大的非规格化数和最小的规格化数之间的平滑过渡（这里指二进制排序）。所以当 e e e取最小值0或1时，它们的 E E E都是一样的，但前者是非规格化数，对应的小数是 f f f；后者是规格化数，对应的小数是 1 + f 1+f 1\+f。  
> 所有的规格化数，对应的小数都是 1 + f 1+f 1\+f。

> 当阶码全为1，此时为非规格化数。如果尾数的二进制全为0时，则代表正无穷；如果是其他情况，则代表 N a N NaN NaN Not a Number。这也解释了为什么阶码最大取的是 2 k 2^k 2k\-2，因为 2 k 2^k 2k\-1时要么是无穷，要么是 N a N NaN NaN。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FubGlhbjUyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
单精度float中，一共32位，k为8，n为23.  
双精度double中，一共64位，k为11，n为52.  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FubGlhbjUyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

# 2.48 #

> 整数3510593的十六进制表示为0x00359141  
> 单精度浮点数3510593.0的十六进制表示为0x4a564504, 则这两个数的关系。

float中，k为8，n为23。  
偏移量Bias= 2 8 − 1 2^\{8-1\} 28−1\-1=128-1=127.

3510593 = 0000 0000 001.1 0101 1001 0001 0100 0001 \*  2 21 2^\{21\} 221。小数点往前移动了21次，总共的有效位是22位，由于整数部分的1总是可以被隐式地表示，所以只需要往前移动21位。

去除最高位的1, 小数部分最后加2个0达到23个，则小数部分为1 0101 1001 0001 0100 0001 00。

阶码部分 E = e − b i a s E=e-bias E=e−bias即 21 = e − 127 21=e-127 21=e−127，则 e = 148 e=148 e=148，其无符号的二进制表示为1001 0100，刚好k为8，刚好够表示的。

符号位为0，即为正。

则从整数转成单精度则为：  
\[0\] \[1001 0100\] \[1 0101 1001 0001 0100 0001 00\]  
= 0100 1010 0101 0110 0100 0101 0000 0100

从上表可以明显看出重复部分。

# 2.49 #

在浮点数能否有效的正整数范围，与尾数部分即n的大小有关（从整数往浮点数转换可以发现，除开被暂时忽略的整部部分的1，能否转成浮点数，关键看n是否大于等于小数部分的有效位个数，通俗的讲就是这n位能否装下所有的小数部分），即能表示n+1位的二进制无符号整数。  
n+1位的二进制无符号整数的最大是 2 n + 1 − 1 2^\{n+1\}-1 2n\+1−1。那么刚好不能表示的整数则为 2 n + 1 − 1 + 1 = 2 n + 1 2^\{n+1\}-1+1 = 2^\{n+1\} 2n\+1−1\+1=2n\+1。  
**注意上述答案是错误的**。  
实际上 2 n + 1 2^\{n+1\} 2n\+1是可以表示的，因为 2 n + 1 2^\{n+1\} 2n\+1的无符号二进制肯定是1 后接n+1个0（ 2 n + 1 2^\{n+1\} 2n\+1是第n+2位的权值，从第1位开始），而此题说了阶码范围肯定够大，那么小数是0可以表示，而阶码部分也可以保证了，所以实际上是可以表示的。  
而 2 n + 1 + 1 2^\{n+1\}+1 2n\+1\+1则不可以表示，因为 2 n + 1 + 1 2^\{n+1\}+1 2n\+1\+1的无符号二进制肯定是1 后接n个0 再接个1，除开前面属于整数部分的1，后面的小数还有n+1位呢（这里可不是全是0了啊），只有n位的浮点肯定不够表示呀。  
**答案为 2 n + 1 + 1 2^\{n+1\}+1 2n\+1\+1**。

参考链接：  
\[1\] [https://github.com/haiiiiiyun/book\_exercises/blob/master/csapp-v3/chap2/2.43-2.54.txt][https_github.com_haiiiiiyun_book_exercises_blob_master_csapp-v3_chap2_2.43-2.54.txt]

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[https_github.com_haiiiiiyun_book_exercises_blob_master_csapp-v3_chap2_2.43-2.54.txt]: https://github.com/haiiiiiyun/book_exercises/blob/master/csapp-v3/chap2/2.43-2.54.txt