利用开区间覆盖的约简给出有限覆盖定理的一个新证明

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-01-09 05:21 155阅读 0赞

> 有限覆盖定理:设$M$是$\\mathbf\{R\}$上的有界闭集.$I$是无限集,$\\forall i\\in I$,$B\_i$都是$\\mathbf\{R\}$上的任意开集.且$M\\subseteq \\bigcup\_\{i\\in I\}B\_i$.则必存在$I$的有限子集$S$,使得$M\\subseteq \\bigcup\_\{i\\in S\}B\_i$.

证明:由于$\\bigcup\_\{i\\in I\}B\_i$是开集,因此根据[开集的构造][Link 1],可知$\\bigcup\_\{i\\in I\}B\_i$可以分解成至多可数个互不相交的开区间的并.设这些开区间形成集合$\\\{A\_i:i\\in J\\\}$.然后我们沿用[开区间覆盖的约简 ][Link 2]中的符号.则我们知道,$\\forall a\\in M$,$a$必被$D\\backslash T$覆盖,且只能被$D\\backslash T$中的一个或两个元素覆盖.我们把$D\\backslash T$中与$M$有交集的元素分离开来,形成一个集合$G$.根据$G$的结构易得$\\forall x\\in G$,都恰好可以找到相应的$a\\in M$,使得$a\\in x$(注意要用到选择公理).

假若不存在$G$的有限子集依然覆盖$M$,则易得可以找到一列$M$中的点$a\_1,a\_2,a\_3,\\cdots$,其中$\\forall i\\neq j$,$a\_i$与$a\_j$都在$G$中的不同元素内(为什么这可以办到?)(注意这里要用到选择公理).根据聚点原理,$a\_1,a\_2,a\_3,\\cdots$必定有收敛子列,设该收敛子列收敛到$v$,由于$M$是闭集,必有$v\\in M$,$v$也被$G$中的元素覆盖.但是$G$中覆盖$v$的元素必定有长度,这会与“$\\forall i\\neq j$,$a\_i$与$a\_j$都在$G$中的不同元素内”矛盾(怎么推出矛盾?).可见假设是错误的.可见$G$必有有限子集覆盖$M$.然后很容易得到$\\\{A\_i:i\\in J\\\}$必有有限子集覆盖$M$(怎么推?),然后容易得到$\\\{B\_i:i\\in I\\\}$必有有限子集覆盖$M$(为什么?).$\\Box$

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