有限覆盖定理_有限覆盖定理证明根的存在定理

水深无声 2023-09-24 02:57 103阅读 0赞

所谓有限覆盖定理,是指:对于有界闭区间\[a,b\]的一个(无限)开覆盖h中,总能选出有限个开区间来覆盖\[a,b\].这一问题可用区间套定理来证明.(区间套定理:若\[an。

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an和bn会收敛于一个数这是很容易就可以得到的——因为an单调有上界,bn单调有。所有的邻域放在一起就成为了\[a0,b0\]的一个开覆盖,按有限覆盖定理,那这些无限个。

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用反证法,结合闭区间套定理设\[a,b\]不能被\{Jx\}中有限个开区间覆盖则将\[a,b\]二等分,必有一个闭区间\[a1,b1\]不能被有限覆盖再将\[a1,b1\]二等分,必有一个闭区间\[a2,b2\]不能被有限覆盖如此下去,得到\{\[an,bn\]\}闭区间套,满足其中每一个闭区间都不能被有限覆盖所以存在m∈∩\[an,bn\],liman=limbn=m因为m∈\[a,b\],所以在\{Jx\}中至少有一个Jp=(α,β)盖住m即α N时,必有α 。

我给你一个思路,具体的你可以自己操作一下,利用反证法,设s是有界无限点集,则存在\[a,b\],使得s包含于\[a,b\],假设\[a,b\]的任何点都不是s的聚点,则对每个x属于\[a,b\],存在d,使得u(x;d)只含s的有限个点,做\[a,b\]的一个开覆盖h=\{u(x;d)|x属于\[a,b\]\},利用有限覆盖定理,存在子覆盖u(x1;d1),……,u(xn;dn户甫膏晃薇浩疙彤躬廓),但每个领域至多含s的有限个点,从而这n个领域的并集也至多只含s的有限个点,于是s为有限点集,矛盾

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假定你所说的Cantor定理是指闭区间套定理.用反证法,如果结论不成立,即∩\[an,bn\]为空集,那么对于任何x∈\[a1,b1\],总存在N>0使得x不属于\[aN,bN\],那么也存在x的邻域(x-d,x+d)使得(x-d,x+d)∩\[aN,bN\]为空集.上述的邻域可以覆盖\[a1,b1\],然后利用有限开覆盖定理可以取出有限个邻域(xk-dk,xk+dk)覆盖\[a1,b1\].对于每个邻域(xk-dk,xk+dk)而言,存在Nk使得(xk-dk,xk+dk)∩\[aNk,bNk\]为空,取M=max\{Nk\},那么(xk-dk,xk+dk)∩\[aM,bM\]为空,但是aM∈\[a1,b1\]总会落在其中的某个邻域内,矛盾.

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S=-----。------。------。H=---(a1,a2)--------(a3,a4)----------(a5,a6)-----Sj∈H(ai,ai+1)设S为数轴上的点集,H为开区间的集合,(即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内,则称H为S的一个开覆盖,或简称H覆盖S.若H中的开区间的个数是有限(无限)的,那么就称H为S的一个有限(无限)覆盖.设H为闭区间\[a,b\]的一个(无限)开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖\[a,b\].开覆盖的定义:

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有限开覆盖定理(Heine-Borel定理)描述的是欧氏空间局部的紧性,这个性质在拓扑里很重要,当然你目前只是初学,很难体会它的作用,而且这个定理本身也不是很直。

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定理:设h为闭区间\[a,b\]的一个(无限)开覆盖,则从h中可选出有限个开区间开覆盖\[a,b\].开覆盖的定义:设s为数轴上的点集,h为开区间的集合,(即h中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若s中的任何一点都含在至少一个开区间内,则称h为s的一个开覆盖,或简称h覆盖s.若h中的开区间的个数是有限(无限)的,那么就称h为s的一个有限(无限)覆盖.有限覆盖定理是实数定理1.确界定理2.单调有界数列必收敛3.闭区间套定理4聚点定理5凝聚定理的逆否命题.用1-5定理证明有限覆盖定理比较简单,用反证法即可以完成.而用有限覆盖定理证明1-5,也要用反证法,但是初学者对如何构造具体的开覆盖是不如上面的直观.

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首先,用定义证明Cauchy序列一定有界,然后就可以设\{Xn\}包含于闭区间\[a,b\].假定结论不成立,那么\[a,b\]中任何一点u都不是\{Xn\}的极限,若u的任何邻域都包含\{Xn\}的无限项,用Cauchy序列的定义可以证明u就是\{Xn\}的极限,矛盾.所以一定存在u的邻域(u-t,u+t)使其只包含\{Xn\}的有限项.将u取遍\[a,b\]就得到\[a,b\]的一个开覆盖,必有有限子覆盖,这样\[a,b\]只包含\{Xn\}的有限项,矛盾.

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因为开覆盖的定义中没有要求这一族开集是有限个还是无限个,而用无限多个开集来覆盖一个区间通常意义不大,因为任何一个区间(不论开闭)都可以找到它的一个开覆盖(无限多个开集构成),这样就体现不出闭区间和实数系等概念的重要性质了.另外有限覆盖定理的有用之处,很大程度上就在于“有限”,例如如果对于开覆盖里的每个开集,函数f都可以找到最大值,这样由于存在有限子覆盖,则可以考虑这些子覆盖上的最大值,从这些最大值里再选出最大的那个,就是函数在闭区间上的最大值了,而如果子覆盖是无限多个,则不能从中找出最大的那个.

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这样就导致了覆盖定理不成立了,例如考虑闭区间\[0,1\],取一系列闭区间\[1/n,1\],这无限多个闭区间的并=\[0,1\],即可以认为这一系列闭区间\[1/n,1\]是\[0,1\]的一个“闭覆盖”,但是这个闭覆盖里没有有限的子覆盖存在,因为只要不是有无限多个这样的闭区间,0就不属于这些闭区间之并,即\[1/n,1\]的任何有限子覆盖都不能覆盖\[0,1\],这就和覆盖定理矛盾了.

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有限开覆盖定理(heine-borel定理)描述的是欧氏空间局部的紧性,这个性质在拓扑里很重要,当然你目前只是初学,很难体会它的作用,而且这个定理本身也不是很直观。

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比如说(1,3),(2,4),(3,5),(4,6)能覆盖\[2,5\],那么找出哪些集合是你所说的“有限个集合”呢?原定理是:覆盖闭区间的任一开区间族,必可从中选出有限个开区间已将覆盖.那么闭区间是\[2,5\],任一开区间族是(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),从这个开区间族中选出哪些区间可以将\[2,5\]覆盖呢?

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无限开覆盖:x的ex临域,对任意x.所以,存在一个有限覆

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假设不存在上确界,但xn取x0属于xn,那么对每个x属于\[x0,m\],都可以取一个领域,使得是下面两种情况之一:1)该领域内全是上界2)该领域内全在xn的值域内这些领域构成开覆盖,存在有限覆盖显然,m的领域属于1)情况,那么其左边的领域也是1)情况(因为二者有公共点)……以此类推……那么x0的领域也是1)情况,矛盾!

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这个容易:S是你那个数列的集.反证假设S中没有聚点.那么对任意的x属于S,都存在一个ex,s.t.x的ex临域内只有x一个点.于是现在找到了一个无限开覆盖:x的ex临域,对任意x.所以,存在一个有限覆盖.假设其为x1,x2。xn.注意:每个覆盖内仅有1个S中的点.这一堆覆盖也才至多有n个,与S是无穷集矛盾.于是证明了.给分

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难道是对于一个紧集的任意开覆盖一定存在有限子覆盖.原来这个定理有名字的.

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(0,1/n)是开区间(0,1)的覆盖,请你找到有限个开区间来覆盖(0,1)

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设﹛xn﹜为有界数列,并设它们全部包含在\[a,b\]内.如果它不存在收敛子序列,于是对\[a,b\]内的任一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限.因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限个xn相等之外,其内不含其它的xα,而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈\[a,b\]构成\[a,b\]一个开覆盖.由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈\[a,b\]中选出有限个覆盖\[a,b\],当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn,产生矛盾.因此﹛xn﹜存在收敛子列,致密性定理得证.

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有限覆盖定理的陈述里,有“任意”两个字.不是说找到一个有限覆盖就可以,这样的话,(0,1)当然也是有有限开覆盖的.但是问题在于,有限覆盖定理说的是:\[a,b\]的任意一个开覆盖,都可以从中挑出有限个开区间,然后这些开区间仍然覆盖\[a,b\].这对于开区间是不成立的.在拓扑学上,有限覆盖定理所揭示的这种性质,叫做紧或紧致.这种性质乍看起来是冗长不便的,但实际上提供了一种从局部过渡到整体的工具,因此应用很多.从理论上讲,紧性是研究拓扑空间时一个特别重要的性质,这在后继学习中可以慢慢体会到.

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反证法:假定连续函数f(x)有f(a)>0>f(b);(a>b),且对任意的x属于\[b,a\],有f(x)不为0。中所有值时,所有的s(x0)是\[b,a\]的一个开覆盖,由有限覆盖定理,存在有限个邻域s(x1。

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在数学分析中,heine–borel定理,命名于eduardheine和émileborel,声称:对于欧几里德空间rn的子集s,下列两个陈述是等价的:s是闭合并且有界的所有s的开覆盖有有限子覆盖,就是说s是紧致的.在实分析的上下文中,前者性质有时用做紧致性的定义性质.但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了,在这种一般情况下只有后者还用于定义紧致性.事实上,对任意度量空间的heine–borel定理为:度量空间的子集是紧致的,当且仅当它是完备的并且完全有界的.

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先说什么是开覆盖,对于区间I,如果存在一系列开区间\{Oi\}(可以有无限个),使I包含于∪Oi,就说\{OI\}是区间I的一个开覆盖.而如果从集合\{Oi\}中选取一个子集,其中只包含有限个开区间\{O1,O2,,,On\},它也能覆盖区间I,就说\{O1,O2,,,On\}是区间I的一个有限子覆盖.实数系的基本定理之一是说,闭区间\[a,b\]的任意开覆盖\{Oi\},必存在有限子覆盖.注意这定理的条件是不能随便改变的,例如闭区间\[a,b\]换成开区间,可以考虑(0,1),这个开区间可以用\{(1/n,1)\}覆盖,但这个覆盖中任何有限子集都不能覆盖(0,1).

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反证法:假定连续函数f(x)有f(a)>0>f(b);(a>b),且对任意的x属于\[b,a\],有f(x)不为0。中所有值时,所有的s(x0)是\[b,a\]的一个开覆盖,由有限覆盖定理,存在有限个邻域s(x。

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在数学分析中,Heine–Borel定理,命名于EduardHeine和ÉmileBorel,声称:对于欧几里德空间Rn的子集S,下列两个陈述是等价的:S是闭合并且有界的所有S的开覆盖有有限子覆盖,就是说S是紧致的.在实分析的上下文中,前者性质有时用做紧致性的定义性质.但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了,在这种一般情况下只有后者还用于定义紧致性.事实上,对任意度量空间的Heine–Borel定理为:度量空间的子集是紧致的,当且仅当它是完备的并且完全有界的.

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证明:用反证法.假设存在集合A有上界M但没有上确界,设a为A中的一个元素.则a考。即我们构造了一个闭区间\[a,M\]的无限开覆盖.由有限覆盖定理,其中必存在有限个邻域。

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假设不存在上确界,但xn<=m取x0属于xn,那么对每个x属于\[x0,m\],都可以取一个领域,使得是下面两种情况之一:1)该领域内全是上界2)该领域内全在xn的值域内这些领域构成开覆盖,存在有限覆盖显然,m的领域属于1)情况,那么其左边的领域也是1)情况(因为二者有公共点)……以此类推……那么x0的领域也是1)情况,矛盾!

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