动态规划：最长公共子序列

妖狐艹你老母 2024-03-16 18:40 91阅读 0赞

#### 动态规划：最长公共子序列 ####

*  前言
 *  一、动态规划

--------------------

## 前言 ##

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。  
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。  
示例 1：  
输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”  
输出：3  
解释：最长公共子序列是 “ace” ，它的长度为 3 。  
示例 2：  
输入：text1 = “abc”, text2 = “abc”  
输出：3  
解释：最长公共子序列是 “abc” ，它的长度为 3 。  
示例 3：  
输入：text1 = “abc”, text2 = “def”  
输出：0  
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：  
1 <= text1.length, text2.length <= 1000  
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

--------------------

## 一、动态规划 ##

暴力法依然可以求解本题，但是问题在于时间复杂度会超时，所以这里不再描述，只介绍动态规划这种算法

动态规划的核心思想是：  
![在这里插入图片描述][8595d71bc14640c3b6893a032a6c0152.png]  
**求公共子序列长度：**

int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        
    	int size1 = text1.size();
    	int size2 = text2.size();
    	vector<vector<int>> dp(size1+1, vector<int>(size2+1, 0));
    	for(int i=1;i<=size1;i++) {
        
    		for(int j=1;j<=size2;j++) {
        
    			if(text1[i-1] == text2[j-1]) {
        
    			dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
    			} else {
        
    			dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
    			}
    		}
    	}
    	return dp[size1][size2];
    }

**输出公共子序列的内容：**

void lcsPrint(vector<vector<int>> B, string X, int i, int j) {
        
    	if (i == 0 || j == 0) {
        
    	return;
    	}
    	if (B[i][j] == 2) {
        
    		lcsPrint(B, X, i - 1, j - 1);
    		cout<<X[i-1]<<endl;
    	}
    	else if (B[i][j] == 1) {
        
    		lcsPrint(B, X, i - 1, j);
    	}
    	else {
        
    		lcsPrint(B, X, i, j - 1);
    	}
    }
    
    int main() {
        
    string X = "ADBCDACBA";
    string Y = "ABCADBACB";
    int i = 0;
    int j = 0;
    int size1 = X.size();
    int size2 = Y.size();
    vector<vector<int>> dp(size1+1, vector<int>(size2+1, 0));
    vector<vector<int>> B(size1+1, vector<int>(size2+1, -1));
    for(i=1;i<=size1;i++) {
        
    	for(j=1;j<=size2;j++) {
        
    		if(X[i-1] == Y[j-1]) {
        
    		dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
    		B[i][j] = 2;
    		} else if(dp[i-1][j] >= dp[i][j-1]){
        
    			dp[i][j] = dp[i-1][j];
    			B[i][j] = 1;
    		} else {
        
    			B[i][j] = 0;
    			dp[i][j] = dp[i][j-1];
    		}
    	}
    }
    lcsPrint(B, X, size1, size2);
    cout<<endl;
    cout<<dp[size1][size2];
    return 0;

更多内容可以参考：  
[动态规划 最长公共子序列 过程图解][Link 1]  
[最长公共子序列][Link 2]

[8595d71bc14640c3b6893a032a6c0152.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/ba7e8827ff754ed48823a8bb946526af.png
[Link 1]: https://blog.csdn.net/hrn1216/article/details/51534607
[Link 2]: https://blog.csdn.net/fdl123456/article/details/103009280/