动态规划-最长公共子序列

痛定思痛。 2022-05-11 11:50 283阅读 0赞

**一，问题描述**

给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB

则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA

**二，算法求解**

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

**①最优子结构**

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y=\{y1,y2,.....ym\} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个**最优化问题**。因为，我们需要找到X 和 Y中**最长的**那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

**1）如果 xn=ym**，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)

LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的**一个**子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）

**2）如果xn != ym**，这下要麻烦一点，因为它产生了**两个**子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长**公共**子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。

LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：

LCS=max\{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)\}

由于条件 1)  和  2)  考虑到了所有可能的情况。因此，**我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。**

**②重叠子问题**

重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后，  子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊？？？？

OK，来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1)    ❷LCS(Xn-1，Ym)    ❸LCS(Xn，Ym-1)

初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：

第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题❶LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？

因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)

也就是说：在子问题的**继续**分解中，有些问题是重叠的。

由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。因为采用递归，它重复地求解了子问题啊。而且注意哦，所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。

[这篇文章][Link 1]中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。

那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？

呵呵哒。。。。

关键是采用动态规划时，并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。废话少说：举个例子吧！比如求Fib数列。关于Fib数列，[可参考：][Link 2]

![715283-20160611203653590-28450133.png][]

求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)时，又分解了一系列的小问题....

从图中可以看出：根的左右子树：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重叠的！！！比如，对于 fib(2)，它就一共出现了三次。**如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP(Dynamic Programming)动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过”查表“直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))**

说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧：）

![2012111100085930.png][]

c\[i,j\]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的**长度**。（是长度哦，就是一个整数嘛）。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

![08D25D565D85EFF40000000000000002.jpeg][]

package shiyan;
    
    import java.util.Stack;
    
    public class shiyan2 {
    	    
    	    //求解str1 和 str2 的最长公共子序列
    	    public static void getLCS(String str1, String str2){
    	        int[][] c = new int[str1.length() + 1][str2.length() + 1];
    	        for(int i = 0; i <= str1.length(); i++)
    	            c[i][0] = 0;
    	        for(int j = 0; j <= str2.length(); j++)
    	            c[0][j] = 0;
    	        
    	        for(int i = 1; i <= str1.length(); i++)
    	            for(int j = 1; j <= str2.length(); j++)
    	            {
    	                if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)){
    	                    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
    	                   
    	                }else if(c[i][j-1] > c[i-1][j]){
    	                    c[i][j] = c[i][j-1];
    	                
    	                }else{
    	                    c[i][j] = c[i-1][j];
    	                   
    	                }
    	            }
    	        //打印最长公共子序列
    	        Stack stack = new Stack();
    			int i = str1.length() - 1;
    			int j = str2.length() - 1;
    			
    			while((i >= 0) && (j >= 0)){
    				if(str1.charAt(i) == str2.charAt(j)){//字符串从后开始遍历，如若相等，则存入栈中
    					stack.push(str1.charAt(i));
    					i--;
    					j--;
    				}else{
    					if(c[i+1][j] > c[i][j+1]){//如果字符串的字符不同，则在数组中找相同的字符，注意：数组的行列要比字符串中字符的个数大1，因此i和j要各加1
    						j--;
    					}else{
    						i--;
    					}
    				}
    			}
    			
    			while(!stack.isEmpty()){//打印输出栈正好是正向输出最大的公共子序列
    				System.out.print(stack.pop());
    			}			
    
    	    }
    	  
    	    //test
    	    public static void main(String[] args) {
    	        String str1 = "BDCABA";
    	        String str2 = "ABCBDAB";
    	        getLCS(str1, str2);
    	       
    	    }
    	
    }

[Link 1]: http://blog.csdn.net/trochiluses/article/details/37966729
[Link 2]: http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5571352.html
[715283-20160611203653590-28450133.png]: /images/20220505/c60b12bc8b4d44139808dc963b2fff89.png
[2012111100085930.png]: /images/20220505/daa49b9046e54894a5d4ff7ac37e1315.png
[08D25D565D85EFF40000000000000002.jpeg]: /images/20220505/773478382f734e14909652bd7985d62d.png