322. 零钱兑换

阳光穿透心脏的1/2处 2023-10-16 17:04 10阅读 0赞

#### 322. 零钱兑换 ####

*  题干分析
 *  解题思路
 *   *  1. 确定dp数组以及下标的含义
     *  2. 确定递推公式
     *  3. dp数组如何初始化
     *  4. 确定遍历顺序
     *  5. 举例推导dp数组
 *  总结
 *  代码实现

## 题干分析 ##

[力扣入口][Link 1]

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

*  输入：coins = \[1, 2, 5\], amount = 11
 *  输出：3
 *  解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

*  输入：coins = \[2\], amount = 3
 *  输出：-1

示例 3：

*  输入：coins = \[1\], amount = 0
 *  输出：0

示例 4：

*  输入：coins = \[1\], amount = 1
 *  输出：1

示例 5：

*  输入：coins = \[1\], amount = 2
 *  输出：2

提示：

*  1 <= coins.length <= 12
 *  1 <= coins\[i\] <= 2^31 - 1
 *  0 <= amount <= 10^4

## 解题思路 ##

在**动态规划：518.零钱兑换II**中我们已经兑换一次零钱了，这次又要兑换，套路不一样！

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

动规五部曲分析如下：

### 1. 确定dp数组以及下标的含义 ###

dp\[j\]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp\[j\]

### 2. 确定递推公式 ###

凑足总额为j - coins\[i\]的最少个数为dp\[j - coins\[i\]\]，那么只需要加上一个钱币coins\[i\]即dp\[j - coins\[i\]\] + 1就是dp\[j\]（考虑coins\[i\]）

所以dp\[j\] 要取所有 dp\[j - coins\[i\]\] + 1 中最小的。

递推公式：dp\[j\] = min(dp\[j - coins\[i\]\] + 1, dp\[j\]);

### 3. dp数组如何初始化 ###

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp\[0\] = 0;

其他下标对应的数值呢？

考虑到递推公式的特性，dp\[j\]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp\[j - coins\[i\]\] + 1, dp\[j\])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

### 4. 确定遍历顺序 ###

本题求钱币最小个数，**那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数**。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

**如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。**

**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。**

在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划：**518.零钱兑换II**，求排列数是动态规划：**377. 组合总和 Ⅳ**。

**所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！**

那么这里采用coins放在外循环，target在内循环的方式。

本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序。

综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。

### 5. 举例推导dp数组 ###

以输入：coins = \[1, 2, 5\], amount = 5为例  
![在这里插入图片描述][522fa54c428e46dca989cc314cd68d88.png]  
dp\[amount\]为最终结果。

## 总结 ##

细心的同学看网上的题解，**可能看一篇是遍历背包的for循环放外面，看一篇又是遍历背包的for循环放里面，看多了都看晕了**，到底两个for循环应该是什么先后关系。

而本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！

## 代码实现 ##

class Solution {
        
        // 322. 零钱兑换
        public int coinChange(int[] coins, int amount){
        
            int max = Integer.MAX_VALUE;
            int[] dp = new int[amount + 1];
            // 初始化dp数组为最大值
            for(int j = 0; j < dp.length; j++){
        
                dp[j] = max;
            }
            //当金额为0时需要的硬币数目为0
            dp[0] = 0;
            for (int i = 0; i < coins.length; i++){
        
                //正序遍历: 完全背包每个硬币可以选择多次
                for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
        
                    //只有dp[j - coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
                    if(dp[j - coins[i]] != max){
        
                        //选择硬币数目最小的情况
                        dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                    }
                }
            }
            return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
        }
    }

**参考资料**：[代码随想录-322. 零钱兑换][-322.]

[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/coin-change/
[522fa54c428e46dca989cc314cd68d88.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/522fa54c428e46dca989cc314cd68d88.png
[-322.]: https://programmercarl.com/0322.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE