236.二叉树的最近公共祖先

柔光的暖阳◎ 2023-10-16 11:24 68阅读 0赞

#### 236.二叉树的最近公共祖先 ####

*  题干描述
 *  解题思路
 *   *  递归三部曲
     *   *  1. 确定递归函数返回值以及参数
         *  2. 确定终止条件
         *  3. 确定单层递归逻辑
 *  总结
 *  代码实现

## 题干描述 ##

[力扣入口][Link 1]

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉树: root = \[3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4\]

![在这里插入图片描述][09e67b553da7443ea1a8b5ced66c02b8.png]  
示例 1: 输入: root = \[3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4\], p = 5, q = 1 输出: 3 解释: 节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3。

示例 2: 输入: root = \[3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4\], p = 5, q = 4 输出: 5 解释: 节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:

所有节点的值都是唯一的。  
p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉树中。

## 解题思路 ##

遇到这个题目首先想的是要是能自底向上查找就好了，这样就可以找到公共祖先了。

那么二叉树如何可以自底向上查找呢？

回溯啊，二叉树回溯的过程就是从低到上。

后序遍历（左右中）就是天然的回溯过程，可以根据左右子树的返回值，来处理中节点的逻辑。

接下来就看如何判断一个节点是节点q和节点p的公共祖先呢。

**首先最容易想到的一个情况：如果找到一个节点，发现左子树出现结点p，右子树出现节点q，或者 左子树出现结点q，右子树出现节点p，那么该节点就是节点p和q的最近公共祖先。** 即情况一：  
![在这里插入图片描述][de2bd40991b64754803681ddfd502a19.png]  
判断逻辑是 如果递归遍历遇到q，就将q返回，遇到p就将p返回，那么如果左右子树的返回值都不为空，说明此时的中节点，一定是q和p的最近祖先。

会出现左子树遇到q 返回，右子树也遇到q返回，这样并没有找到 q 和p的最近祖先的情况吗？  
不会，题目强调：**二叉树节点数值是不重复的**，而且一定存在q和p。

但是很多同学容易忽略一个情况，就是节点本身p(q)，它拥有一个子孙节点q§。情况二：  
![在这里插入图片描述][f6eb556a9938437f980ecde47167c20c.png]  
其实情况一和情况二代码实现过程都是一样的，也可以说，实现情况一的逻辑，顺便包含了情况二。

因为遇到q或者p就返回，这样也包含了q或者p本身就是公共祖先的情况。

### 递归三部曲 ###

#### 1. 确定递归函数返回值以及参数 ####

需要递归函数返回值，来告诉我们是否找到节点q或者p，那么返回值为bool类型就可以了。

但我们还要返回最近公共节点，可以利用上题目中返回值是TreeNode \* ，那么如果遇到p或者q，就把q或者p返回，返回值不为空，就说明找到了q或者p。

#### 2. 确定终止条件 ####

遇到空的话，因为树都是空了，所以返回空。

那么我们来说一说，如果root等于q，或者root等于p，说明找到 q p ，则将其返回，这个返回值，后面在中节点的处理过程中会用到，那么中节点的处理逻辑，下面讲解。

if(root == q || root == p || root == NULL) return root;

#### 3. 确定单层递归逻辑 ####

值得注意的还是本题函数有返回值，是因为回溯的过程需要递归函数的返回值做判断，但本题我们依然要遍历树的所有节点。

递归函数有返回值就是要遍历某一条边，但有返回值也要看如何处理返回值！

如果递归函数有返回值，如何区分要搜索一条边，还是搜索整个树呢？

搜索一条边的写法：

if(递归函数(root.left)) return;
    
    if(递归函数(root.right)) return;

搜索整个树写法：

left = 递归函数(root.left); // 左
    right = 递归函数(root.right); // 右
    left与right的逻辑处理; // 中

区别在于：  
**在递归函数有返回值的情况下：如果要搜索一条边，递归函数返回值不为空的时候，立刻返回，如果搜索整个树，直接用一个变量left、right接住返回值，这个left、right后序还有逻辑处理的需要，也就是后序遍历中处理中间节点的逻辑（也是回溯）**。

那么为什么要遍历整棵树呢？直观上来看，找到最近公共祖先，直接一路返回就可以了。

如图：  
![在这里插入图片描述][72e59d386ca6494d854160c971806212.png]  
但事实上还要遍历根节点右子树（即使此时已经找到了目标节点了），也就是图中的4、15、20。

因为在如下代码的后序遍历中，如果想利用left和right做逻辑处理， 不能立刻返回，而是要等left与right逻辑处理完之后才能返回。

left = 递归函数(root.left); // 左
    right = 递归函数(root.right); // 右
    left与right的逻辑处理; // 中

所以此时大家要知道我们要遍历整棵树。知道这一点，对本题就有一定深度的理解了。

那么先用left和right接住左子树和右子树的返回值。

**如果left 和 right都不为空，说明此时root就是最近公共节点。这个比较好理解。**

**如果left为空，right不为空，就返回right，说明目标节点是通过right返回的，反之依然。**

这里有的同学就理解不了了，为什么left为空，right不为空，目标节点通过right返回呢？

如图：  
![在这里插入图片描述][a1c019e8ac184c4b997c30760aa2331f.png]  
图中节点10的左子树返回null，右子树返回目标值7，那么此时节点10的处理逻辑就是把右子树的返回值（最近公共祖先7）返回上去！

那么如果left和right都为空，则返回left或者right都是可以的，也就是返回空。

代码如下：

if (left == NULL && right != NULL) return right;
    else if (left != NULL && right == NULL) return left;
    else  {
         //  (left == NULL && right == NULL)
        return NULL;
    }

那么寻找最小公共祖先，完整流程图如下：  
![在这里插入图片描述][02ee57ca7d4947e7bedfd76c783980b2.png]  
从图中，大家可以看到，我们是如何回溯遍历整棵二叉树，将结果返回给头结点的！

## 总结 ##

下面是结果如何一层一层传上去的：

1.  求最小公共祖先，需要从底向上遍历，那么二叉树，只能通过后序遍历（即：回溯）实现从底向上的遍历方式。
2.  在回溯的过程中，必然要遍历整棵二叉树，即使已经找到结果了，依然要把其他节点遍历完，因为要使用递归函数的返回值（也就是代码中的left和right）做逻辑判断。
3.  要理解如果返回值left为空，right不为空为什么要返回right，为什么可以用返回right传给上一层结果。

可以说这里每一步，都是有难度的，都需要对二叉树，递归和回溯有一定的理解。

本题没有给出迭代法，因为迭代法不适合模拟回溯的过程。理解递归的解法就够了。

## 代码实现 ##

public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q){
        
        if(root == null || root == p || root == q){
         // 递归结束条件
            return root;
        }
    
        // 后序遍历
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
    
        if(left == null && right == null){
         // 若未找到节点p或q
            return null;
        }else if(left == null && right != null){
         // 若找到一个节点
            return right;
        }else if(left != null && right == null){
         // 若找到一个节点
            return left;
        }else{
         // 若找到两个节点
            return root;
        }
    }

**参考资料**：[代码随想录-236. 二叉树的最近公共祖先][-236.]

[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree/
[09e67b553da7443ea1a8b5ced66c02b8.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/09e67b553da7443ea1a8b5ced66c02b8.png
[de2bd40991b64754803681ddfd502a19.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/de2bd40991b64754803681ddfd502a19.png
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[-236.]: https://programmercarl.com/0236.%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E7%9A%84%E6%9C%80%E8%BF%91%E5%85%AC%E5%85%B1%E7%A5%96%E5%85%88.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE